精品解析：安徽省芜湖市镜湖区安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

安师大附中2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在内函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数对任意的，都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数在有8个不同零点，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列说法正确的有（ ） A. 若角的终边过点，则 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题“”是假命题，则的取值范围为 D. 若，且，则的最小值为9 9. 已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（    ） A. 的一条对称轴是直线 B. 的一条对称轴是直线 C. 方程有3个解 D. 10. 已知函数的定义域为，对任意，满足，，且对任意，，则下列选项中，正确的是（ ） A B. 为偶函数 C. 对任意， D. 在上为增函数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为__________. 12. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 13. 已知函数，若方程的一个实根在区间上，则的所有可能取值形成的集合为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 15. 某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． （1）求θ关于x的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 16 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值． 17. 如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为． （1）求函数的解析式； （2）设在上的两个零点为，求的值； （3）将函数图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在[0,b]（）上至少有10个零点，求最小正整数b． 18. 设，是非空实数集，如果对于集合中的任意两个实数，，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，，，其中称为二元函数的定义域. （1）已知，若，，，求； （2）设二元函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，，都有， ②，，使得. 那么，我们称是二元函数的下确界. 若，，且，判断函数是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由. （3）定义域为，若，对于，，都有，则称在上是关于单调递增.已知在上是关于单调递增，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安师大附中2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题为真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可排除A，B，C；利用作差法可推得D正确. 【详解】对于A，因，取，则，有，故A是假命题； 对于B，当时，，故B是假命题； 对于C，取，，满足，但，故C是假命题； 对于D，由，由，所以，故D是真命题. 故选：D. 2. 已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法、一元二次方程的判别式以及根与系数的关系和不等式的性质运算即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以，即，解得：或． 因为有两个不等根，所以， 解得：或，则的取值范围是． 故选：B 3. 在内函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数相关知识直接求解定义域即可. 【详解】由题意得，，解得， 所以，即函数定义域. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值，再结合弦化切求值. 【详解】根据题意，， 则. 故选：A 5. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得在上为减函数，比较的大小，结合函数的单调性分析可得答案. 【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减， 则在上也是减函数，则在上为减函数， . 所以， 所以. 故选：C 6. 已知函数对任意的，都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先将化为，再利用函数的最值求出，并列出不等式即可求解. 【详解】 ， 其中，由题意的最大值为， 得，a＞0，∴a＝2， ， 因为，所以， 且在[0，π]上的值域为，所以, . 故选：A． 【点睛】方法点睛：解决三角函数的性质问题，首先是将函数通过三角恒等变换转化为正弦型函数，然后利用正弦函数的性质解决相关问题. 7. 已知函数，若函数在有8个不同零点，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数图象，设，解得解得或，然后分，和讨论，结合条件根据图象求解即可. 【详解】令，得， 解得或， 作出函数的图象如图所示： （1）当时，有无数个解，不符合； （2）当时，则方程无解， 因为函数在有8个不同零点， 所以方程在有8个不同的实根， 即函数与的图象在有8个不同的交点， 由图可知，，所以， （3）当时，则方程无解， 则方程在有8个不同的实根， 即函数，的图象在有8个不同的交点， 由图可知，，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列说法正确的有（ ） A. 若角的终边过点，则 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题“”是假命题，则的取值范围为 D. 若，且，则的最小值为9 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A根据三角函数的定义分析运算；对于B，根据充要条件相关知识判断即可；利用命题的否定来解决问题即可得选项C；对于D，应用基本不等式计算判断即可. 【详解】对于选项A：由题意可得：，解得，故A正确； 对于B，若，则,当不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 选项C；若命题是假命题，则命题：“，”为真命题 所以当时，恒成立， 当时有 所以，故C正确； 对于D: 若，且，则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9，故D正确. 故选：ACD. 9. 已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（    ） A. 的一条对称轴是直线 B. 的一条对称轴是直线 C. 方程有3个解 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，A选项正确. 由于函数是奇函数，所以的图象关于对称，B选项错误. 则，所以， 即有， 所以是周期为的周期函数. 当时，， 画出、的大致图象如下图所示， 由图象以及的周期性可知，两个函数图象有个交点， 则有3个解，C选项正确. ， ，所以， 所以，所以D选项错误. 故选：AC 【点睛】函数的奇偶性、对称性、周期性等等，可以根据给定的函数表达式来确定，如本题中，是偶函数，图象关于轴对称，而是由向左平移个单位得到，所以的图象关于对称.如果一个函数既关于直线对称，又关于点对称，可以考虑函数具有周期性. 10. 已知函数的定义域为，对任意，满足，，且对任意，，则下列选项中，正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 对任意， D. 在上为增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，代入，即可判断A是否正确；令，结合，即可判断B是否正确；将用替换，结合函数为奇函数，即可判断C是否正确；设任意的，且，结合对任意，，对的范围进行分析，即可判断D是否正确. 【详解】令，所以，即，故A正确； 因为函数的定义域为 对任意，满足 令，则， 又， 所以 ，即，所以函数是奇函数，故B错误； 因为函数是奇函数，对任意，则 又，所以，即，故C正确； 设任意的，且，所以 因为，所以，且，即 又，所以 所以，所以 又因为对任意，且函数是奇函数， 所以对任意，，所以， 所以，即，所以函数在上为增函数，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设扇形半径为，由条件结合弧长公式求，再由扇形面积公式求结论. 【详解】设扇形半径为， 则，解得， 所以. 故答案为：. 12. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 【答案】40 【解析】 【分析】根据给定的指数函数模型及已知可得，再令求即可. 【详解】由题设，有，可得， 令，可得. 故答案为： 13. 已知函数，若方程的一个实根在区间上，则的所有可能取值形成的集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根可得符合，利用函数的图象，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】①由方程，解得：，因为，故； ②由于方程即方程，分别作出左右两边函数的图象， 由于， 结合图象上可得出：方程在区间内有一个实根. 故方程在区间内有且仅有一个实根.此时， 下面证明：方程在区间内有一个实根， 令函数，在区间内有一个零点， 因为时，，故函数在区间是增函数， 又，，即， 由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点， 即方程在区间内有且仅有一个实根， 此时，k的所有可能取值形成的集合为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）化简集合A与B，根据交集的定义求解即可. （2）根据“”是“”的充分不必要条件，得B是A的真子集，由此得出实数a的取值范围． 【小问1详解】 集合， 当时，，所以. 【小问2详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得集合B是A的真子集， 而，则或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 15. 某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． （1）求θ关于x的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 【答案】（1） （2），当时，y取得最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）通过表示出扇环形花坛的周长即可得出θ关于x的函数关系式； （2）列出y关于x的函数关系式，利用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 由题意得，故． 【小问2详解】 花坛的面积为． 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用的比为． 令，则，则， 当且仅当，即时， y取得最大值，最大值为，此时，． 故当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 16. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，，则，函数转化为，，求出二次函数在上的值域，即为函数在上的值域； （2）令，可将所求不等式变形为关于的取值范围，再结合对数函数的单调性可得出的取值范围，即为所求； （3）令，，则，可得出对于恒成立，由参变量分离法可得对于恒成立，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，即， 由，可知当时，取到最大值，即， 故当时，函数的值域为． 【小问2详解】 由题得， 令，则，即，解得或， 即或，解得或. 故不等式的解集为. 【小问3详解】 由于对于恒成立， 令，，则，即对于恒成立， 即对于恒成立，所以对于恒成立． 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则时，， 故当时，对于恒成立． 所以，的最小值为． 17. 如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为． （1）求函数的解析式； （2）设在上的两个零点为，求的值； （3）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在[0,b]（）上至少有10个零点，求最小正整数b． 【答案】（1）； （2）； （3）10． 【解析】 【分析】（1）由题意得，从而可得函数的一条对称轴为，从而可得周期，根据周期公式可得ω的值，再代入C点坐标，即可求得函数的解析式； （2）由题意可得，代入求解即可； （3）由题意得，解出函数的零点，可得b的范围，再根据b为整数得答案． 【小问1详解】 因为，得到， 所以的一条对称轴为， 此时，则，从而解得， 又，且，得． 从而； 【小问2详解】 由题意得， 令，得到， 因为，， 所以，解得， 从而； 【小问3详解】 根据图象平移得， 令，则或， 由在[0,b]（）上至少有10个零点，易知，则， 所以，又b为正整数，故最小正整数b为10． 18. 设，是非空实数集，如果对于集合中任意两个实数，，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，，，其中称为二元函数的定义域. （1）已知，若，，，求； （2）设二元函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，，都有， ②，，使得. 那么，我们称是二元函数的下确界. 若，，且，判断函数是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由. （3）的定义域为，若，对于，，都有，则称在上是关于单调递增.已知在上是关于单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）由二元函数的定义求解即可； （2）根据基本不等式即二次函数的性质判断即可； （3）根据二元函数在定义域上单调递增的定义求解即可； 【小问1详解】 由可得，， 由可得，， 由 又， 所以； 【小问2详解】 由可得，， 由可得，，所以， ， 当且仅当，即，或，时取等号. 【小问3详解】 因为在上是关于单调递增， 所以， 即存在，对于任意的，，都有， 化简可得，即， 下面求函数的最小值， 设，， ， 所以函数递增， ， 即存在，使得， 设，， ①当时，， ②当时，， 设，， 所以， 综上，， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $