7.2 复数的四则运算-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

7.2 复数的四则运算 考法一 复数加减运算 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）； （2）； （3）． 【一隅三反】 1．（2024黑龙江）已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得.故选：D 2．（2024云南）已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，则.故选：A. 3．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且，综上可知，所以. 故选：A. 考法二 复数的乘除运算 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5） . 【一隅三反】 1.（2024河南）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． (7)； (8)． (9)； (10)； (11). 【答案】(1)(2)(3)1(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11) 【解析】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）解法1：原式． 解法2：原式． （8）原式． （9）原式. （10）原式. （11），，， 原式. 考点三 在复数的范围内解方程 【例3-1】（24-25江西九江）若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为是关于方程的一个根，所以，整理得，所以，解得，故选：D 【例3-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)；(2). 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由方程可知，所以方程有两个共轭虚根为， 故. （2）由方程可知，所以方程有两个共轭虚根为， 【一隅三反】 1．（24-25山东德州）已知复数且复数z是方程的一个根，则实数（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为复数且复数z是方程的一个根，所以. 即，则故选：B. 2．（2024福建）（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 【答案】BCD 【解析】由，得或，即或， 解得或，显然A错误，C正确；各根之和为，B正确； 各根之积为，D正确，故选：BCD． 3（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 考点四 复数的综合运用 【例4】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）若复数．则下列命题是真命题的是（   ） A． B． C． D．若是关于的方程的根．则 【答案】ACD 【解析】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由题意可知，关于的方程的两虚根分别为、， 由韦达定理可得，可得，故，D对.故选：ACD. 【一隅三反】 1．（24-25河南·阶段练习）（多选）已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．的实部为 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根 【答案】ACD 【解析】，对应点为在第二象限，C对； 又，实部为，A对， ，B错； ，故为方程的一个根，D对. 故选：ACD 2．（23-24高一下·江苏镇江·期末）（多选）已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，下列说法中正确的是（    ） A．的虚部为4； B．； C．； D．是的一个平方根 【答案】ABD 【解析】A选项，的虚部为4，A正确； B选项，，B正确； C选项，， ，故，C错误； D选项，，故是的一个平方根，D正确. 故选：ABD 3（江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题）（多选）已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．若，则是实数 D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A，B，设，则， 若为实数，则，但这不一定能得到，比如， 这个时候满足为实数，但不是实数，故A错误； 若为虚数，则，这一定能得到，也就是说这个时候是虚数，故B正确； 对于C，D，设， 若，这就表明， 所以是实数，故C正确； 若， 这表明， 但不一定等于0， 比如，这个时候有， 但，故D错误. 故选：BC. 1． 单选题 1．（23-24高一下·山东·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得：，解得：. 故选：A 7．（24-25 重庆北碚·阶段练习）在复平面内，复数对应的点位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为， 则复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3（浙江省金色阳光联盟2025届高三下学期2月适应性考试数学试题）已知，则（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【解析】解法一：由，得， 所以， 解法二：因为， 所以， 故选：A. 4（2024·四川德阳·模拟预测）设复数和分别是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，可得， 不妨取，，所以，，因此，. 故选：A. 5．（24-25 山东·期中）若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，所以，也是关于x的方程的一个根， 所以，由韦达定理得： 所以，. 故选：B 6．（24-25 ·河南驻马店 ）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，所以， 故选：C. 2． 多选题 7．（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【答案】BC 【解析】因为，则， 可得，解得， 所以，其虚部为，实部为3，故BC正确，AD错误； 故选：BC. 8．（2025·吉林 ）设复数，则（    ） A．在复平面内z对应的点位于第一象限 B． C． D．若z是关于x的方程的一个根，则 【答案】AC 【解析】A项，复数对应点位于第一象限，故A正确； B项，，故B错误； C项，，故C正确； D项，若z是关于x的方程的一个根， 则，化简得， 所以有，解得，故D错误. 故选：AC. 9．（24-25 山东德州 ）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，由已知得，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，当时，，，此时， 当时，，，此时，故C正确； 对于D，由已知得，即，故D不正确. 故选：AC. 10．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）在复数范围内，方程的两根分别为，，且，则（    ） A．与互为共轭复数 B． C． D．为实数 【答案】ACD 【解析】由，解得，结合， 所以，，所以，即与互为共轭复数，则A正确； 因为，则B错误； 因为，所以，则C正确； 因为， 所以，则D正确. 故选：ACD. 11（24-25 河北邢台 ）关于复数的命题正确的有（    ） A．若复数，则， B．若复数为纯虚数，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】AC 【解析】由复数定义可知，若复数，这两个复数能比大小，则，， A选项正确； 若复数为纯虚数，则，则，B选项错误； 若，则有，即或，所以或，C选项正确； 若，则不一定成立，比如， 满足，但，不满足，D选项错误． 故选：AC． 12．（23-24山东济南）已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（    ） A．可能为纯虚数 B．，，的虚部之积为 C． D．，，的实部之和为2 【答案】ABD 【解析】因为，其三个不同的复数根为：，， 当时，此时为纯虚数，故A正确； 因为三个根的虚部分别为1，，，三个虚部乘积为，故B正确； 根据模长定义，，故C不正确； 因为三个根的实部分别为0，1，1，三个实部之和为2，故D正确. 故选：ABD. 13．（23-24全国·开学考试）若关于的方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题可知，，所以，，故A正确；，均为虚数，不能比较大小，故B错误；，故C正确；，故D正确. 故选：ACD 14．（2025山东）下列说法中，错误的是（    ） A．两个复数不能比较大小 B．在复数集内，的平方根是 C．是虚数的一个充要条件是 D．若是两个相等的实数，则是纯虚数 【答案】ACD 【解析】A选项，当两个复数的虚部为0时，两个复数为实数，可以比较大小，A错误； B选项，在复数集内，，故的平方根是，B正确； C选项，不妨设，此时为实数，则，满足，故C错误； D选项，不妨设，，不是纯虚数，D错误. 故选：ACD 3． 填空题 15．（2025辽宁）已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的共轭复数为___________. 【答案】 【解析】由于，所以，所以.故答案为： 16（2023·高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为对应的复数是，对应的复数为，又， 所以对应的复数为，又， 所以点对应的复数为，所以点的坐标为．故答案为：． 17（2024·上海宝山）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 【答案】 【解析】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆， ， ， ，即， 复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧， 则在复平面所对应的点组成的图形的面积为： 故答案为：. 18．（2024·课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是 . 【答案】 【解析】设，依题意有， 即，所以.将代入，得；将代入，解得；将代入，得，结合解得或.所以对应的数为、. 故答案为： 19．（2023上海）已知为虚数单位，则集合中元素的个数为___________. 【答案】 【解析】当时，； 当时，； 当时，； 当时，，所以集合中元素的个数为． 故答案为：． 20（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 【答案】1000 【解析】原式． 故答案为：1000． 4． 解答题 21．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） ． 22．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由题意可知是方程的另一复数根，所以，所以. （2）设，则由题意且， 所以，所以，解得. 23．（23-24高一下·江苏南京·期末）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，，. (1)当时，解关于的方程：； (2)当时， ①若，求的最小值； ②若存在实部不为0的虚数和实数，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)(2)①，② 【解析】（1）由题意得，整理得， ； （2）①当时，，设， 因为，所以， ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为； ②设，则 因为存在实数，使得成立， 所以为实数，所以， 因为，所以， 当时，，符合题意， 此时，则， 所以的取值范围为 24．（23-24高一下·湖北 ）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 【答案】(1). (2). 【解析】（1）由为奇函数，则恒成立. 即， 整理得：恒成立，故，解得， 故. （2）①若，则，由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为； ②时，，由有， 同时除以得，令，，， 由题知是方程的三个根， 则， 展开得，， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 复数的四则运算 考法一 复数加减运算 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)；(2)；(3)． 【一隅三反】 1．（2024黑龙江）已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 2．（2024云南）已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 考法二 复数的乘除运算 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【一隅三反】 1.（2024河南）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． (7)； (8)． (9)； (10)； (11). 考点三 在复数的范围内解方程 【例3-1】（24-25江西九江）若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)；(2). 【一隅三反】 1．（24-25山东德州）已知复数且复数z是方程的一个根，则实数（   ） A．1 B． C． D．2 2．（2024福建）（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 3（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 考点四 复数的综合运用 【例4】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）若复数．则下列命题是真命题的是（   ） A． B． C． D．若是关于的方程的根．则 【一隅三反】 1．（24-25河南·阶段练习）（多选）已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．的实部为 B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根 2．（23-24高一下·江苏镇江·期末）（多选）已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，下列说法中正确的是（    ） A．的虚部为4； B．； C．； D．是的一个平方根 3（江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题）（多选）已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．若，则是实数 D．若，则 1． 单选题 1．（23-24高一下·山东·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25 重庆北碚·阶段练习）在复平面内，复数对应的点位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3（浙江省金色阳光联盟2025届高三下学期2月适应性考试数学试题）已知，则（    ） A．10 B． C．5 D． 4（2024·四川德阳·模拟预测）设复数和分别是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25 山东·期中）若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 6．（24-25 ·河南驻马店 ）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 7．（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 8．（2025·吉林 ）设复数，则（    ） A．在复平面内z对应的点位于第一象限 B． C． D．若z是关于x的方程的一个根，则 9．（24-25 山东德州 ）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）在复数范围内，方程的两根分别为，，且，则（    ） A．与互为共轭复数 B． C． D．为实数 11（24-25 河北邢台 ）关于复数的命题正确的有（    ） A．若复数，则， B．若复数为纯虚数，则 C．若，则或 D．若，则 12．（23-24山东济南）已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（    ） A．可能为纯虚数 B．，，的虚部之积为 C． D．，，的实部之和为2 13．（23-24全国·开学考试）若关于的方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（    ） A． B． C． D． 14．（2025山东）下列说法中，错误的是（    ） A．两个复数不能比较大小 B．在复数集内，的平方根是 C．是虚数的一个充要条件是 D．若是两个相等的实数，则是纯虚数 3． 填空题 15．（2025辽宁）已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的共轭复数为___________. 16（2023·高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 17（2024·上海宝山）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 18．（2024·课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是 . 19．（2023上海）已知为虚数单位，则集合中元素的个数为___________. 20（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 4． 解答题 21．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 22．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 23．（23-24高一下·江苏南京·期末）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，，. (1)当时，解关于的方程：； (2)当时， ①若，求的最小值； ②若存在实部不为0的虚数和实数，使得成立，求的取值范围. 24．（23-24高一下·湖北 ）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$