精品解析：湖南省永州市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

永州市2024年下期高二期末质量检测试卷 数学 命题人：刘魁（永州二中） 杨姗姗（永州一中） 谢军（江华二中） 陶先国（蓝山二中） 审题人：席俊雄（永州市教科院） 注意事项： 1．本试卷共150分，考试时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无分． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称点坐标特征可直接得到结果. 【详解】由对称点坐标特征可知：点关于平面对称点的坐标为. 故选：C. 2. 已知直线和相互垂直，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线垂直列方程计算求参. 【详解】直线和相互垂直， 则，则. 故选：D. 3. 记等差数列的前项和为，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列项的性质和求和公式即可求得的值. 【详解】因为数列为等差数列，则. 故选：B 4. 圆圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 5. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线平行，得到，再结合离心率的定义，即可求解． 【详解】由题意，双曲线渐近线方程为， 因为一条渐近线与直线平行，可得， 则，即双曲线的离心率为． 故选：C． 6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设直线的方程为，与抛物线方程联立并应用韦达定理，求解即可. 【详解】由题意得，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为， 设， 联立，得，， 由韦达定理得， 又，所以，所以， 解得或，所以， 所以. 故选：A. 7. 已知等比数列的前项和为，，数列为等比数列，若，则正整数的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，分和两种情况根据数列为等比数列分别求解，可得，所以可得等比数列的通项公式，再根据即可求解. 【详解】等比数列的前项和为，，设公比为， 由数列为等比数列， 所以当时，可得，不是等比数列， 当时，可得， 所以，所以， 所以，由，可得， 又，，可得正整数的最大值为. 故选：. 8. 在三棱锥中，是正三角形，，记二面角，的平面角分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的边长为3，得到，借助余弦定理，求出，，再通过作辅助线，找出二面角，的平面角，再结合已知条件以及，利用三角函数的相关知识求解. 【详解】设的边长为3，则， 在中，由余弦定理得 ，则， ， 则，， 如图，作面，于，于， 侧，，，， 又，所以， ，，所以， 结合，得， 根据三角函数的两角差公式可得 ， 所以， 已知，则， 将上式移项可得， 解得，所以，，三点共线， 由得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点作出辅助线，找出二面角，的平面角，由，得到，进而得到.再结合差角公式，齐次化处理求出.最后将转化为.综合性较强，属于难题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 有最小值 D. 数列不是等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列的前项和公式，利用，求出数列的通项公式，结合等差数列的定义和性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，， 当时，也满足上式，所以数列的通项公式为， 所以， 所以数列是公差为2的等差数列，所以，故B错误； 因为，所以当时，；当时，， 所以有最小值或，故C正确； 因为，所以， 所以，所以数列是等差数列，故D错误. 故选：AC. 10. 已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面截正方体所得截面的周长为 D. 三棱维的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.易知，得到判断；B.取CD的中点M，连接FM，BM，易知得到平面判断；C.取AB的中点N，连接DN，GN，易得，得到截面是判断；D.由判断. 【详解】A.如图所示： ，则， 因为平面，平面，所以平面，故正确； B如图所示： ， 取CD的中点M，连接FM，BM，易知，则， 又，则， 所以， 易知 平面ABCD，平面ABCD，所以， 又平面， 所以平面，又平面BFM，则，故正确； C.如图所示： 取AB的中点N，连接DN，GN，，则，则， 所以平面截正方体所得截面是， ，所以截面的周长为，故错误； D. 如图所示： ， 易知，平面，， 又G 为中点，所以点G到平面的距离为， 所以，故正确； 故选：ABD 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点在的右支上，的离心率为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是面积为2的正三角形，则 C. 在中，恒成立 D. 若，则内切圆半径的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由，可得，则得；对于B，由已知可得，，即可求得；对于C，由已知可得，即，又，联立化简得，即可判断C； 对于D，由已知，记内切圆半径为，圆心为，则，可得 ，由且，可得，即，即可判断D． 【详解】对于A，∵，所以的中垂线与双曲线有交点， 所以，解得，故选项A正确． 对于B，∵是面积为2的正三角形，，∴， 则， 又∵，则，∴， ，即， ∴，故选项B正确； 对于C，设，，，则，又， ∴，即， ， 又，联立化简得，故选项C错误． 对于D，若，则， 记内切圆半径为，圆心为，圆与切于点， 则，，， 又且， ∴， ∴， 即，故选项D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：C选项，由已知得到，得到后，由诱导公式及二倍角公式得到，再与联立化简. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与圆相交于，两点，若，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得或（舍去）， 故答案为：2 13. 已知数列的前项和，，则______． 【答案】4050 【解析】 【分析】由已知根据递推关系可得数列为等差数列，再根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】当时，，可得， 当时，，又，所以，所以， 所以数列是首项为4，公差为2等差数列， 所以，所以. 故答案为：4050. 14. 在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积不大于，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把也用表示，然后可表示出外接球半径，利用外接球的表面积不大于得即可求解. 【详解】设，在等腰中，， 设的外心是，外接圆半径是，则， 设外接球球心是，则平面，平面，则， 同理，，又平面， 所以，是直角梯形， 设，外接球半径为，即， 则，所以， 在直角中，，， 则，，所以， 由三棱锥外接球的表面积不大于，得， ， 解得， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，，． （1）若向量与相互垂直，求实数的值； （2）求的面积． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示及两向量垂直的条件即可求解； （2）法一，利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合三角形的面积公式即可求解；法二，求出，判断，得，由三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ，， ∴， 又∵，∴， 即，解得. 【小问2详解】 法一：由（1）得，， ， 因为，∴， ． 法二：，， ∴为直角三角形，，，， ． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． （1）求线段的长； （2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可构造方程求得结果； （2）根据面面角的向量求法可构造方程求得长，进而得到结果. 【小问1详解】 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，即. 【小问2详解】 设，则，， 设平面的法向量， ，令，则，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，即， 解得：或（舍），即， 当时，平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）设直线交于，两点，直线，的斜率之和为0，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合、、关系列方程，解方程即可求解； （2）设出直线方程，直曲联立，得到方程：，根据韦达定理得到：，，结合已知条件得到方程：，解方程验证即可求解. 【小问1详解】 依题意，，点在椭圆上， ∴解得，，， 所以椭圆的方程为：． 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消得， ， 设，， 由韦达定理得， ，， 又，则， ∴， ，代入化简得： ， 将，代入化简得：， 即，∴或． 当时，直线过点，不合题意， 综上；直线的斜率为． 18. 在数列，中，，，，， （1）求数列，的通项公式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得，所以数列是等差数列，可得的通项公式，由，可得数列是等比数列，即可求解的通项公式； （2）由已知可得，令，可得，所以可得，分为偶数和为奇数分别求解即可； （3）利用放缩法可得，再根据等比数列的前项和公式即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，所以， 由，可得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以； 【小问2详解】 由，得到， 令，则， 当时，，得到， 当时，，所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到， 所以； 【小问3详解】 ， 所以，所以， ，故得证. 19. 斐波那契数列曲线是一种表示两变量之间关系的曲线．该曲线经常在统计学中使用，用来描述一系列的连续数据值．当自变量取正整数时，得到斐波那契数列，其通项公式，体现有理数可以用无理数表示． （1）若，，，求点的坐标； （2）已知，，，点，在直线，上，若动点在直线上，，，，求动点的轨迹的方程； （3）在（2）的条件下，有一束直线，，，均过点，与曲线交于，两点．若的斜率为，的斜率为，求．（注：结果不用化简） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性关系来建立等式求解；（2）通过向量关系找到动点坐标与已知点坐标及参数的联系，再消去参数得到轨迹方程. （3）直曲联立，根据直线的弦长公式，结合斜率递推公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，，设， 则，， 由，则有， 解得，所以点坐标为． 【小问2详解】 设，，， 由题意得，，， 由（1）可得 ，， 设，则，消得 故轨迹方程为：． 【小问3详解】 设，与联立得 设点、的横坐标， ，， 则， 当时，， 令，则， ∴，∴ 不妨设，则为斐波那契数列 则， 故 【点睛】关键点点睛：第三问关键是读懂题意，借助弦长公式求出，在借助数列递推公式直接计算即可，理解能力，转化能力要求高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永州市2024年下期高二期末质量检测试卷 数学 命题人：刘魁（永州二中） 杨姗姗（永州一中） 谢军（江华二中） 陶先国（蓝山二中） 审题人：席俊雄（永州市教科院） 注意事项： 1．本试卷共150分，考试时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无分． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线和相互垂直，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 记等差数列的前项和为，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（ ） A. B. C D. 5. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（） A. 2 B. C. D. 3 6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前项和为，，数列为等比数列，若，则正整数的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 在三棱锥中，是正三角形，，记二面角，的平面角分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 有最小值 D. 数列不是等差数列 10. 已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面截正方体所得截面的周长为 D. 三棱维的体积为 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点在的右支上，的离心率为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是面积为2的正三角形，则 C. 中，恒成立 D. 若，则内切圆半径的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与圆相交于，两点，若，则实数______． 13. 已知数列的前项和，，则______． 14. 在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积不大于，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，，． （1）若向量与相互垂直，求实数的值； （2）求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． （1）求线段的长； （2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）设直线交于，两点，直线，的斜率之和为0，求直线的斜率． 18. 在数列，中，，，，， （1）求数列，通项公式； （2）若不等式对任意恒成立，求实数取值范围； （3）证明：． 19. 斐波那契数列曲线是一种表示两变量之间关系的曲线．该曲线经常在统计学中使用，用来描述一系列的连续数据值．当自变量取正整数时，得到斐波那契数列，其通项公式，体现有理数可以用无理数表示． （1）若，，，求点的坐标； （2）已知，，，点，在直线，上，若动点在直线上，，，，求动点的轨迹的方程； （3）在（2）的条件下，有一束直线，，，均过点，与曲线交于，两点．若的斜率为，的斜率为，求．（注：结果不用化简） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$