精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

莎车县2024-2025学年第一学期高二年级期末考试 （数学）试卷 满分150分 时长120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 3. 设为直线与圆的两个交点，则 A. B. C. D. 4. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 5. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 6. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 7. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 取得最大值时， 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A B. C. 以MN为直径圆与l相切 D. 为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 若，则＝______． 13. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______． 14. 等差数列的前项和为，，，则__________ 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤. 15. 斜率为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点． 求该抛物线的标准方程和准线方程； 求线段AB的长． 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，平面ABCD，其中，，，，点M在棱PD上，，点N为BC中点. （1）证明：直线平面PAB； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知P是圆F1：（x+1）2+y2＝16上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）. 19. 设数列各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意.都有，，，（e是自然对数的底数，）. （1）求数列、的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）试探究是否存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莎车县2024-2025学年第一学期高二年级期末考试 （数学）试卷 满分150分 时长120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆离心率公式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 故选：A. 2. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 【答案】B 【解析】 【详解】设塔顶的a1盏灯， 由题意{an}是公比为2的等比数列， ∴S7==381， 解得a1=3． 故选B． 3. 设为直线与圆的两个交点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①求出圆心到直线的距离,所以直径②直线与圆联立方程,由弦长公式来求得.故选D. 考点：直线与圆的交点弦长 4. 记等差数列的前项和为，则（ ） A 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 5. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果. 详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以, 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 6. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 7. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量共面，则存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，，， 因为向量，，共面，则存在实数使得， 即，解得. 故选：C. 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与，有关齐次式即可得离心率． 【详解】由双曲线的对称性可知，，则四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， ， 则， 因为，所以，故， 则有， 即，即，则，由，故． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于，，之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出，与的具体关系及的大小，借助余弦定理表示出与，有关齐次式，即可得解． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量的定义，平行，垂直，模长的定义可以对每一个选项进行逐一判断，进而得出答案. 【详解】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直， 所以不正确； 对于：， ， 所以正确； 对于：，， 而， ∴不平行于；所以不正确. 故选：. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 取得最大值时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件列方程组求出等差数列的首项、公差，然后即可对选项进行判断﹒ 【详解】解法一：由题可得，解得故选项A正确，选项B错误； 易知，则，选项C正确. 因为，，，所以当或11时，取得最大值（技巧：由得数列递减，进而判断最大时的临界项） 选项D错误. 故选：AC 解法二：对于A：易知，所以，选项A 正确； 对于B：，选项B错误； 对于C：，选项C正确； 对于D：易知，，，（技巧：由得数列递减，进而判断最大时临界项） 所以当或11时，取得最大值，所以选项D错误. 故选：AC 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的运算的坐标表示求解即可 【详解】解：因为 所以， 所以 故答案为：． 13. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】 ， ，① 又 ② ①-②得：， 的面积为9， ， 故答案为：3. 14. 等差数列的前项和为，，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出数列的首项和公差，继而求得数列的前项和公式，将的表达式进行裂项，再求即得. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意有： ，解得 ， 数列的前n项和， 则有：， 故有 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤. 15. 斜率为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点． 求该抛物线的标准方程和准线方程； 求线段AB的长． 【答案】（1）抛物线的方程为，其准线方程为；（2） 【解析】 【分析】根据焦点可求出p的值，从而求出抛物线的方程，即可得到准线方程； 设，将直线l的方程与抛物线方程联立消去y，整理得，，得到根与系数的关系，由抛物线的定义可知，代入即可求出所求． 【详解】 由焦点，得，解得 所以抛物线的方程为，其准线方程为， 设， 直线l的方程为 与抛物线方程联立，得， 消去y，整理得， 由抛物线的定义可知，． 所以，线段AB的长为 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及过焦点的直线与抛物线相交的弦长等问题，属于中档题． 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 , 所以 故 所以 ， . 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，平面ABCD，其中，，，，点M在棱PD上，，点N为BC中点. （1）证明：直线平面PAB； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角； 【小问1详解】 如图所示，在线段上取一点，使，连接，， ，， 又平面，平面， 平面， 又，， 且， 故四边形平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 又平面， 所以平面平面， 平面， 平面； 【小问2详解】 如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 又是中点，则， 所以，，， 设平面的法向量，则， 令，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 设二面角为， 所以，所以 则二面角的正弦值为. 18. 已知P是圆F1：（x+1）2+y2＝16上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）. 【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义即可求出点Q的轨迹方程； （2）设出点M的坐标，表示出直线MA的方程，与椭圆方程联立可求得点的坐标，同理可求得点的坐标，再利用三点共线的条件即可证出． 【详解】（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4， 所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆， 故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3 所以曲线C的方程为 （2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），设点M的坐标为（1，m） 直线MA的方程为： 将与联立消去y整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0， 设点D的坐标为（xD，yD），则， 故，则 直线MB的方程为：y＝﹣m（x﹣2） 将y＝﹣m（x﹣2）与联立消去y整理得：（4m2+3）x2﹣16m2x+16m2﹣12＝0 设点E的坐标为（xE，yE），则， 故，则 HD的斜率为 HE的斜率为 因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H. 【点睛】本题主要考查定义法求轨迹，以及椭圆中的定点问题的解法应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题． 19. 设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意.都有，，，（e是自然对数的底数，）. （1）求数列、的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）试探究是否存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可求得数列，两边同时取对数可求得； （2）先求出的通项公式，再根据错位相减法可求得前n项和； （3）将不等式化简，求得各自的最值，即可求得结果. 【小问1详解】 对于，当时，，即， 因为，所以， 当时，， 两式相减可得， 化简可得，因为数列的各项都是正数， 所以， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列， 根据； 对于，则，即， 因为，所以，所以是以1为首项，公比为2的等比数列， 则，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 则 ， 所以， ，即， 所以； 【小问3详解】 由（1）可得，所以， 因为，所以， 因为对于任意，不等式恒成立， 所以对于任意，不等式恒成立， 当时，， 当时，， 根据基本不等式可得，当且仅当时，等号成立； 当时，；当时，；当时，， 又当时，， 所以数列在上单调递增， 所以，， 要使不等式恒成立， 满足条件的整数为2. 【点睛】关键点点睛： （1）题目中给出数列前项和的公式，求通项公式时，通常用； （2）如果是一个等差数列乘一个等比数列，则这个数列的前项和要用错位相减法求解； （3）对于不等式恒成立问题，若恒成立，则，若恒成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$