第七章 复数章末总结-2024-2025学年高一下学期数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数章末总结 一．复数的有关概念 1.定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位) 规定：i2=-1 2.分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R) 3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)------实部等于实部，虚部等于虚部（实同虚反） 4.共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)---实部相同，虚部相反数 5.模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)--实虚勾股 注意：， 二．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．---横实纵虚 三．复数的运算 1.运算法则：设，则 ①加法：； ②减法：； ③乘法：； ④除法： 方法总结：复数问题实际就是实部与虚部问题，所以只考复数只要把复数化简成复数的一般形式，然后代入相应的公式即可。 四．易错点 1.虚部不含i 2.复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． 3.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，除法则需分母实数化． 4.两个虚数不能比较大小． 5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立． 考点一 复数的分类 【例1-1】（24-25江西赣州）若复数为纯虚数，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【例1-2】（2024·山东泰安）已知（为虚数单位）为实数，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 考点二 复数的几何意义 【例2-1】（2025·福建厦门）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2-2】（2025四川）在复平面内，复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2-3】（2025届山东省齐鲁名校大联考模拟预测数学试题）已知，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点三 复数的计算 【例3-1】（2025·河北秦皇岛）若，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·江西新余）已知复数（为虚数单位），则：（     ）. A．2 B． C． D． 【例3-3】（24-25江西）若复数，则= 考点四 在复数的范围内解方程 【例4-1】（2023云南）已知复数z是方程的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2024·广东韶关）已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 【例4-3】（24-25河南）（多选）已知复数，是方程的两个不同的根，且在复平面内所对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C． D． 考点五 复数模的相关轨迹问题 【例5-1】（2023·重庆）复平面内复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2024·河南）已知复数，其中为虚数单位，且，则复数的模的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例5-3】（2024河北）复平面内复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 【例5-4】（2025·广东）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点六 复数的综合运用 【例6-1】（24-25河南）（多选）已知复数满足，设为虚数单位，则（   ） A．z可以是 B．对另一任意复数z1，一定存在 C． D．若z为纯虚数，则其虚部为2 【例6-2】（2025·辽宁）（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则 D．若，则，至少一个为 【例6-3】（2025·四川德阳）（多选）已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．是的充要条件 D．若，则中至少有一个为0 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数章末总结 一．复数的有关概念 1.定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位) 规定：i2=-1 2.分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R) 3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)------实部等于实部，虚部等于虚部（实同虚反） 4.共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)---实部相同，虚部相反数 5.模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)--实虚勾股 注意：， 二．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．---横实纵虚 三．复数的运算 1.运算法则：设，则 ①加法：； ②减法：； ③乘法：； ④除法： 方法总结：复数问题实际就是实部与虚部问题，所以只考复数只要把复数化简成复数的一般形式，然后代入相应的公式即可。 四．易错点 1.虚部不含i 2.复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． 3.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，除法则需分母实数化． 4.两个虚数不能比较大小． 5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立． 考点一 复数的分类 【例1-1】（24-25江西赣州）若复数为纯虚数，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【解析】由复数是纯虚数，得，解得，则，，所以.故选：D 【例1-2】（2024·山东泰安）已知（为虚数单位）为实数，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由可得，由于为实数，故，解得，故选：D 考点二 复数的几何意义 【例2-1】（2025·福建厦门）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】，所以对应的点为，位于第二象限，故选：B． 【例2-2】（2025四川）在复平面内，复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，所以复数所对应的点位于第四象限. 故选：D. 【例2-3】（2025届山东省齐鲁名校大联考模拟预测数学试题）已知，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由题意，得， 所以，故在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D 考点三 复数的计算 【例3-1】（2025·河北秦皇岛）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以. 故选：B 【例3-2】（2025·江西新余）已知复数（为虚数单位），则：（     ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以则，其模为，故选：C. 【例3-3】（24-25江西）若复数，则= 【答案】 【解析】由，所以，故. 故答案为： 考点四 在复数的范围内解方程 【例4-1】（2023云南）已知复数z是方程的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】复数范围内方程的根为， 因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以，则． 故选：D. 【例4-2】（2024·广东韶关）已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【解析】复数是一元二次方程的一个根， 又， 该方程的根为， 即或，则. 故选：B． 【例4-3】（24-25河南）（多选）已知复数，是方程的两个不同的根，且在复平面内所对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】方程可化为，解得， 因为在复平面内所对应的点位于第二象限， 则， 对于A、，故A正确； 对于B、，故B正确； 对于C、，故C错误； 对于D、，，故D正确. 故选：ABD 考点五 复数模的相关轨迹问题 【例5-1】（2023·重庆）复平面内复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以点是以，为焦点，半实轴长为1的双曲线，则， 所以点的轨迹方程为， 设， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故选：B． 【例5-2】（2024·河南）已知复数，其中为虚数单位，且，则复数的模的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】，则表示复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，则|z|表示圆上的点到原点的距离，由图可知，的最大值为3. 故选：C 【例5-3】（2024河北）复平面内复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【解析】设， 因为，所以，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：，如图， 又， 所以表示圆C上的动点到定点的距离， 所以为， 故选：B． 【例5-4】（2025·广东）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，代入到， 得， 即， 整理得， 即点在直线上， 所以点到之间的距离的最小值，即到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得， 所以点与点之间距离的最小值为. 故选：C. 考点六 复数的综合运用 【例6-1】（24-25河南）（多选）已知复数满足，设为虚数单位，则（   ） A．z可以是 B．对另一任意复数z1，一定存在 C． D．若z为纯虚数，则其虚部为2 【答案】AC 【解析】对于A，若，则，符合题意，故A正确； 对于B，当时，和无意义，所以对另一任意复数z1，不一定存在，故B错误； 对于C，设，且，， 所以，C正确； 对于D，设，由，可得或，D错误. 故选：AC 【例6-2】（2025·辽宁）（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则 D．若，则，至少一个为 【答案】BC 【解析】对于A项，设， 则，，所以， 当时，，A项错误； 对于B项，由，得， 即，所以，B项正确； 对于C项，设，， 由，得，即， 所以，又，所以，C项正确； 对于D项，取，， 满足，但，均不为，D项错误. 故选：BC 【例6-3】（2025·四川德阳）（多选）已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．是的充要条件 D．若，则中至少有一个为0 【答案】BD 【解析】若，则可以为，故A错； 设，，， 则， ， 所以，，故B正确； 当，时，为虚数，不能比较大小，故C错； ，则，解得或，故D正确. 故选：BD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$