精品解析：河南省驻马店市平舆县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度上学期期末学情测评 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2. 一个三角形三个内角的度数之比为2：3：6，则这个三角形一定是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理可求出各内角的度数，再进行判断即可． 【详解】由题意可设三个内角分别为2x°，3x°，6x°， 由三角形内角和定理可知：2x+3x+6x=180，解得x=， ∴6x=＞90， 所以三角形为钝角三角形， 故选D． 【点睛】此题考查三角形内角和定理，由条件计算出角的大小是解题的关键． 3. 在中，和的内角平分线交于点O．设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质．先根据得出的度数，再根据、分别为及的平分线得出，，即，再由三角形内角和为即可得出的度数． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵、分别为及的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 4. 把多项式6ab-3ab-12ab分解因式时，应提取的公因式是(　　) A. 3ab B. 3ab C. 3ab D. 3ab 【答案】D 【解析】 【详解】6a3b2-3a2b2-12a2b3系数的最小公倍数是3，a的最低次数是2，b的最低次数是2，所以公因式是3a2b2. 故选D. 5. 如图，已知点A，B，D在同一条直线上，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．先根据三角形全等的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数点式表示拼成后长方形的长与宽是正确解答的关键．根据拼图用代数式表示拼成的长方形的长与宽，进而利用长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据拼图可知，拼成的长方形的长为，宽为，因此面积为． 故选：C． 7. 用正三角形和正方形镶嵌，若每一个顶点周围有a个正三角形和b个正方形，则a，b满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌的条件，熟练掌握在每一个顶点处的几个角的和为360度是解题的关键．正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌． 【详解】解：正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为360度， 而正三角形和正方形内角分别为、， 根据题意可知， 化简得到． 故选：A． 8. 小王乘坐城际公交车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘顺风车返回，顺风车的平均速度比公交车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了．设公交车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用．根据题意得到回来时的速度为千米/时，根据时间等于路程除以速度即可列出方程． 【详解】解：设公交车的平均速度为x千米/时， 依题意得，， 故选：B． 9. 已知实数a，b互为倒数，设，则M，N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法．对M、N分别求解计算，进行异分母分式加减，然后把代入计算后直接选取答案． 【详解】解：， ∵实数a，b互为倒数， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 已知三角形三边长a，b，c满足，则三角形一定是（ ） A. 等边三角形 B. 以a为底边的等腰三角形 C. 以c为底边的等腰三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算．满足，进行化简，然后再进行整理即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， 合并得：， ， ， ， ， ∴， ∴或， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答． 【详解】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（-2，3）． 故答案为：（-2，3）． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标．解题的关键是掌握关于x轴、y轴的对称点的坐标的特征． 12. 如图，在和中，，根据_______（填判定方法的简称）可以知道． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据已知条件利用即可证明． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 若，，则_____． 【答案】19 【解析】 【分析】首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解． 【详解】解：∵a+b=5， ∴a2+2ab+b2=25， ∵ab=3， ∴a2+b2=19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式． 14. 如果方程有增根，那么增根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是确定增根的可能值，只需让最简公分母为0即可．本题需注意，当分母互为相反数时，最简公分母是其中的一个．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母即可．分母中的和互为相反数，那么最简公分母是． 【详解】解：原方程有增根， 最简公分母， 解得， ∴方程的增根为． 故答案为：． 15. 已知为等腰三角形，若由顶点A所引边的高线恰好等于边长的一半，则_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，分为底边，为腰，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当为底边时：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴； ②当为腰：高在内部时，如图： 则：，， 取的中点，连接， 则：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当为腰：高在外部时，如图： 同法可得：， ∴， ∴； 综上：的度数为或或； 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 化简求值： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式的应用，分式的化简求值． （1）先求出，再根据完全平方公式和平方差公式对所求式子去括号，然后合并同类项化简得到，由此代值计算即可； （2）把已知条件式变形为，再整体代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴ ． 17. 如图，在四边形中，，，，． （1）作图：在上找一点，使的值最小； （2）求的最小值． 【答案】（1） 解：如图，延长至点，使，连接交于点，则点就是所作的点， （2）4 【解析】 【分析】（1）延长至点，使，连接交于点，则点就是所作的点，即可得到答案； （2）连接，过点作，交的延长线于点，根据，得到，从而得到，得到，结合得到，结合直角三角形中角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ， ， ，． ，， ， ， ， ， ， 又， ， ∵，， ， ， 故的最小值为4； 【点睛】本题考查了典型问题：有关轴对称的线段和最小问题，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，直角三角形的特征，掌握典型问题的解法是解题的关键． 18. 某工程需要在规定的时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；若乙工程队单独做，则超过规定时间3天．现在甲、乙两个工程队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好在规定时间完成，求完成此项工程的规定时间． 【答案】完成此项工程的规定时间为6天 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，掌握“工作量工作效率工作时间”是解本题的关键．设规定日期为x天，则甲的效率为 乙的效率为 ，再表示甲完成的工作量为 ，乙完成的工作量为 ，再利用两人完成的工作量之和为1列出方程，解方程可得答案. 【详解】解：设规定日期为x天，则甲的效率为，乙的效率为，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：完成此项工程的规定时间为6天． 19. 观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分 别相加得． （1）猜想并写出：_______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①_______； ②_______． （3）探究并计算：． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算； （1）观察已知等式再归纳即可解答； （2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果； ②结合①的过程进行计算即可得结果； （3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴归纳可得： ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：① ； ② ； 【小问3详解】 解： ． 20. 如图，分别平分． （1）当，求的度数． （2）猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2） ，理由如下： 延长交于点，延长交于点，设，， ∵分别平分， ∴，， 由三角形的外角性质得，， ，， ∴， ∴， ∴； 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”． （1）延长交于点，延长交于点，设，，利用三角形的外角性质求得，，，，代入数据进一步计算即可求解； （2）同（1）即可求得． 【小问1详解】 解：延长交于点，延长交于点，设，， ∵分别平分， ∴，， 由三角形的外角性质得，， ，， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 21. 对于形如．的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，利用“配方法”把下列各式进行因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行配方、利用平方差公式进行因式分解，解题中注意整体法的运用． （1）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 22. 如图所示，在△ABC中，已知∠DBC＝60°，AC＞BC，又△ABC＇、△BCA＇、△CAB＇都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC＝DC (1)证明:△C＇BD≌△B＇DC (2)证明:△AC＇D≌△DB＇A 【答案】 （1）∵∠DBC＝60°，BC＝DC， ∴△BCD为等边三角形， ∴BD=BC=CD，∠DBC=∠DCB=∠BDC=60°， ∵△ABC′为等边三角形， ∴BC′=AB=AC′，∠AB C′=60°， ∴∠DBC=∠ABC′， ∴∠DBC+∠ABD=∠ABC′+∠ABD，即∠ABC =∠C′BD， 在△ABC与△C′BD中，， ∴△ABC≌△C′BD (SAS)， ∴C′D=AC， ∵△AB′C为等边三角形， ∴AC= B′C=AB′，∠ACB′=∠AB′C=∠B′AC=60°， ∴C′D= B′C， 在△BCA与△DCB′中，， ∴△BCA≌△DCB′(SAS)， ∴DB′=BA= BC′， 在△B′DC与△C′BD中，， ∴△C′BD≌△B′DC（SSS）； （2）由（1）知：C′D=B′C=AB′，B′D=BC′=AC′， 又∵AD=AD， ∴在△AC′D与△DB′A中，， ∴△AC′D≌△DB′A(SSS). 【解析】 【分析】（1）先根据SAS证明△C′BD≌△ABC，得到C′D=AC= B′C，再利用SAS证明△BCA≌△DCB′，得到DB′=BA= BC′，最后根据SSS即可证明△C′BD≌△B′DC； （2）由（1）可知，C′D=B′C=AB′，B′D=BC′=AC′，根据SSS即可证明△AC′D≌△DB′A. 【详解】证明：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练应用全等三角形的判定定理是解题的关键. 23. 【回顾思考】用数学的思维思考现实世界 （1）如图1，在中，，从下面①②两题中选择一题加以证明，如果选择多个分别解答，按第一个解答计分． ①若分别是和的平分线，求证：； ②若D，E分别是边的中点，连接，求证：． （2）【猜想证明】用数学的眼光观察现实世界 经过做题反思，小明同学认为：在中，，D为边上一动点（不与点A，C重合），对于点D在边上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点E，使得．进而提出问题：若点D，E分别运动到边的延长线上，还成立吗？请解决下面的问题： 如图2，在中，，点D，E分别在边的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使，并证明． （3）【拓展探究】用数学的语言表达现实世界 如图3，在中，，E为边上任意一点（不与点A，B重合），F为边延长线上一点，能否成立？若能，指出的范围；否则，请说明理由． 【答案】（1） 证明：①如图1，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图1，∵，点D，E分别是边的中点， ∴，∵， ∴， ∴． （2） 添加条件， 证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）能，； 【解析】 【分析】（1）①利用证明即可． ②利用证明即可． （2）添加条件，证明，从而利用证明即可． （3）当E与A重合时，，当F与C重合时，，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：能． 当E与A重合时，， ∵E与A不能重合， ∴， 当F与C重合时，如图， 此时，， ∵， ∴， ∴， ， ∴； 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末学情测评 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形三个内角的度数之比为2：3：6，则这个三角形一定是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 3. 在中，和的内角平分线交于点O．设，则（ ） A. B. C. D. 4. 把多项式6ab-3ab-12ab分解因式时，应提取的公因式是(　　) A. 3ab B. 3ab C. 3ab D. 3ab 5. 如图，已知点A，B，D在同一条直线上，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 7. 用正三角形和正方形镶嵌，若每一个顶点周围有a个正三角形和b个正方形，则a，b满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 8. 小王乘坐城际公交车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘顺风车返回，顺风车的平均速度比公交车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了．设公交车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数a，b互为倒数，设，则M，N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 已知三角形三边长a，b，c满足，则三角形一定是（ ） A. 等边三角形 B. 以a为底边的等腰三角形 C. 以c为底边的等腰三角形 D. 等腰三角形 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为__________ ． 12. 如图，在和中，，根据_______（填判定方法的简称）可以知道． 13. 若，，则_____． 14. 如果方程有增根，那么增根为_______． 15. 已知为等腰三角形，若由顶点A所引边的高线恰好等于边长的一半，则_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 化简求值： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求的值． 17. 如图，在四边形中，，，，． （1）作图：在上找一点，使的值最小； （2）求的最小值． 18. 某工程需要在规定的时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；若乙工程队单独做，则超过规定时间3天．现在甲、乙两个工程队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好在规定时间完成，求完成此项工程的规定时间． 19. 观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分 别相加得． （1）猜想并写出：_______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①_______； ②_______． （3）探究并计算：． 20. 如图，分别平分． （1）当，求的度数． （2）猜想与之间的数量关系，并说明理由． 21. 对于形如．的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，利用“配方法”把下列各式进行因式分解： （1）； （2）； （3）． 22. 如图所示，在△ABC中，已知∠DBC＝60°，AC＞BC，又△ABC＇、△BCA＇、△CAB＇都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC＝DC (1)证明:△C＇BD≌△B＇DC (2)证明:△AC＇D≌△DB＇A 23. 【回顾思考】用数学的思维思考现实世界 （1）如图1，在中，，从下面①②两题中选择一题加以证明，如果选择多个分别解答，按第一个解答计分． ①若分别是和的平分线，求证：； ②若D，E分别是边的中点，连接，求证：． （2）【猜想证明】用数学的眼光观察现实世界 经过做题反思，小明同学认为：在中，，D为边上一动点（不与点A，C重合），对于点D在边上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点E，使得．进而提出问题：若点D，E分别运动到边的延长线上，还成立吗？请解决下面的问题： 如图2，在中，，点D，E分别在边的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使，并证明． （3）【拓展探究】用数学的语言表达现实世界 如图3，在中，，E为边上任意一点（不与点A，B重合），F为边延长线上一点，能否成立？若能，指出的范围；否则，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $