精品解析：河南省郑州市部分学校2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

2024—2025学年（下）高一年级开学考 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集概念计算. 【详解】全集，集合，则. 故选：C. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定，可得命题的否定为“”. 故选：D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先指数对数互化，再根据指数幂运算法则将进行变形，再结合已知条件进行计算. 【详解】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. 4 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式先对所求式子化简，再利用弦化切即可求得结果. 【详解】. 故选：C 6. 已知函数，则的最小正周期和最小值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期，整体法求出最小值. 【详解】 ， 故的最小正周期为， 当，即时， 取得最小值，最小值为. 故选：B 7. 已知满足不等式的的最小值为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数和二次函数的单调性判断的单调性，则；结合指数幂和对数的运算性质判断的取值，即可下结论. 【详解】因为在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以满足不等式的值的最小值为5，即； 又，， 所以. 故选：A 8. 已知是定义在上的偶函数，若且恒成立，且，则满足不等式的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，将转化为，利用函数的单调性即可求得结果. 【详解】且恒成立， 将其变形为，构造函数， 由上式可知在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数，则， 所以也是定义在上的偶函数， 由，，又由偶函数性质可得， 将转化为， 即，又因为在上单调递增且为偶函数， 可得，解得， 故选：A 【点睛】关键点点睛：将原式其变形为，构造函数，将转化为，利用函数的单调性即可求得结果. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、指数函数的单调性等知识，结合已知条件判断、、的正负性和大小关系，再逐一分析选项即可. 【详解】已知，由，可得，；由可得. 因为，且，，不等式两边同时乘以，不等号方向不变，得到. 对于选项A，因为，两边同时加上，可得，所以选项A正确. 对于选项B，因为，那么. 根据平方的性质，一个数的平方等于它绝对值的平方，所以，选项B错误. 对于选项C，因为，所以，. 又因为，由可知，，所以，即. 因为函数在上单调递增，所以，选项C正确. 对于选项D，当时，指数函数在上单调递增，因为，所以； 当时，指数函数在上单调递减，因为，所以. 所以无法确定与的大小关系，选项D错误. 故选：AC 10. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的部分图象先求的解析式可判断A，进而根据正弦型函数的性质求其单调性可判断B，由图象变换可得的解析式可判断C，进而根据余弦型函数对称轴的求法可判断D. 【详解】选项A：由图象可知，，故得，又得 由则，故， 故，故A正确； 选项B：由得， 当时，得的一个单调递增区间为， 故在区间上单调递增，B正确； 选项C：将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得， 再将所得图象向右平移个单位长度，得，化简得，故C错误； 选项D：由得的对称轴为， 当时，，故D正确， 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为非奇非偶函数 C. 若，则 D. 对任意恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将条件化为，然后直接在恒等式中取特殊值，即可验证A选项，并得到，再由此验证C和D选项. 对于B选项，直接给出一个反例即可. 【详解】我们有恒等式：. 对于A，由恒等式可得，而，故，所以，即，故A正确； 对于B，由于满足条件且是偶函数，所以有可能是偶函数，故B错误； 对于C，由恒等式可得，故. 若，则，故C正确； 对于D，由恒等式可得 而，故和同号（同为正数，或同为负数，或同为0）， 从而再由可知，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数其中且，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求出，进而求解. 【详解】当时，，又， 所以，解得， 当时，， 所以. 故答案为： 13. 已知，若幂函数的图象关于轴对称，且与轴及轴均无交点，则的值为_______． 【答案】或1或3 【解析】 【分析】由题意，需使，求出k的范围，再根据，结合题意逐一验证即得． 【详解】由题意，令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，此时， 所以其图象关于y轴成轴对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称， 且与x轴及y轴均无交点，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称， 且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称， 且与x轴及y轴均无交点，不满足题意； 当时，，幂函数为，此时， 所以其图象关于y轴成轴对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 综上，k值为或1或3. 故答案为：或1或3. 14. 已知函数，若，且在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知最小正周期，进而可得，代入即可得函数值. 【详解】因，且在区间上恰有一个最大值和一个最小值， 可知函数的最小正周期， 则，解得，可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用集合的交集运算和并集运算即可求解； （2）由知，得的不等式组解得即可. 【小问1详解】 当时，， 又， 故， ． 【小问2详解】 ， 当时，，解得， 当时，解得， 故的取值范围是． 16. 如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为． （1）若，求点的坐标； （2）若，求． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）依据题意求出，再结合任意角三角函数的定义与诱导公式求解即可. （2）利用两角和差的正余弦公式求出，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且， 所以且，解得，即， 由三角函数的定义知，， 因为，且，所以， 所以， ，故． 【小问2详解】 因为， ， 解得，故． 17. 批发市场的某种水果在过去的10个月内，第个月的批发价格（单位：元／千克）满足函数关系式，第个月的月交易量（单位：百吨）的部分数据如下表，给出两个函数模型：（1）；（2）． 1 2 4 5 10 11 10.5 10.25 10.2 10.1 （1）请你根据上表中的数据，通过计算说明可以用哪种函数模型来描述该水果第个月的月交易量与的函数关系，并求出该函数关系式； （2）根据（1）中得到的函数关系式，求出该水果在过去10个月内第个月的月交易额（单位：十万元）的函数关系式，并求其最小值．（月交易额月交易量批发价格） 【答案】（1）模型②适合， （2），441（十万元）． 【解析】 【分析】（1）分别代入求出模型对应解析式，再结合点判断拟合效果即可； （2）先根据题意得到，分别利用基本不等式和函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 对于模型①， 将代入，得即 两式相减得，得， 其中，无解， 故模型①不适合； 对于模型②， 将代入，得即解得 即， 经验证，点均在的图象上， 所以模型②适合． 所以与的函数关系式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以． 当时，由基本不等式，可得， 当且仅当，即时等号成立； 当时，，为减函数， 所以最小值为． 综上，当时，函数取得最小值，为441（十万元）． 18. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求证：当时，是定义域为的偶函数； （3）若有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的定义列出不等式，再分类求解得定义域. （2）把代入，利用偶函数的定义推理得证. （3）利用偶函数的性质，将问题转化为在时有且仅有2个零点，再转化为方程在上有2个解求解. 【小问1详解】 函数有意义，则， 当，即时，恒成立，函数的定义域是； 当，即或时，由，得或， 函数的定义域是， 所以当时，函数的定义域是； 当或时，函数的定义域是. 【小问2详解】 当时，由（1）知的定义域为，又的定义域为， 则函数的定义域为，而，因此， 所以函数是定义域为的偶函数． 【小问3详解】 对一切，当且仅当，即时取等号， 对函数的定义域内任意，使得在的定义域内， 而，则在的定义域内，在函数的定义域内， 且有，因此函数是偶函数，由有且仅有4个零点， 得在时有且仅有2个零点，又函数在上单调递增， 令函数，由，得，则方程在上有2个解， 即方程在上有2个解，则，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知，函数．定义：表示，中的较大者． （1）当时，比较与的大小； （2）在（1）的条件下，设函数，求的最小值； （3）设，函数，若在区间上既有最大值又有最小值，求的取值范围．（用表示） 【答案】（1）答案见解析 （2）． （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）通过分类讨论，得到函数解析式，再画出函数图象，结合图象比较与的大小；（2）根据（1）中与的大小关系确定的表达式，进而求出最小值；（3）先化简的表达式，分情况讨论，得到函数图象，再结合函数性质确定，的取值范围. 【小问1详解】 当时， 当时，令，得，解得或； 当时，令，得，解得（舍去． 作出的大致图象如图（1）所示： 观察图象可知，当或时，； 当或时，． 【小问2详解】 当时，，所以点， 由（1）可知的图象是图（1）中粗线部分， 由是减函数可知点是图象的最低点， 所以的最小值是． 【小问3详解】 ①当时，的大致图象如图（2）所示， 因为在区间上既有最大值又有最小值，是开区间， 所以最大值，最小值只能在和处取得，且， 由，解得（负值舍去），又， 所以． ②当时，的大致图象如图（3）所示， 因为在区间上既有最大值又有最小值，是开区间， 所以最大值，最小值只能在和处取得，且， 由，解得（正值舍去），又， 所以． 综上，当时，的取值范围为的取值范围为；当时，的取值范围为的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题考查了含有参量的绝对值的函数最值情况，关键是去绝对值，转化为一元二次函数问题，因为含有参量，所以需要进行分类讨论，如何去绝对值，怎么分类讨论是核心，也是难点，所以要理解题意，掌握解题方法 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年（下）高一年级开学考 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A 4 B. 0 C. D. 6. 已知函数，则的最小正周期和最小值分别为（ ） A. B. C. D. 7. 已知满足不等式的的最小值为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，若且恒成立，且，则满足不等式的的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 的图象关于直线对称 11. 已知函数的定义域为，满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为非奇非偶函数 C. 若，则 D. 对任意恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数其中且，若，则_______． 13. 已知，若幂函数图象关于轴对称，且与轴及轴均无交点，则的值为_______． 14. 已知函数，若，且在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为． （1）若，求点的坐标； （2）若，求． 17. 批发市场的某种水果在过去的10个月内，第个月的批发价格（单位：元／千克）满足函数关系式，第个月的月交易量（单位：百吨）的部分数据如下表，给出两个函数模型：（1）；（2）． 1 2 4 5 10 11 10.5 10.25 10.2 10.1 （1）请你根据上表中的数据，通过计算说明可以用哪种函数模型来描述该水果第个月的月交易量与的函数关系，并求出该函数关系式； （2）根据（1）中得到的函数关系式，求出该水果在过去10个月内第个月的月交易额（单位：十万元）的函数关系式，并求其最小值．（月交易额月交易量批发价格） 18. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求证：当时，是定义域为的偶函数； （3）若有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 19. 已知，函数．定义：表示，中的较大者． （1）当时，比较与的大小； （2）在（1）的条件下，设函数，求的最小值； （3）设，函数，若在区间上既有最大值又有最小值，求的取值范围．（用表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$