第七章 复数章末测试（提升卷）-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数章末测试（提升卷） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（24-25浙江杭州）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25宁夏银川）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3（24-25·广西）已知复数z与复平面内的点对应，则（     ） A． B． C． D． 4．（24-25山东滨州）已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是（   ） A． B． C． D．2 5．（23-24·山东青岛·期末）“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·山西）已知复数z满足（为z的共轭复数），复数z在复平面内对应点为，则点Z的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·山东）若在复数范围内分解为，则在复数平面内，复数对应的点位于（    ） A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 8．（2024海南）在复平面内，已知复数对应的向量为，现将向量绕点逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为，则（    ） A． B． C．2 D． 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（24-25吉林长春）已知，，若，为纯虚数，为实数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D． 10．（24-25河北保定）已知复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D．若，则 11．（24-25湖南长沙）已知复数，，是方程的三个互不相等的复数根，则（   ） A．可能是纯虚数 B．，，的实部之和为2 C．，，的虚部之积为2 D． 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25湖南常德·期末）已知复数满足，则复数 ． 13．（24-25上海）已知复数是关于的方程（）的一个根，若，则，则 . 14．（2024·上海）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（24-25江西宜春）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16．（24-25山东）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 17．（24-25河南安阳）已知复数在复平面内对应的点分别为是坐标原点，点是复平面内一点，且. (1)若，求与的关系； (2)若不共线，三点共线，求的值. 18．（24-25河南焦作）已知向量，，，若函数，且在区间上不具有单调性. (1)求的取值范围； (2)当取最小整数值时，若（其中，，是虚数单位），求的值. 19．（2024甘肃）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数章末测试（提升卷） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（24-25浙江杭州）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意， ，所以所求共轭复数是.故选：B 2．（24-25宁夏银川）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，则， 所以，，则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 3（24-25·广西）已知复数z与复平面内的点对应，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由复数的几何意义可知，则故选：B. 4．（24-25山东滨州）已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】依题意，设，且，则， 因是实数，故，解得，则，，故的虚部是2.故选：D. 5．（23-24·山东青岛·期末）“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】复数， 当时，，复数，是纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得. 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：C 6．（2025·山西）已知复数z满足（为z的共轭复数），复数z在复平面内对应点为，则点Z的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，所以，即Z点的轨迹方程为．故选：D 7．（2024·山东）若在复数范围内分解为，则在复数平面内，复数对应的点位于（    ） A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 【答案】B 【解析】由，得， 当，时，，， 所以； 当，时， ， 综上，复数对应的点位于虚轴上. 故选：B． 8．（2024海南）在复平面内，已知复数对应的向量为，现将向量绕点逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】依题意，，将向量绕点逆时针旋转90°所得向量坐标为，， 则有，解得，因此，即， 所以. 故选：A 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（24-25吉林长春）已知，，若，为纯虚数，为实数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D． 【答案】ACD 【解析】，故A正确； ，虚部为，故B错误； 为纯虚数，，即，故C正确； 为实数，，解得，故D正确. 故选：ACD 10．（24-25河北保定）已知复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D．若，则 【答案】ABD 【解析】A.由题意得，，∴，A正确； B.，B正确； C.，在复平面内对应的点为，在第一象限，C错误； D.由题意得，，∴，解得， ∴，D正确.故选：ABD. 11．（24-25湖南长沙）已知复数，，是方程的三个互不相等的复数根，则（   ） A．可能是纯虚数 B．，，的实部之和为2 C．，，的虚部之积为2 D． 【答案】ABD 【解析】因为，其三个不同的复数根为：，，， 当时，此时为纯虚数，故A正确； 因为三个根的实部分别是0，1，1，三个实部之和为2，故B正确； 因为三个根的虚部分别是1，，，三个虚部之积为，故C错误； 根据模长定义，，故D正确. 故选：ABD 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25湖南常德·期末）已知复数满足，则复数 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以，. 故答案为：. 13．（24-25上海）已知复数是关于的方程（）的一个根，若，则，则 . 【答案】1 【解析】因为，可设，， 因为，所以，解得，所以， 又因为是关于的方程（）的一个根， 可知另一个根为， 则，解得，，所以. 故答案为：1. 14．（2024·上海）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【解析】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（24-25江西宜春）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）解：因为，则， 所以为纯虚数， 所以，解得. 所以， 因此. （2）解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得. 因此实数的取值范围是. 16．（24-25山东）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】(1)(2) 【解析】（1） （2）依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 17．（24-25河南安阳）已知复数在复平面内对应的点分别为是坐标原点，点是复平面内一点，且. (1)若，求与的关系； (2)若不共线，三点共线，求的值. 【答案】(1)(2)1 【解析】（1）由题意，得， 则. 所以. 又，所以， 即， . 因为，所以与的关系为. （2）若三点共线，则有且或1. 所以有， 即.① 又由，得， 即.② 由①②知解得且或1. 所以的值为1. 18．（24-25河南焦作）已知向量，，，若函数，且在区间上不具有单调性. (1)求的取值范围； (2)当取最小整数值时，若（其中，，是虚数单位），求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）函数， 由，得， 由函数在区间上不具有单调性，得，解得， 故的取值范围是. （2）依题意，得，，， 所以，， 所以，. 由，得， 所以， 由，得. 由，得， 同理，. 所以 . 19．（2024甘肃）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【解析】（1）设，， 所以，， 因为，，所以，且， 所以是实数； （2）设，则， 因为，， 所以，所以①， 又， 所以②， 联立①②，解得，， 所以； （3）因为，设， 则， 因为，所以， 所以，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$