精品解析：湖南省常德市第六中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

湖南省常德市武陵区常德市第六中学2024-2025学年 高二下学期入学考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A，B，根据交集运算得解. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 2. 已知数列满足：，，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设有，累加可得，即可求结果. 详解】由题设，则， 即，则. 故选：B 3. 已知a＝log23﹣log2，b＝log0.5π，c＝0.9﹣1.1，则（　 　） A. c＞a＞b B. a＞b＞c C. a＞c＞b D. b＞c＞a 【答案】A 【解析】 【分析】 将数据与0或者1进行比较，从而区分大小. 【详解】∵a＝log2log23∈（，1）， b＝log0.5π＜0， c＝0.9﹣1.1＞1． ∴c＞a＞b． 故选：A． 【点睛】本题考查指数式，对数式的比较大小，一般地，我们将数据与0或者1进行比较，从而区分大小. 4. 过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可得所得截面的半径，进而根据圆面积与球体积公式求得比值即可. 【详解】球的半径 ，设截面圆半径为r，则， 所得截面的面积与球的体积的比为. 故选：A. 5. 已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】确定函数的单调性，计算，考虑，，三种情况，计算得到答案. 【详解】偶函数在上单调递增，故函数在上单调递减，， ， 当时，，故； 当时，不成立； 当时，，. 综上所述：或. 故选：B 6. 已知函数，下列结论正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为，最小值为1 B. 函数的最小正周期为，最小值为0 C. 函数的最小正周期为，最大值为2 D. 函数的最小正周期为，最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，故的最小正周期为，根据时，，进而得到最大值和最小值. 【详解】由，得 ， ，所以的最小正周期为，故排除B、D； 当时，， 由得，所以， 所以， 所以一个周期内，的最小值为1，最大值为，故排除C. 故选：A 7. 过椭圆上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点， ， 根据椭圆定义，设，则，即， 则， 当时，取到最小值． 故选：A． 【点睛】本题考查利用椭圆的定义求解最值问题，同时也考查了圆的切线长的计算，考查计算能力，属于中等题. 8. 在数列中， 已知， 且， 则以下结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据递推公式可得，得出的通项公式，从而验证得出答案. 【详解】，则， 若中存在某项，使得，则可得这与条件中相矛盾. 所以，将上面两式相除可得 所以数列是公比为的等比数列. 则，设，则 所以 故选：C 二、多选题 9. 已知向量，，是空间直角坐标系中的坐标向量，，，，且满足，与平面平行，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. ，所成角为钝角 D. 可以用，表示 【答案】AC 【解析】 【分析】由向量，，是空间直角坐标系中的坐标向量，得到，，两两垂直，且，再由，与平面平行，求得，再逐项判断. 【详解】解：因为向量，，是空间直角坐标系中的坐标向量， 所以，，两两垂直，且， 而， ， 因为与平面平行，则，即，两式联立得， 所以， A. ，则，故正确； B.若，则，即，则，不存在，故不平行，故错误； C. 设，所成的角为， 则， 因为，所以，所成角为钝角，故正确； D. 假设可以用，表示，则，即，则，无解，故不可以用，表示，故错误； 故选：AC 10. 记为数列的前n项和，以下命题是真命题的是（ ） A. 是等差数列，则的充要条件为 B. 是等比数列，则的充要条件为 C. 是等差数列的充要条件为﹜是等比数列 D. 是等差数列的充要条件为为等差数列 【答案】CD 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列知识，结合充分条件、必要条件的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，取等差数列的通项为，对任意的正整数，均有， 此时不一定成立，A错误； 对于B，取等比数列的通项为，对任意的正整数，均有， 此时不一定成立，B错误； 对于C，是等差数列，则为常数，于是是常数，因此﹜是等比数列， ﹜是等比数列，则为常数，令，于是为常数，是等差数列， 所以是等差数列的充要条件为﹜是等比数列，C正确； 对于D，是等差数列，令公差为，则，即有， 于，数列为等差数列， 反之，为等差数列，令公差为，则，， 当时，，当时，满足上式， 于是，显然为常数，因此是等差数列， 所以是等差数列的充要条件为为等差数列，D正确. 故选：CD 【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为5 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 若，则直线的斜率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可判断A；过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义结合图象即可判断B；设点的坐标分别为，直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求得，从而可得线段的中点坐标及长度，再求出中点到准线的距离即可判断C；根据，可得，结合C选项即可判断D. 【详解】解：抛物线的准线方程为， 对于A，由，得，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，垂足为， 则， 当且仅当三点共线时，取等号， 所以的最小值为4，故B错误； 对于C，设点的坐标分别为，直线的方程为， 联立方程，消去得， 则， 则，线段的中点为， 点到直线的距离为， 所以以为直径的圆与直线相切，故C正确； 对于D，因为，所以，可得， 由， 得，解得，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 一个不透明的袋中有五张形状大小完全相同的卡片，它们上面分别标有数字0、-1、2、-3、4随机抽取一张卡片，把上面的数字记为，然后再从剩下的四张卡片随机抽取一张，把上面的数字记为b，则点在第二象限的概率是________________. 【答案】 【解析】 【分析】结合古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【详解】基本事件的总数为种， 要使在第二象限，则， 符合的事件有种， 故所求的概率为. 故答案为： 13. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得和的周长，再根据光速相同，时间比等于路程比，再结合C与S的离心率之比为，即可求解. 【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，两式相减得， 所以的周长为， 在图②中，的周长为， 因为光速相同， 因为C与S的离心率之比为，即， 所以. 故答案为：6. 14. 已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设内切球球心为，连接并延长交底面BCD于E，连接并延长交于，则为中点，由正四面体内切球的性质求、，进而求四面体体积，由等体积法求内切球的半径，进而可得、，再根据向量，，应用数量积的运算律可得，讨论的位置求的取值范围即可. 【详解】设内切球球心为，连接并延长交底面BCD于E， ∴是正△的中心，且面， 连接并延长交于，则为中点，且， ∴，则， 又面，则有，故， ∴，故四面体体积， 若球的半径为，则， ∴，故， ∵，， ∴， 在正四面体中，当与重合时最大，此时； 当与重合时最小，此时； ∴的范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据向量加减法的几何意义可得，，再应用向量数量积的运算律得到关于的表达式，讨论的位置求最值即可. 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，．已知 （1）求C； （2）若，求c的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）法一：由已知化简得，两边同时除以，再由余弦定理、正弦定理可得答案；法二：由已知利用余弦定理得，再由余弦定理可得答案： （2）由余弦定理、基本不等式可得答案． 【小问1详解】 法一：因为， 得， 两边同时除以得，， ，由正弦定理得， 所以， 得， 即， 又，所以，所以， 又，得． 法二： 因为，由余弦定理得 ， ， ，，所以， 又，得； 【小问2详解】 由余弦定理得， 又，得． ， 当且仅当“”时，等号成立． 则，故的最小值为2． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，平面平面ABCD，，，是等边三角形，M为侧棱PB的中点，且，. （1）求证：平面PAD； （2）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取AB的中点O，利用面面平行性质证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，分别求出直线PC的方向向量与平面PAD的法向量，利用向量数量积公式求夹角的正弦值. 【小问1详解】 证明如图，取AB中点O，连接OC，OM. ∵M为侧棱PB的中点，∴，因为平面PAD，平面， 所以平面， ∵，，，∴四边形ADCO平行四边形，则. 因为平面PAD，平面，所以平面， ∵，平面，∴平面平面PAD. ∵平面OCM，∴平面PAD. 【小问2详解】 如图，连接OP，是等边三角形，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAB， ∴平面ABCD. ∵，，∴，以O为原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ∵，，∴. ∴. 设为平面PAD的法向量， 则即 取，则. 设直线PC与平面PAD所成角为. ∴， ∴直线PC与平面PAD所角的正弦值为. 17. 在数列中，，. （1）设，证明数列是等差数列； （2）求的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将递推关系两边同除以即可由等差数列的定义证明； （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）解：将两边同除以，得， 即， 所以是，的等差数列. （2）解：由（1）得，即 ① ② ①-②得， 解得. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 18. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可求得椭圆的标准方程. （2）先根据题意写出直线的方程；再联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出点到直线AB的距离；最后利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：焦距为，离心率, 则，. 又由，得， 所以椭圆的标准方程为：． 小问2详解】 由（1）知：左焦点为. 则直线的方程为：. 设，， 联立整理可得：， 则，且，. 由弦长公式得， 又因为点到直线AB的距离， 所以． 19. 已知定义域为的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立．已知正项数列满足，且，，令 （1）求数列，的通项公式； （2）若，求证：（）． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由题设条件①②③推理得到在区间上单调递减，由求得；再由数列的递推式推理得到等比数列的通项公式，运用迭代法求得的通项； （2）先求出，得到，利用条件③得到，整理推得，然后进行放大，将其变形为，从而，对赋值代入再相加，再利用等比数列求和公式计算即得. 【小问1详解】 不妨设，则， ， ， 若，即， 此时有，与题设矛盾， 故， ，在区间上单调递减， ，． 又由， 两边同时除以，化简可得，即， 是以为首项，4为公比的等比数列，． 又，， 当时， ． 又当时，， 故． 【小问2详解】 由（1）可得． 当时，，且， ，， 又， ，即， ， ，即， ， ． 【点睛】思路点睛：解题思路在于，先由受启发，需求函数的最小值，即需判断其单调性.这就需要根据条件①②③推得函数的单调性，其次是两个数列通项公式的求解，需要紧扣已知的两个数列递推式发掘其内在联系才可求出；对于（2），需要通过函数的放缩才能得出结论，继而利用等比数列求和公式证得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市武陵区常德市第六中学2024-2025学年 高二下学期入学考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足：，，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 已知a＝log23﹣log2，b＝log0.5π，c＝0.9﹣1.1，则（　 　） A. c＞a＞b B. a＞b＞c C. a＞c＞b D. b＞c＞a 4. 过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（ ） A. B. C. D. 5. 已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知函数，下列结论正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为，最小值为1 B. 函数的最小正周期为，最小值为0 C. 函数的最小正周期为，最大值为2 D. 函数的最小正周期为，最大值为 7. 过椭圆上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在数列中， 已知， 且， 则以下结论成立的是（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，是空间直角坐标系中的坐标向量，，，，且满足，与平面平行，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. ，所成角为钝角 D. 可以用，表示 10. 记为数列前n项和，以下命题是真命题的是（ ） A. 是等差数列，则的充要条件为 B. 是等比数列，则的充要条件为 C. 是等差数列的充要条件为﹜是等比数列 D. 是等差数列的充要条件为为等差数列 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为5 C. 以线段为直径圆与直线相切 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题 12. 一个不透明的袋中有五张形状大小完全相同的卡片，它们上面分别标有数字0、-1、2、-3、4随机抽取一张卡片，把上面的数字记为，然后再从剩下的四张卡片随机抽取一张，把上面的数字记为b，则点在第二象限的概率是________________. 13. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则______． 14. 已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是________. 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，．已知 （1）求C； （2）若，求c的最小值． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，平面平面ABCD，，，是等边三角形，M为侧棱PB的中点，且，. （1）求证：平面PAD； （2）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值. 17. 在数列中，，. （1）设，证明数列是等差数列； （2）求前项和. 18. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积． 19. 已知定义域为的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立．已知正项数列满足，且，，令 （1）求数列，的通项公式； （2）若，求证：（）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $