辽宁省大连市高新区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省大连市高新区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列各点在反比例函数的图象上的是（　　） A．（1，6） B．（﹣6，1） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3） 3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有实数根，则实数c的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝30°，则∠BOD＝（　　） A．60° B．100° C．110° D．120° 7．（3分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出两个小球，则一次摸出的两个小球的标号之和为5的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基木框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的长比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的长与宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸），设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（　　） A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102 C．（x+6.8）2﹣x2＝102 D．x2+6.82＝102 9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，将AC边绕点A逆时针旋转50°得到线段AE，连接BE交AD于点F，则∠AFE＝（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 10．（3分）一个球从地面竖直向上弹起，经过t秒时球的高度为h米，h和t满足关系式h＝﹣5t2+6t，则球离地面不低于1米的持续时间是（　　） A．0.2秒 B．0.4秒 C．0.6秒 D．0.8秒 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）已知扇形的圆心角为120°，其面积为3πcm2，则该扇形的半径为　 　cm． 12．（3分）已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2A，那么此用电器的电阻是 　 　Ω． 13．（3分）如图，Rt△COB的斜边在y轴正半轴上，OC＝2，∠BOC＝30°，直角顶点C在第二象限，将Rt△COB绕原点顺时针旋转90°后得到Rt△C1OB1，则点C的对应点C1的坐标是 　 　． 14．（3分）将抛物线沿着其对称轴上下平移，三平移后的抛物线的顶点在直线y＝x+1上时，平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为 　 　． 15．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，∠ADE＝∠C，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC边于点G，H，再分别以G，H为圆心，大于长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点P，作射线AP分别交DE，BC于点M，N，若S四边形BCED＝3S△ADE，AM＝a，则AN＝ 　 　（用含a的代数式表示）． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）（1）解方程：2x2﹣7x+4＝0； （2）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点，求二次函数的表达式． 17．（8分）互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递网点，今年八月份完成快递的件数为40000件，十月份完成快递的件数为48400件． （1）求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率； （2）由于十一月份有“双十一”活动，十一月份该网点完成的快递件数比十月份增长了30%，该网点共有11名快递员，求该网点十一月份平均每位快递员投放多少件快递． 18．（8分）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆CD以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端到地面的距离DE是150cm；当工人用力按压D端，直至点D着地落到E时，C端的重物被送到F处，此时重物到地面的距离CF为90cm，求支点P到地面的距离PM． 19．（8分）某体育用品商店购进一批大连英博足球队球衣，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低于80元且不高于150元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（件）与每件球衣的售价x（元）之间满足的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式及x的取值范围； （2）球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润最大？最大利润是多少元？ 20．（8分）大连森林动物园坐落于大连市南部海滨白云山风景区内，如图1是大连森林动物园内的海达索道，大连能看到海的索道．如图2是从莲花山观景台到南门一段索道的示意图，点A为莲花山观景台，点B是海达索道在南门的停靠点．从山脚D处看A处的仰角为60°，从A处看B处的俯角为21°，点A与点D之间的距离AD＝300m，点B到山脚的距离BC＝40m． （1）求点A到山脚CD的距离； （2）求AB的长（结果精确到1m）． （参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38，≈1.7） 21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC交AB的延长线于F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BF＝4，CF＝8，求AE的长． 22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，连接CD，且∠CDB＝45°． （1）如图1，设∠ACD＝α， ①求∠B的度数（用含α的代数式表示）； ②若α＝15°，CD＝3，求BD的长． （2）如图2，将△BCD沿CD折叠得到△CDE，DE交AC于点F． ①求证：CF＝BC； ②如图3，点G在线段BD上，连接CG并延长交ED的延长线于点H，若∠H＝∠A，，求的值． 23．（13分）定义：若函数C1和函数C2的图象关于直线x＝m对称，则称函数C1和C2关于直线x＝m互为“友好函数”，函数C1和C2的图象交点叫做“友好点”． 例如：函数C1：y＝x2+1关于直线x＝2的“友好函数”为C2：y＝（x﹣4）2+1＝x2﹣8x+17，“友好点”为（2，5）． （1）求函数y＝x2﹣2x关于直线x＝﹣1的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标； （2）函数y＝x2﹣4x+1关于直线x＝m的“友好点”的纵坐标为n，当1≤m≤4时，求n的取值范围； （3）函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）关于直线x＝2的“友好函数”为C2，“友好点”为A．函数C1的图象的顶点为M，与y轴交点为G，函数C2的图象的顶点为N，与y轴交点为H，函数C1与C2的图象组成的图形记为W． ①若a＝1，判断△AMN的形状，并说明理由； ②若GH＝2AG，求a的值； ③点E（0，﹣2），点F（4，﹣2），若W与线段EF有且只有两个交点，直接写出a的值或取值范围． 2024-2025学年辽宁省大连市高新区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B B D A A C D 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【解答】解：这个组合体的俯视图为： 故选：D． 2．【解答】解：设反比例函数表达式为y＝，∴k＝xy＝6， A、∵1×6＝6， ∴点（1，6）在反比例函数y＝图象上，故本选项符合题意； B、∵（﹣6）×1＝﹣6≠6， ∴点（﹣6，1）不在反比例函数y＝图象上，故本选项不符合题意； C、∵（﹣3）×2＝﹣6≠6， ∴点（﹣3，2）不在反比例函数y＝图象上，故本选项不符合题意； D、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6， ∴点（2，﹣3）不在反比例函数y＝图象上，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．【解答】解：A是中心对称图形，但不是轴对称图形，则A不符合题意； B是轴对称图形，但不是中心对称图形，则B不符合题意； C既是轴对称图形，又是中心对称图形，则C符合题意； D是中心对称图形，但不是轴对称图形，则D不符合题意； 故选：C． 4．【解答】解：如图，tanA＝＝． 故选B． 5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有实数根， ∴Δ≥0，即（﹣3）2﹣4×2•c≥0， 解得c≤． 故选：B． 6．【解答】解：∵∠AED＝30°， ∴∠AOD＝2∠AED＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°． 故选：D． 7．【解答】解：列表如下： 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 共有12种等可能的结果，其中一次摸出的两个小球的标号之和为5的结果有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种， ∴一次摸出的两个小球的标号之和为5的概率为． 故选：A． 8．【解答】解：设矩形门宽为x尺，所列方程为x2+（x+6.8）2＝102， 故选：A． 9．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD， 设∠BAD＝∠CAD＝x， ∵将AC边绕点A逆时针旋转50°得到线段AE， ∴AC＝AE，∠CAE＝50°， ∴AE＝AB，∠BAE＝50°+2x， ∴∠ABE＝65°﹣x， ∴∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝65°， 故选：C． 10．【解答】解：当h＝1时，﹣5t2+6t＝1， 解得t1＝，t2＝1， ∴球不低于1米的持续时间是1﹣＝＝0.8（秒） 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．【解答】解：根据题意得3π＝， 解得R＝3或R＝﹣3（舍去）， 所以该扇形的半径为3cm． 故答案为3． 12．【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝， 把（4，9）代入得：k＝4×9＝36， ∴反比例函数关系式为：I＝， 当I＝2时，则2＝， ∴R＝18， 故答案为：18． 13．【解答】解：过点C1作C1D⊥x轴于点D， 由旋转得，C1O＝OC＝2，∠C1OB1＝∠BOC＝30°， ∴C1D＝＝1，OD＝＝， ∴点C的对应点C1的坐标是（，1）． 故答案为：（，1）． 14．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣2）2+2+c， ∴设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+k，顶点为（2，k） ∵平移后的抛物线的顶点在直线y＝x+1上， ∴k＝2+1＝3， ∴y＝﹣（x﹣2）2+3， ∴当x＝0时，y＝1， ∴平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为1， 故答案为：1． 15．【解答】解：由作法得AM平分∠BAC， ∵∠ADE＝∠C，∠EAD＝∠BAC， ∴△ADE∽△ACB， ∴＝（）2， ∵S四边形BCED＝3S△ADE， ∴S△ACB＝4S△ADE， ∴（）2＝， ∴AN＝AM＝a． 故答案为： a． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣7，c＝4， ∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×4＝17， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝； （2）把A（0，1），B（2，﹣1）分别代入y＝x2+bx+c得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+1． 17．【解答】解：（1）设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为x， 根据题意得：40000（1+x）2＝48400， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为10%； （2）根据题意得：48400×（1+30%）÷11＝5720（件）． 答：该网点十一月份平均每位快递员投放5720件快递． 18．【解答】解：依题意得：DE⊥EC，CF⊥EC， ∴DE∥CF， ∴△PDE∽△PCF， ∴， 又∵DE＝150cm，CF＝90cm， ∴＝＝， ∴＝，同理可证：△PME∽△FCE， ∴＝， ∴PM＝cm， 答：支点P到地面的高度为PM为cm． 19．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标A（90，110）和B（100，100）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式及x的取值范围为y＝﹣x+200（80≤x≤150）． （2）设每周销售球衣所获利润为w元，则w＝（x﹣80）y＝（x﹣80）（﹣x+200）＝﹣（x﹣140）2+3600， ∵﹣1＜0，对称轴为x＝140，80≤x≤150， ∴当x＝140时，y的值最大，y最大＝3600． 答：球衣的销售单价定为140元时，每周销售球衣所获利润最大，最大利润是3600元． 20．【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F， 由题意知：AD＝300m，BC＝EF＝40m，∠ADE＝60°，∠BAG＝∠ABF＝21°， 在Rt△ADE中，sin∠ADE＝， ∴AE＝AD•sin60°＝300×≈255（m）， 答：点A到山脚CD的距离为255米； （2）∵AE＝150m，EF＝40m， ∴AF＝AE﹣EF＝150﹣40（m）， 在Rt△ABF中，sin∠ABF＝， ∴AB＝≈597（m）， 答：AB的长为597米． 21．【解答】（1）证明：连接OC， ∵AC平分∠BAD， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵OC＝CB， ∴∠FAC＝∠OCA， ∴∠EAC＝∠OCA， ∴OC∥AD， ∵EF⊥AD， ∴OC⊥EF， ∵OC是⊙OO的半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设OB＝OC＝x，则OF＝x+4， 在Rt△OCF中，OC2+CF2＝OF2， 即x2+82＝（x+4）2， 解得：x＝6， ∴OB＝OC＝OA＝6， ∴OF＝10，AF＝16， ∵OC∥AE， ∴△OFC∽△AFE， ∴＝， ∴＝， ∴AE＝． 22．【解答】（1）解：①∵∠ACB＝90°，∠ACD＝α， ∴∠DCB＝90°﹣α， ∵∠CDB＝45°， ∴∠B＝180°﹣∠CDB﹣∠DCB＝180°﹣45°﹣（90°﹣α）＝45°+α； ②如图1中，过点C作CH⊥BD于点H． ∵∠ACD＝15°，∠CDB＝∠A+∠ACD＝45°， ∴∠A＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝60°， ∵CH⊥DH，∠CDH＝45°，CD＝3， ∴DH＝CH＝3， ∵tanB＝， ∴＝， ∴BH＝， ∴BD＝DH+BH＝3+； （2）①证明：由翻折变换的性质可知CE＝CB，∠E＝∠B＝45°+α，∠CDB＝∠CDE＝45°， ∵∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝45°+α， ∴∠E＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∴CF＝BC； ②解：过点C作CJ⊥AB于点J． ∵＝， ∴可以假设GH＝2k，CG＝3k， ∵∠A＝∠H，∠ADF＝∠HDG， ∴∠AFD＝∠HDG， ∵∠AFD＝∠CDF+∠DCF，∠HGD＝∠CDB+∠DCG， ∴∠DCF＝∠DCG， ∵CD＝CD，∠A＝∠H， ∴△ACD≌△HCD（AAS）， ∴AD＝DH，AC＝CH＝5k， ∵∠A＝∠H，AD＝HD，∠ADF＝∠HDG， ∴△ADF≌△HDG（ASA）， ∴AF＝GH＝2k， ∵∠CGB＝∠DCG+∠CDG＝45°+α＝∠B， ∴CG＝CB＝CF＝3k， ∴AC＝5k， ∵∠ACB＝90°， ∴AB＝＝＝k， ∵•AB•CJ＝•AC•BC， ∴CJ＝k， ∵CG＝CB，CJ⊥BG， ∴JG＝JB＝＝＝k， ∵∠CDJ＝45°， ∴CJ＝DJ＝k， ∴DG＝JD﹣GJ＝k，AD＝AB﹣BJ﹣DJ＝k， ∴＝． 23．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴顶点（1，﹣1），它关于直线 x＝﹣1 的对称点为 （﹣3，﹣1）， ∴“友好函数”为y＝（x+3）2﹣1＝x2+6x+8， ∵两个函数图象关于直线 x＝﹣1 对称， ∴其交点必在直线 x＝﹣1 上，将 x＝﹣1代入y＝x2﹣2x中，y＝1﹣2×（﹣1）＝3， ∴“友好点”坐标为（﹣1，3）； （2）由题意得n＝m2﹣4m+1＝（m﹣2）2﹣3， ∵1＞0， ∴n关于m的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为 （2，﹣3）， ∴当 m＝2 时，n有最小值﹣3， 当m＝1 时，n＝﹣2，当 m＝4 时，n＝1， ∴﹣3≤n≤1； （3）①△AMN 是等腰直角三角形， ∵当 a＝1 时，， ∴M（1，﹣4）， ， ∴N（3，﹣4）， 当 x＝2 时，y＝﹣3， ∴A（2，﹣3）， 如图，直线 x＝2 是线段MN的垂直平分线，点A在直线 x＝2， ∴AM＝AN， 设直线 x＝2交线段MN于点P，则P（2，﹣4）， ∵A（2，﹣3）， ∴AP＝1，MP＝1． ∴AP＝MP， ∵∠APM＝90°， ∠AMN＝45°， ∴∠AMN＝∠ANM＝45°， ∴∠MAN＝90°， ∴△AMN 是等腰直角三角形； ②∵， ∴， 在C1中，当 x＝0 时，y＝﹣3a， ∴G（0，﹣3a）， 在C2中，当 x＝0 时，y＝5a， ∴H（0，5a）， ∴GH＝|5a﹣（﹣3a）|＝|8a|， 将 x＝2 代入C1中，y＝﹣3a， ∴A（2，﹣3a）， ∴点A，G的纵坐标相同， ∴AG＝2， ∵GH＝2AG， ∴GH＝4， 当a＞0时，8a＝4， ∴； 当a＜0时，﹣8a＝4， ∴； 综上所述，a的值为或； ③第一种情况，a＞0， 1°如图，当“友好点”恰好在线段EF上时，此时“友好点”坐标为（2，﹣2）， 将（2，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得， 4a﹣4a﹣3a＝﹣2， 解得a＝， 此时y＝x2﹣x﹣2，与y轴恰好交于点E， ∴当a＝时，W与线段EF会有3个交点， ∴当a时，W与线段EF有且只有两个交点； 2°，如图，当W的两个顶点恰好在线段EF上时， ∵， ∴﹣4a＝﹣2， ∴a＝， 即当a＝时，W与线段EF有且只有两个交点； 第二种情况：a＜0， 此时﹣3a＞0，则W与y轴交正半轴， 如图，当C2经过点E，此时C1经过点F，W与线段EF有两个交点， 当W向下平移时，则W与EF依然会有两个交点， ∵H（0，5a）， ∴5a≤﹣2， ∴a≤， 即当a≤时，W与线段EF有且只有两个交点； 综上，或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$