微专题：平行线中的拐点问题（讲练）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（人教版2024）

模型解读 模型名称 “猪蹄”模型 “铅笔头”模型 图例 结论 已知：AB∥CD，结论：∠O=∠B+∠D 已知AB∥CD,结论∠B+∠O+∠C=360° 模型证明 方法①过拐点作平行线 过点O作EF∥AB. ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∠B=∠1,∠D=∠2 ∠1+∠2=∠B+∠D, 即∠BOD=∠B+∠D 方法②作延长线 延长BO交CD于点G. ∵AB∥CD, ∴∠B=∠BGD. ∵∠BOD=∠D+∠BGD, ∴∠BOD=∠B+∠D 也可以延长DO,证明同方法② 方法①过拐点作平行线 过点O作EF∥AB. ∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD, ∴∠B+∠BOE=180°， ∠C+∠EOC=180° ∴∠B+∠BOE+∠C+∠EOC =360° ∴∠B+∠BOC+∠C=360° 方法②作延长线 延长AB,CO相交于点E. ∵AB∥CD, ∴∠E+∠C=180° ∵∠ABO+∠EBO=180° ∴∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=360° ∵∠E+∠EBO=∠BOC， ∴∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=∠ABO+∠BOC+∠C=360° 也可以延长 BO,DC,证明同方法② 注意：“铅笔头”模型与“猪蹄”模型之间可以互相转化，在做题时可以根据条件灵活构造模型如图，左半部分为“铅笔头”模型，右半部分为“猪蹄”模型。 【基础练习】 【练习1-1】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【练习1-2】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（   ） A．70° B．65° C．35° D．50° 模型解读 模型名称 图例 结论 证明说明 “猪蹄”模型（拓展型） 2个拐点 个拐点 已知AB∥CD,，0₂是平行 线间的内凹拐点,结论： ∠+∠=∠B+∠D+180° 多拐点时，同样可过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化.（与类型一的证明类似） “铅笔头”模型（拓展型） 图示 多拐点“铅笔头”模型解题思路:有多少个拐点就添加多少条平行线:每组平行线间的夹角和为180° 拐点 0 1 2 3 4 角度 180° 360° 540° 720° “锯齿” 模型 基础 模型 已知AB∥EF,则∠B+∠D=∠C+∠E 多拐点时，同样可过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化 拓展 模型 拆分出1个“猪蹄”模型 拆分出1个“猪蹄”模型 左角之和等于右角之和 【基础练习】 【练习2-1】如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 【练习2-2】如图，直线，，，则（    ）    A． B． C． D． 【练习2-3】已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 模型解读 模型名称 图例 结论 证明说明 “鹰嘴”模型 已知AB∥CD，则∠C+∠E=∠A 过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化 已知AB∥CD，则∠A+∠E=∠C 鹰嘴加小角等于大角 【基础练习】 【练习3-1】如图，已知AB∥CD，请直接写出下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD之间的数量关系式 ． 【练习3-2】如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P= 度．    【典例】如图，如果，那么（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，已知，点是直线，内部一点，连接， （1）若，，则 ； （2）若，，则 ．（用含，的式子表示） 【变式1-2】如图，已知，，，求的度数． 【典例】如图，若，用含有∠1，∠2，∠3的式子表示∠α，则∠α应为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 【变式2-2】如图，，求的度数． 【典例】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE. 【变式3-1】如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，求证：AB∥EF． 【变式3-2】已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【典例】下列各图中的与平行． （1）图①中的 度，图②中的 度，图③中的 度，图④中的 度，…，第⑨个图中的 度 （2）第n个图中的 ． 【变式4-1】【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数． 【变式4-2】已知， (1)如图，求； (2)如图，求； (3)如图，求． 【典例】问题情境：如图1，，，，求的度数． 问题迁移： (1)如图2，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，，，求，，之间有何数量关系？请说明理由． (2)在（1）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出，，之间的数量关系． 【变式5-1】如图，射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D． （1）当时，求证：； （2）用含的式子表示为______（直接写出答案）； 操作探究： （3）当点P在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点P运动到使时，求的度数． 【变式5-2】如图，已知直线l1∥l2，点A、B分别在l1与l2上．直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P． （1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由． （2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？ 1．如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    3．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 已知：如图，．求证：．证明：延长交 ※ 于点，则 ◎ （三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又 ，得 ▲ ．故（ @ 相等，两直线平行）．    则回答正确的是（   ） A．◎代表 B．@代表同位角 C．▲代表 D．※代表 4．如图，直线，点、分别是、上的点（点在点的右侧），点为线段上的一点（点不与点、重合），点为射线上的一动点，连接，过点作，且恰能使得平分若，则和的度数分别为（   ）    A．， B．， C．， D．， 5．如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为 . 6．如图，，，则、、之间满足的数量关系为 ．    7．①如图1，若，则；②如图2，若，则∠C；③如图3，若，则；④如图4，若，点O在直线EF上，则．以上结论正确的序号是 ． 8．已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ． 9．阅读下列文字，完成推理填空： 已知：如图，，，请说明：； 如图，延长交于点G． 因为， 所以 (内错角相等，两直线平行)． 所以 (两直线平行，同位角相等)． 因为， 所以 ( )． 所以 ( )． 10．如图，．求的度数． 11．如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 12．如图，AE∥BD，∠A＝∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F． （1）求证：AB∥CD； （2）探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠BDC＝140°，∠F＝20°．求∠C的度数． 13．如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 14．（1）问题发现：如图①，直线，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点E作， （已知），（辅助线的作法）， （________________________________________）． ．（_______________________________）． ， （同理）． ___________． 即． （2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：． （3）解决问题：如图③，是与之间的点，直接写出，，，，之间的数量关系______________________． 15．综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型解读 模型名称 “猪蹄”模型 “铅笔头”模型 图例 结论 已知：AB∥CD，结论：∠O=∠B+∠D 已知AB∥CD,结论∠B+∠O+∠C=360° 模型证明 方法①过拐点作平行线 过点O作EF∥AB. ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∠B=∠1,∠D=∠2 ∠1+∠2=∠B+∠D, 即∠BOD=∠B+∠D 方法②作延长线 延长BO交CD于点G. ∵AB∥CD, ∴∠B=∠BGD. ∵∠BOD=∠D+∠BGD, ∴∠BOD=∠B+∠D 也可以延长DO,证明同方法② 方法①过拐点作平行线 过点O作EF∥AB. ∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD, ∴∠B+∠BOE=180°， ∠C+∠EOC=180° ∴∠B+∠BOE+∠C+∠EOC =360° ∴∠B+∠BOC+∠C=360° 方法②作延长线 延长AB,CO相交于点E. ∵AB∥CD, ∴∠E+∠C=180° ∵∠ABO+∠EBO=180° ∴∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=360° ∵∠E+∠EBO=∠BOC， ∴∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=∠ABO+∠BOC+∠C=360° 也可以延长 BO,DC,证明同方法② 注意：“铅笔头”模型与“猪蹄”模型之间可以互相转化，在做题时可以根据条件灵活构造模型如图，左半部分为“铅笔头”模型，右半部分为“猪蹄”模型。 【基础练习】 【练习1-1】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．过P作直线，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得，进而可求出，从而求出． 【详解】解：过P作直线，如下图所示， ∵，， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【练习1-2】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（   ） A．70° B．65° C．35° D．50° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决． 【详解】解：作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2， ∵∠1=30°，∠2=35°， ∴∠BCF=30°，∠FCE=35°， ∴∠BCE=65°， 故选：B． 模型解读 模型名称 图例 结论 证明说明 “猪蹄”模型（拓展型） 2个拐点 个拐点 已知AB∥CD,，0₂是平行 线间的内凹拐点,结论： ∠+∠=∠B+∠D+180° 多拐点时，同样可过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化.（与类型一的证明类似） “铅笔头”模型（拓展型） 图示 多拐点“铅笔头”模型解题思路:有多少个拐点就添加多少条平行线:每组平行线间的夹角和为180° 拐点 0 1 2 3 4 角度 180° 360° 540° 720° “锯齿” 模型 基础 模型 已知AB∥EF,则∠B+∠D=∠C+∠E 多拐点时，同样可过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化 拓展 模型 拆分出1个“猪蹄”模型 拆分出1个“猪蹄”模型 左角之和等于右角之和 【基础练习】 【练习2-1】如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质，结合所作的辅助线，可以得出答案． 【详解】解：过点C作，过点D作．    ∵， ∴， ∴，，, ∴ 故选：C． 【练习2-2】如图，直线，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】作直线，，根据平行线的性质可得，，，进而即可求得． 【详解】解：如图，作直线，，    ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【练习2-3】已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵ ， ， 平分，平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 模型解读 模型名称 图例 结论 证明说明 “鹰嘴”模型 已知AB∥CD，则∠C+∠E=∠A 过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化 已知AB∥CD，则∠A+∠E=∠C 鹰嘴加小角等于大角 【基础练习】 【练习3-1】如图，已知AB∥CD，请直接写出下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD之间的数量关系式 ． 【答案】∠PAB=∠APC+∠PCD 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠APE=∠PAB，由平行公理的推论得到PECD，推出∠EPC=∠PCD，即可得到答案． 【详解】解：过P作PEAB， ∴∠APE=∠PAB， ∵ABCD， ∴PECD， ∴∠EPC=∠PCD， ∵∠APE=∠APC+∠EPC， ∴∠PAB=∠APC+∠PCD， 故答案为：∠PAB=∠APC+∠PCD． 【练习3-2】如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P= 度．    【答案】30 【解析】 【分析】要求∠P的度数，只需根据平行线的性质，求得其所在的三角形的一个外角，根据三角形的外角的性质进行求解． 【详解】解：根据平行线的性质，得∠A的同位角是70°，再根据三角形的外角的性质，得∠P＝70°−40°＝30°． 故答案为30． 【典例】如图，如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，由可知，，再由平行线的性质可知，，，故可得出结论． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， 得，，即． 故选：D． 【变式1-1】如图，已知，点是直线，内部一点，连接， （1）若，，则 ； （2）若，，则 ．（用含，的式子表示） 【答案】 / 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定及性质求解即可； （2）过点M作，利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）如图，过点作， ∵，∴． ∴，， ∴． 故答案为：； （2），，同理可得； 故答案为：． 【变式1-2】如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作，则，由平行线的性质可得，，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如答图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ． 【典例】如图，若，用含有∠1，∠2，∠3的式子表示∠α，则∠α应为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】过点E作，过点G作，根据平行推理得到，结合平行线性质得到角度关系即可得到答案； 【详解】解：如图，过点E作，过点G作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． 故选D； 【变式2-1】如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 【答案】540 【解析】 【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°， 故答案为：540． 【变式2-2】如图，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质．分别过，点G，F，E作，结合垂直定义，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，分别过点G，F，E作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 【典例】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE. 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点E在∠BED的内部作EM∥AB，先根据平行线的性质得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根据∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，从而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可证明BE⊥DE. 【详解】证明：过点E在∠BED的内部作EM∥AB，则∠B=∠BEM， ∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM， 又∵AB∥CD，EM∥CD， ∴∠D=∠DEM， ∵∠2=∠D，∠DEM=∠2， ∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°， ∴∠BEM+∠DEM=90°, 即∠BED=90， ∴BE⊥DE. 【变式3-1】如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，求证：AB∥EF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB或CD平行的直线，利用平行线的性质和判定求证． 【详解】解：过C点作CG∥AB，过点D作DH∥AB，则CG∥DH， ∵∠B＝25°， ∴∠BCG＝25°， ∵∠BCD＝45°， ∴∠GCD＝20°， ∵CG∥HD， ∴∠CDH＝20°， ∵∠CDE＝30°， ∴∠HDE＝10° ∴∠HDE＝∠E＝10°， ∴DH∥EF， ∴DH∥AB， ∴AB∥EF． 【变式3-2】已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论． 【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图 ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD， ∵EF∥CD（辅助线）， ∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D． 【典例】下列各图中的与平行． （1）图①中的 度，图②中的 度，图③中的 度，图④中的 度，…，第⑨个图中的 度 （2）第n个图中的 ． 【答案】 180 360 540 720 1620 【解析】 【分析】（1）分别过、、．．．作的平行线，利用平行线的性质求解即可； （2）根据（1）的计算总结出规律即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 如图，分别过、、．．．作MA1的平行线， 同理可得：图②中的， 图③中的， 图④中的， …， 第⑨个图中的； 故答案为：180，360，540，720，1620； （2）第n个图中的． 故答案为：． 【变式4-1】【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用． （1）过点作，利用平行线的性质即可解答； （2）先利用三角形的内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用“猪蹄模型”可得，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）， 理由：如图，过点作， ， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ， 由（1）可得：， ， ． 【变式4-2】已知， (1)如图，求； (2)如图，求； (3)如图，求． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】 【分析】本题考查了根据平行线的性质探究角的关系，旨在考查学生的“举一反三”能力．过“拐点”作已知平行直线的平行线是解题关键． （1）作，根据即可求解； （2）作，作，根据即可求解； （3）结合上述推理过程即可确定一般规律． 【详解】（1）解：如图，作， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，作，作， ∵ ∴， ∴ （3）解：如图，同（2）作平行线， ∴． 【典例】问题情境：如图1，，，，求的度数． 问题迁移： (1)如图2，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，，，求，，之间有何数量关系？请说明理由． (2)在（1）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析(2)或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用； （1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1），理由如下： 如图3，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图4，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，，，之间的数量关系为或． 【变式5-1】如图，射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D． （1）当时，求证：； （2）用含的式子表示为______（直接写出答案）； 操作探究： （3）当点P在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点P运动到使时，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）；（3），理由见详解；（4） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义； （1）由角平分线的定义得，，从而可得，由平行线的性质得，即可得证； （2）解：由（1）同理可得，，代入即可求解； （3）由平行线的性质得，，再由角平分线的定义得 ，即可求解； （4）由平行线的性质得，从而可得，则有，结合角平分线的定义得，由平行线的性质即可求解； 理解角平分线的定义，能灵活应用平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ， ， ， ， ， ； ， ； （2）解：由（1）同理可得 ， ， ； 故答案：； （3）解：，理由如下： ， ， ， 平分， ， ； （4）解：， ， 当时， 有， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-2】如图，已知直线l1∥l2，点A、B分别在l1与l2上．直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P． （1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由． （2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？ 【答案】（1）∠APB＝∠PAC+∠PBD（2）∠APB＝∠PAC﹣∠PBD；∠APB＝∠PBD﹣∠PAC． 【解析】 【分析】（1）过点P作PE∥l1，求出PE∥l2∥l1，根据平行线的性质得出∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2，即可得出答案； （2）分为两种情况：①当点P在l2下方时，②当点P在l1上方时，根据平行线的性质得出即可． 【详解】解：（1）如图，当P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD．理由如下： 过点P作PE∥l1， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2∥l1， ∴∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2， ∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD； （2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合）， 则有两种情形：①如图， 当点P在l2下方时，有结论：∠APB＝∠PAC﹣∠PBD． 理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC， 又∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD， ∵∠APE＝∠APB+∠BPE， ∴∠PAC＝∠APB+∠PBD， ∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD； ②如图， 当点P在l1上方时，有结论：∠APB＝∠PBD﹣∠PAC． 理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD， 又∵l1∥l2， ∴PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC， ∵∠BPE＝∠APE+∠APB， ∴∠PBD＝∠PAC+∠APB， ∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAC． 1．如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，根据两直线平行内错角相等求得，根据平角求出，再利用三角形外角性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，延长交于点，    ， ， ， ， 故选：． 2．图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    【答案】/30度 【解析】 【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论． 【详解】解：过点作． ， ． ． ， ． ， ． ． 故答案为：．    3．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 已知：如图，．求证：．证明：延长交 ※ 于点，则 ◎ （三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又 ，得 ▲ ．故（ @ 相等，两直线平行）．    则回答正确的是（   ） A．◎代表 B．@代表同位角 C．▲代表 D．※代表 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质，延长交于点F，利用三角形外角的性质可得出，结合可得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，找出各符号代表的含义，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】证明：延长交于点F， 则（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又，得． 故（内错角相等，两直线平行）． 故※代表，◎代表，▲代表，@代表内错角． 故选：C． 4．如图，直线，点、分别是、上的点（点在点的右侧），点为线段上的一点（点不与点、重合），点为射线上的一动点，连接，过点作，且恰能使得平分若，则和的度数分别为（   ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】 【分析】先证，再根据平行线的性质，角平分线的定义以及平角的定义即可求解． 【详解】解：，，    ， ， 平分， ， ， ， ， 故选B． 5．如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为 . 【答案】 【解析】 【分析】过点C作，则，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而∠1与∠2的数量关系即可求解. 【详解】解：过点C作，如图： 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 6．如图，，，则、、之间满足的数量关系为 ．    【答案】 【解析】 【分析】如图，过E作，过F作，过G作，再证明，再结合平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，过E作，过F作，过G作， ∵， ∴，    ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 7．①如图1，若，则；②如图2，若，则∠C；③如图3，若，则；④如图4，若，点O在直线EF上，则．以上结论正确的序号是 ． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ②先根据三角形外角的性质得出∠1=∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③过点E作直线EFAB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC-∠1=180°，即得∠AEC=180°+∠1-∠A； ④根据平行线的性质得出∠α=∠BOF，∠γ+∠COF=180°，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EFAB， ∵ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°， ∴∠A+∠B+∠AEC=360°， 故本结论正确，符合题意； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1=∠C+∠P， ∵ABCD， ∴∠A=∠1， ∴∠A=∠C+∠P， ∴∠P=∠A-∠C， 故本结论正确，符合题意； ③如图3，过点E作直线EFAB， ∵ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠A+∠3=180°，∠1=∠2， ∴∠A+∠AEC-∠1=180°， 即∠AEC=180°+∠1-∠A， 故本结论错误，不符合题意； ④如图4，∵ABEF， ∴∠α=∠BOF， ∵CDEF， ∴∠γ+∠COF=180°， ∵∠BOF=∠COF+∠β， ∴∠COF=∠α-∠β， ∴∠γ+∠α-∠β=180°， 故本结论正确，符合题意； 故答案为：①②④． 8．已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义，根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键． 【详解】解：当点F在下方时， 过点F作，过点E作，如图1所示： 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当点F在上方时，过点E作，如图2所示： 设， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所示：的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为或， 故答案为：14°或37°． 9．阅读下列文字，完成推理填空： 已知：如图，，，请说明：； 如图，延长交于点G． 因为， 所以 (内错角相等，两直线平行)． 所以 (两直线平行，同位角相等)． 因为， 所以 ( )． 所以 ( )． 【答案】；；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的判定定理和性质定理进行解答即可． 【详解】解：如图，延长交于点G． 因为， 所以 (内错角相等，两直线平行)． 所以(两直线平行，同位角相等)． 因为， 所以(等量代换)． 所以 (内错角相等，两直线平行)． 10．如图，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：如图，过点作． 因为，所以， 所以， 所以． 11．如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 12．如图，AE∥BD，∠A＝∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F． （1）求证：AB∥CD； （2）探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠BDC＝140°，∠F＝20°．求∠C的度数． 【答案】（1）见解析（2）∠A+∠AEC+∠C＝360°（3）∠C＝100° 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠ABD＝180°，结合已知∠A＝∠BDC，得到∠BDC+∠ABD＝180°，于是问题得证； （2）过点E作EH∥AB，于是有EH∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠AEH＝180°，∠C+∠CEH＝180°，从而得出∠A+∠AEC+∠C＝360°； （3）在△CEF中根据三角形内角和定理求出，结合（2）中的结论得出∠AEC+∠C＝220°，从而求出∠C的度数． 【详解】（1）证明：∵AE∥BD， ∴∠A+∠ABD＝180°， ∵∠A＝∠BDC， ∴∠BDC+∠ABD＝180°， ∴AB∥CD； （2）解：∠A+∠AEC+∠C＝360°，理由： 如图，过点E作EH∥AB， 由（1）知AB∥CD， ∴EH∥CD， ∴∠A+∠AEH＝180°，∠C+∠CEH＝180°， ∴∠A+∠AEH+∠C+∠CEH＝360°， 即∠A+∠AEC+∠C＝360°； （3）解：∵∠AEC 的平分线交CD的延长线于点F， ∴， 在△CEF中，∠F+∠CEF+∠C＝180°， ∵∠F＝20°， ∴①， ∵∠A＝∠BDC，∠BDC＝140°， ∴∠A＝140°， ∵∠A+∠AEC+∠C＝360°， ∴∠AEC+∠C＝220°②， ②﹣①得，∠AEC＝120°， ∴∠C＝100°． 13．如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ (2)，见解析 (3)图中，图中 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据平行线的性质补充完整即可； （2）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点作，如图所示， 所以 (①两直线平行，同旁内角互补)． 因为，， 所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)， 所以 (③两直线平行，同旁内角互补)， 所以④，即． 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ （2）解：猜想． 理由：过点P作，如图所示， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以，即； （3）解：图中，图中． 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴； 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴． 14．（1）问题发现：如图①，直线，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点E作， （已知），（辅助线的作法）， （________________________________________）． ．（_______________________________）． ， （同理）． ___________． 即． （2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：． （3）解决问题：如图③，是与之间的点，直接写出，，，，之间的数量关系______________________． 【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角的和差． （1）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （3）过点作，过点作，过点作，根据平行线的判定及性质，角的和差求解即可． 【详解】解：（1）证明：过点E作， （已知），（辅助线的作法）， （平行于同一直线的两直线平行）． ．（两直线平行，内错角相等）． ， （同理）． ． 即． 故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）∵过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）过点作，过点作，过点作， ∴，，， ∵，， ∴ ． 15．综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或 【解析】 【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案； （2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案； ②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案． 【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴； （2）①； 理由如下：如图， 过作交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当点在延长线时，如备用图1： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPC=，∠EPD=， ∴； 当在之间时，如备用图2： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPD=，∠CPE=， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$