精品解析：浙江省舟山市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

舟山市2024学年第一学期期末检测 高二数学试题卷 命题人：舟山中学娄文浩 普陀中学 金红娣 审稿人：张军朝 注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．时间：120分钟． Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线方程，则倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般式求解斜率，即可根据斜率求解倾斜角. 【详解】的斜率为， 故倾斜角为， 故选：A 2. 已知双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定渐近线方程，结合已知求参数值即可. 【详解】由题设，则双曲线的渐近线为，即为，所以. 故选：C 3. 演讲比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）． A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差、极差概念来进行求解，得到答案. 【详解】设10位评委评分按从小到大排列为， 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确． ②原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大， 与不一定相同，B不正确； ③， 由②易知，C不正确． ④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确． 故选：A. 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.属于较易题. 4. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：C 5. 等差数列的首项为正数，公差为，为的前项和，若，且，，成等比数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】由等比中项的性质得到，结合求和公式得到或，再由，计算可得. 【详解】因为，，成等比数列， 所以，即， 即， 所以或， 又，， 当，则，解得（舍去）， 当，则，解得，则. 故选：B 6. 柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋．如果从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，求事件的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用列举法写出事件包含基本事件，再应用组合数及古典概型的概率求法求概率. 【详解】若表示左脚的鞋子，其它表示右脚的鞋子， 所以事件包含，共6种情况， 所以事件的概率. 故选：C 7. 已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆可化为， 所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 所以，中点为， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是时，取得最小值. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线的右支上一点，，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由锐角三角形，建立不等式组求得的范围，然后由正弦定理用表示出，由双曲线的定义得到等式，从而表示出离心率.由的范围求出离心率. 【详解】设，则， ∵，解得， ， 即由正弦定理可知： ， ∴，， 在双曲线中， 即，即， ∴， ∵， ∴. 故选：D. 【点睛】方法点睛，本题时双曲线上的焦点三角形问题，通过正弦定理和双曲线的定理得到关于离心率的等式.结合题意中的三角形为锐角，建立不等式求得角的范围，从而得到离心率的范围. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D. 若相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率性质即可求解AB，根据独立事件的性质以及公式即可求解CD. 【详解】对于A，若互斥事件，则,A正确， 对于B，若为互斥事件， 则,故B错误， 对于C, ,故,C正确， 对于D，相互独立，则也相互独立，故，D正确， 故选：ACD 10. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 所有圆均不经过点 B. 圆心的轨迹方程为 C. 若圆与圆外切，则或者 D. 若直线与圆相交于、，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，直接代入点的坐标即可判断选项，由圆的一般方程得出圆心坐标，即可判断选项B，利用两圆外切，可得圆心距等于半径之和，即可判断选项C，利用几何法表示出弦长，即可判断选项D. 【详解】对于A，把代入圆方程， 得，因为， 所以此时没有无解，所以A正确； 对于B，由， 得圆心， 因为， 所以圆心坐标符合，即B正确； 对于C，由， 得圆心，， 圆圆心为，半径为， 因为圆与圆外切， 所以，解得或，C正确； 对于D，由C知，圆圆心，半径， 又圆心到直线距离， 所以，解得，D错误 故选：ABC 11. 三支不同的曲线交抛物线于点，为坐标原点，为抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 记的面积为，若，则 D. 记的面积为，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】设直线与抛物线的交于点，则与关于轴对称，联立方程，利用韦达定理求得，进而可求得，结合焦半径公式即可判断AB；利用倾斜角以及二倍角公式求出，即可判断CD. 【详解】如图，设直线与抛物线的交于点，则与关于轴对称， 设，则， 联立，消得，则， 又，则， 对于A，若，故， 故，结合，则，故， 因此，故A正确， 对于B，，时， ，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则， 所以 ， 因为，所以，所以，故C正确. 对于D，因，所以，所以，故D错误； 故选：AC 【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心. Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线和，若，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于，故，得，检验符合， 故答案为：4 13. 若圆与曲线的公切线经过，求___________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数可知公切线斜率存在，设公切线方程为，利用圆与该直线相切即可求出公切线方程，设处的切点，由切点在公切线上以及斜率即为切点处的导数，即可求出结果. 【详解】由题知，公切线斜率存在，设公切线方程为， 则到公切线的距离等于半径， 即，解得， 所以公切线方程为， 对于，设切点为， 所以， 则可得，解得. 故答案为： 14. 已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，，则直线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意与的中点重合，若且，，结合已知有，，进而有，再应用点差法得到，联立所得各式求参数，即可得直线方程. 【详解】由，易知与的中点重合，若且， 令，则，即， 所以且， 令，则，作差得， 所以， 综上，代入，则，故， 所以，整理得. 故答案为： 四、解答题（本大题共5 小题，共77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 舟山某海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下： （1）根据图1频率分布直方图，求； （2）根据图2频率分布直方图，求新养殖法箱产量的第80百分位数的估计值（精确到）； （3）按照上述两个频率分布直方图，用样本频率估计总体概率，设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于60kg，且新养殖法的箱产量不低于60kg”，估计的概率． 【答案】（1）； （2）kg； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数； （2）根据百分位数的定义，求新养殖法箱产量的第80百分位数的估计值； （3）根据直方图求出旧养殖法的箱产量低于60kg、新养殖法的箱产量不低于60kg求对应的概率，再应用独立事件乘法公式求目标概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图知： ，解得； 【小问2详解】 新养殖法的频率分布直方图中，箱产量不低于60kg的直方图面积为， 新养殖法的第80百分位数的估计值kg． 【小问3详解】 记表示事件“旧养殖法的箱产量低于60kg”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于60kg”， 旧养殖法的箱产量低于60kg的频率为，即的估计值为， 新养殖法的箱产量不低于60kg的频率为， 即的估计值为， 因此事件的概率估计值为． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）根据极值点求得，再应用导数研究函数的单调区间和最值即可. 【小问1详解】 当时，，则， ∴，则在点处的切线方程为； 【小问2详解】 因为， 由题意，解得，检验符合， 故，列表如下： 4 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为． 由解析式易知，当时；当时，且， 所以． 综上，的增区间为、，减区间为，. 17. 数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【小问1详解】 令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 【小问2详解】 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 18. 在椭圆上有两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）在线段上取一点（不包括端点），过作斜率为的直线交椭圆于两点（在左侧）． （i）判断是否为定值.若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由； （ii）设中点为，中点为，为椭圆中心，证明：四边形为平行四边形． 【答案】（1）； （2）（i）是定值，；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程求椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）（i）设、，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式求、，进而求得结论；（ii）设直线方程为，联立椭圆应用韦达定理，并求得，再将问题化为求证，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，可得， 则椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）设，联立椭圆方程， 所以， 由韦达定理，得到， ， 同理，设，得， 且，， 故. （ii）设直线方程为，联立椭圆方程， 所以，由韦达定理，得到， 由于都在上，故， 联立直线和，得到点坐标， 要证四边形为平行四边形，只需证明与相互平分（或通过向量），即证明， 而， ，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问的二小问，将问题化为证明为关键. 19. 若无穷正整数数列满足递推关系，则称数列为好数列． （1）若为好数列，且，请写出所有可能的取值； （2）若为好数列，且，求最大的可能值； （3）证明：对任意的好数列，存在，使得对，都有． 【答案】（1），18或41 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据的定义即可求解； （2）根据可得，即可根据迭代得到，进而可得，即可求解； （3）由，对进行分奇数和偶数讨论，即可结合好数列的定义求解. 【小问1详解】 则或21， 当时，；当时，或41， 综上，，18或41 【小问2详解】 因为，故，故，故 故， 故． 此时，经检验满足要求． 故最大为 【小问3详解】 由于为正整数列，故其中必存在一项为整个数列中最小的正整数，设其为． 若为奇数，则，得到，故．归纳可得此时为常数列，满足题意． 若为偶数，则为奇数，故得到． 故或4． 若，则，且 取，对，都有，满足题意 若则，且 取，对，都有，满足题意 综上所述，存在，满足题意． 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 舟山市2024学年第一学期期末检测 高二数学试题卷 命题人：舟山中学娄文浩 普陀中学 金红娣 审稿人：张军朝 注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．时间：120分钟． Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线方程，则倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 3. 演讲比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）． A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 4. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列的首项为正数，公差为，为的前项和，若，且，，成等比数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2或 6. 柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋．如果从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，求事件的概率（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线左、右焦点分别为，点为双曲线的右支上一点，，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ） A. 若互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D. 若相互独立，则 10. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 所有圆均不经过点 B. 圆心轨迹方程为 C. 若圆与圆外切，则或者 D. 若直线与圆相交于、，且，则 11. 三支不同的曲线交抛物线于点，为坐标原点，为抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 记的面积为，若，则 D. 记的面积为，若，则 Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线和，若，则___________． 13. 若圆与曲线的公切线经过，求___________． 14. 已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，，则直线的方程为___________． 四、解答题（本大题共5 小题，共77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 舟山某海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下： （1）根据图1频率分布直方图，求； （2）根据图2频率分布直方图，求新养殖法箱产量的第80百分位数的估计值（精确到）； （3）按照上述两个频率分布直方图，用样本频率估计总体概率，设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于60kg，且新养殖法的箱产量不低于60kg”，估计的概率． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 17. 数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 18. 在椭圆上有两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）在线段上取一点（不包括端点），过作斜率为直线交椭圆于两点（在左侧）． （i）判断是否为定值.若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由； （ii）设中点为，中点为，为椭圆中心，证明：四边形为平行四边形． 19. 若无穷正整数数列满足递推关系，则称数列为好数列． （1）若为好数列，且，请写出所有可能的取值； （2）若为好数列，且，求最大的可能值； （3）证明：对任意的好数列，存在，使得对，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $