精品解析：上海市进才中学2024-2025学年高三下学期2月练习数学试题

进才中学高三数学练习试卷 2025.02 一､填空题 1. 已知，则_______________. 2. 若复数是方程的一个虚根，则__________． 3. 记等差数列的前项和为，则______. 4. 曲线在点处的切线的斜率是_________. 5. 已知集合，则__________． 6. 在的展开式中，的系数为，则________. 7. 已知向量，若，则__________． 8. 从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种 9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 10. 已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为___________． 11. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是______． 12. 若，已知数列中，首项，，，则_____. 二､选择题 13. 为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 不具有线性相关性 B. 相关系数变大 C. 相关系数变小 D. 相关系数不变 14. 如下四个正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的共有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 16. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 存在最大值为9 D. 的最大值为 三､解答题 17. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由; （2）若点在边上，且.若，求的面积. 18. 如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心. （1）求证：平面； （2）当的长为何值时，二面角的大小为. 19. 某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 20. 已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 21. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 进才中学高三数学练习试卷 2025.02 一､填空题 1. 已知，则_______________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数的解析式，结合指数式与对数式的运算法则，即可求解. 【详解】由题意，函数，令，所以. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中熟记指数式与对数式的运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2. 若复数是方程的一个虚根，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出方程的复数根即可得解. 【详解】方程，故该方程的解为， 因为 所以由题意可得. 故答案为：2. 3. 记等差数列的前项和为，则______. 【答案】160 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质与等差数列前n项求和公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，得， 所以， 所以. 故答案为：160 4. 曲线在点处的切线的斜率是_________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，然后在导数中令可求出所求切线的斜率. 【详解】对函数求导得，当时，，因此，所求切线的斜率为，故答案为. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线的斜率，解题时要知系切线的斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 5. 已知集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先令求出集合B，再根据交集定义即可求解. 【详解】令得， 所以， 所以. 故答案为：. 6. 在的展开式中，的系数为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，写出通项，结合题意确定值即可求解. 【详解】由题意得：， 令，则，解得. 故答案为： 7. 已知向量，若，则__________． 【答案】或1 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标运算公式：即可求解. 【详解】， ，， ， ， 即，或. 故答案为：或1. 8. 从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种 【答案】16 【解析】 【分析】由组合数公式计算出所有选法，减去三个数都不相邻的选法即可. 【详解】从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，共有种选法， 其中三个数都不相邻的，有135，136，146，246这4种， 所以至少有两个数为相邻整数的选法有20-4=16种. 故答案为：16 9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可求得当时函数的值域，再利用导数求当时的极大值，使的极大值大于等于1即可求解. 【详解】当时，的值域为， 函数的值域为， 当时，是的值域的子集， 又，令，或(舍去)， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得极大值， 故的值域为， ，. 故答案为：. 10. 已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意利用直线与圆相切可得，，，再由余弦定理计算得出，利用椭圆的定义即可求出离心率. 【详解】椭圆，左焦点， 设右焦点为，连接，, 如下图所示： 由圆可知圆心，半径， 显然，， 过左焦点作直线与圆的相切于点， 可知， 因此可得，可得， 所以，， 即可得，, 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 又，即， 因此离心率. 故答案为：. 11. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合分段函数的性质，对的取值进行分类讨论，即可求解. 【详解】因为在区间内恰有6个零点， 当时，区间上，最多有2个零点，不符合题意； 当时，易知函数最多有2个零点， 所以当时，至少有4个零点. 由，得，所以， 又，所以，解得， 所以当时，函数的零点可以是，，，，，，，， 令①，得， （1）当，即时，方程①无解，即在时无零点， 所以，在时有6个零点，则，此不等式组无解，舍去； （2）当时，方程①有唯一解，即在时有1个零点3， 所以，在时有5个零点，由，所以， 所以，在时只有3个零点，显然矛盾，舍去； （3）当时，方程①的解为或，且， 若，则时，此时在时有2个零点， 所以，在时，函数有4个零点，所以，解得； 若，则，此时在时有1个零点， 所以，在时，函数有5个零点，所以，解得； 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 12. 若，已知数列中，首项，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故数列为常数列， 因为，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为： 二､选择题 13. 为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 不具有线性相关性 B. 相关系数变大 C. 相关系数变小 D. 相关系数不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图，可判断A选项，加入点后，回归效果变差，从而可判断B，C，D选项. 【详解】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱，但不能说不具有线性相关性，故A错误； 对于B，C，D，由于点远离其他点，故加上点后，回归效果会变差， 所以相应的样本相关系数的绝对值会变小， 根据题中散点图，显然，所以会变小，故C正确，B，D错误. 故选：C. 14. 如下四个正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的共有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体性质作出与平行的直线、平面或平面，通过求解与的垂直关系即可得解. 【详解】对于第1个图，如图（1）由正方体性质得， 所以四边形是平行四边形，所以，且与不垂直， 所以与不垂直； 对于第2个图，如图（2），令为所在棱中点，则由中位线性质得， 令正方体边长为1，则，即， 因为，所以，所以； 对于第3个图，如图（3），令为所在棱中点，与P重合， 连接，，由正方体结构性质可得， 令正方体边长为1，则，，， 因为，所以，所以； 对于第4个图，如图（4），令为所在棱中点，与P重合， 连接，，由正方体结构性质可得， 令正方体边长为1，则，，， 因为，所以，则与不垂直， 所以与不垂直. 所以满足的共有2个. 故选：B. 15. 已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，或者，，即可求解. 【详解】由， 因，必有，或者，， 由，，分别得到，． 于是，，或者，，得的最大值为． 故选：D． 16. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 存在最大值为9 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】将分别用表示，结合数量积的运算律计算判断AB；以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算计算判断CD. 【详解】在边长为3的正中，，为的中点，则， 对于A，由，得，则，A正确； 对于B，， 则 ，B正确； 对于C，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，显然点在以为圆心，为半径的下半圆上， 设， 则， ， 由，得，则当时，取得最大值，C正确； 对于D，由，得， 即， 因此，则， 而，则当时，取得最大值，D错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是建立合适平面直角坐标系，再设，从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围. 三､解答题 17. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由; （2）若点在边上，且.若，求的面积. 【答案】（1）三角形为直角三角形， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，继而根据三角恒等变换可得，即可判断三角形的形状， （2）利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由可得， 故，进而， 由于,故， 又，故, 化简可得,故， 由于,故， 进而,故三角形为直角三角形， 【小问2详解】 由于，，且为直角三角形， 设，则, 故在三角形中，由余弦定理可得,即，解得， 故 18. 如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心. （1）求证：平面； （2）当的长为何值时，二面角的大小为. 【答案】（1）证明：连接交于点，由重心性质可得是的中点， 又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心； 连接，可知点在上，如下图所示： 由重心性质可得，，所以； 又平面，平面， 所以平面； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据重心性质以及线段比可知是的重心，再利用线段比例关系以及线面平行判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系利用二面角的向量求法，由二面角的大小为解方程即可得满足题意. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面是边长为2的等边三角形，所以； 又平面，且分别为的中点，所以可得平面；即两两垂直； 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设的长为， 则可得，所以； 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即可取， 易知平面的一个法向量为； 所以，解得或（舍）； 即当的长为3时，二面角的大小为. 19. 某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 【答案】（1）平均数为123；第60百分位数为125 （2）的分布列如下： 0 1 2 方差为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图，利用平均数和中位数的计算方法，即可求解； （2）先求出一级口罩与二级口罩的个数比，进而得随机抽取个口罩中，一级口罩与二级口罩的个数，再得出的可能取值及对应的概率，即可求出分布列，利用期望和方差的计算公式，即可求解； （3）根据条件得的可能取值及对应的概率，从而得，令，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； 因为， 故第百分位数落在内，设其为，则， 解得，故第百分位数为. 【小问2详解】 一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为， 又，，， 故的分布列如下： 0 1 2 数学期望为， 方差为. 【小问3详解】 的可能取值为， ， ， ， 故， 令，设，则， 因为，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当，即时，取最大值． 20. 已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由（i）可知， 直线的方程为，令，得 直线的方程为，令，得， 记以为直径的圆与轴交于，两点， 由圆的弦长公式可知， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据给定的点A和B在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率； （2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可. 【小问1详解】 由可知，求出， 代入，得，， 则，， 可知椭圆的离心率为. 【小问2详解】 （i）由（1）可知椭圆的方程为， 设，，过点的直线为， 与联立得：.恒成立. 所以， 得，所以，直线的方程为：. （ii）略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 21. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在曲线取一点． 过点作的切线分别交于， 因为， 可得， 即． （2）① 由函数，可得， 不妨设，曲线在处的切线方程为 ，即， 同理曲线在处的切线方程为， 假设与重合，则， 代入化简可得， 两式消去，可得，整理得， 由（1）的结论知， 与上式矛盾即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合； ② 【解析】 【分析】（1）根据题，设过点作的切线分别交于，结合，即可得证； （2）①求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合由（1）的结论，即可得证； ②根据题意，转化为时，在恒成立， 设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②当时，不等式恒成立， 所以在恒成立，所以， 下证：当时，恒成立． 因为，所以 设 （i）当时，由知恒成立， 即在为增函数，所以成立； （ii）当时，设，可得， 由知恒成立，即在为增函数． 所以，即在为减函数，所以成立， 综上所述，实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $