2.1.2垂线 教案2024-2025学年北师大版数学七年级下册

分课时教学设计 《2.1.2垂线》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节课的教学内容两条直线互相垂直是相交线中的特殊情况，是学生学习平面几何的基础和重点之一，是学生学会运用几何语言的起步阶段，对养成学生良好而规范的几何语言表达能力有着举足轻重的作用，同时它也是数学学习中从一般到特殊的一个过程。本节课从观察生活中的图片入手，引出两条直线互相垂直的概念，给出两条直线互相垂直的符号表示，通过画、折等操作活动进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，引导学生探索两条直线互相垂直的一些性质，给出点到直线的距离的概念。 学习者分析 在前面的学习中，学生已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对两点确定一条直线、角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。七年级学生好奇心强，对新鲜事物特别敏感，但注意力容易分散，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，从而引起学生的有意注意。 教学目标 1.理解垂线的有关概念、性质及画法； 2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用它们解决问题； 3.理解点到直线的距离，会判断图形中点到直线的距离，通过动手操作活动，探究归纳垂直的有关性质； 4.经历生动、有趣的动手操作过程，使学生积极参与到数学活动中，并在活动中感受成功的快乐。 教学重点 1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线； 2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 教学难点 掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理. 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 同一平面上的两条直线有哪些位置关系? 学生活动1： 学生思考，积极举手回答. 活动意图说明： 通过设置问题，引发学生的回忆思考，激发学生的学习兴趣，自然切入本节课所要学习的内容. 环节二：垂线及其相关概念 教师活动2： 观察图中的图片，你能找出其中相交的线吗?它们有什么特殊的位置关系? 垂直、垂线： 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如图，直线 AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD； 如图，直线l与直线m垂直，记作l⊥m。其中，点O是垂足。 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。 如图，直线 AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD； 如图，直线l与直线m垂直，记作l⊥m。 其中，点O是垂足。 注意： 垂直和垂线是两个不同的概念， 垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角， 而垂线是一条直线 . 思考·交流： (1)如图，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC,那么OC与AB垂直吗?为什么? (2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗?你知道她每一步的依据吗?与同伴进行交流。 我是这样思考的: 由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°， 可得∠AOC=∠BOC=90°, 所以 OC⊥AB。 小颖的想法正确。 由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°，(平角的概念) 可得∠AOC=∠BOC=90°,(等量代换) 所以 OC⊥AB（垂直的定义）。 (3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗?为什么?与同伴进行交流。 如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC. 证明：因为OC⊥AB， 由垂直的概念可得， ∠AOC=∠BOC. 尝试·思考： (1)你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗?试试看! 用折叠的方法可以折出互相垂直的直线。 (2)如果只用直尺，你能画出下图方格纸上已知直线的垂线吗?你还能再画出两条互相垂直的直线吗? 学生活动2： 学生观察图片，思考回答. 学生与教师一起总结垂直、垂线等概念，会用数学符号表示两条直线垂直。 学生小组合作，思考回答。 学生动手操作，之后回答问题。 活动意图说明： 通过观察图片，引导学生总结出垂线及其相关概念，培养学生观察，归纳总结的能力；之后思考交流，让学生理解垂线的一些性质，加强对概念的理解；最后让学生在操作和交流的过程中，积累有关两条直线垂直的经验，发展有条理的思考；培养作图能力，发展几何直观. 环节三：垂线的画法及性质 教师活动3： 尝试·交流： (1)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗? 你能画出多少条?如果点A在直线l外呢?你是怎样做的?与同伴进行交流。 点A在直线l上 只能画一条垂线 点A在直线l外 只能画一条垂线 垂线的画法： （1）一靠: 将三角尺的一条直角边靠在已知直线上，即一条直角边与已知直线重合． （2）二过:移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知点． （3）三画:沿已知点所在的直角边画线，则这条直线就是经过已知点画的已知直线的垂线． 垂线的性质： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意：（1）此基本事实的前提是在同一平面内，所过的点可以在直线上，也可以在直线外； （2） 一条直线的垂线有无数条，但过一点只能作一条. (2)如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么? 发现：线段PO最短。 垂线的性质： 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 点到直线的距离： 如图，过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离。 在图中，哪条线段的长度可以表示点P到直线l的距离? OP的长度可以表示点P到直线l的距离。 学生活动3： 学生先尝试动手操作，之后教师进行演示. 学生与教师一起总结垂线的画法及垂线的性质，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 学生观察，猜想回答。 学生在教师的引导下，得出垂线的另一性质： 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 学生理解点到直线的距离的概念并会进行判断。 活动意图说明： 通过学生动手操作，总结出垂线的性质，理解点到直线的距离的概念，提高作图能力和技巧，培养数学语言表达能力和总结能力，培养自主学习的习惯。 板书设计 课题：2.1.2垂线 1.垂线及其相关概念： 2.垂线的画法： 3.垂线的性质： 4.点到直线的距离： 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（　D　） 2.如图,点O在直线BD上,已知∠1=20°，OC⊥OA,则∠BOC的度数为( B ) A.20° B.70° C.80° D.90° 3.如图,小华同学的家在点P处,他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆,他选择沿线段PC去公路边,他的这一选择用到的数学知识是（ D ） A.两点确定一条直线 B.两点之间直线最短 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短 4.如图,直线AB,CD,EF 都经过点O,且AB⊥CD,∠COE=35°,求∠EOB,∠BOF的度数. 解：因为AB⊥CD， 所以∠BOC=90°. 因为∠COE=35°， 所以∠EOB=90°-35°=55°， 所以∠BOF=180°-55°=125°. 选做题： 5.如图，OA⊥OB，∠BOC=30°，OD平分∠AOC,则∠BOD的大小是( B ) A.20° B.30° C.40° D.60° 6.设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则（　C 　） A.PT≥2PQ B.PT≤2PQ C.PT≥PQ D.PT≤PQ 【综合拓展类作业】 7.如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流. （1） 从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由； （2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由； 解:（1）如图，沿线段BA走.理由：两点之间线段最短. （2）如图，沿线段AC走.理由：垂线段最短. 课堂总结 1.垂直、垂线的概念： 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 2.垂线的画法：一靠、二过、三画 3.垂线的性质： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 4.点到直线的距离： 如图，过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离。 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图,AO⊥OB,若∠AOC=49°,则∠BOC 的度数是( C ) A.30° B.40° C.41° D.49° 2. 如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是( C ) A. AC B. BC C. CD D. 不能确定 3.如图，已知 OA ⊥ m ， OB ⊥ m ，所以 OA 与 OB 重合，其理由是（　C 　） A.过两点只有一条直线 B.过一点只能作一条垂线 C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.垂线段最短 选做题： 4.如图，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P可以在直线BC上自由移动，则AP的长不可能是 (　 A 　) A．2.5　 B．3　 　 C．4　 　 D．5 5．如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD 的大小为( A ) A.30° B.40° C.50° D.60° 【综合拓展类作业】 6.如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB. (1)若∠1=40°,求∠BOD的度数； (2)如果∠1=∠2,那么ON与CD 互相垂直吗?为什么? 解：(1)因为 OM⊥AB， 所以∠AOM=90°. 所以∠AOC=90°-∠1=50°. 所以∠BOD=∠AOC=50°； (2)ON⊥CD.理由如下: 因为∠1=∠2, 所以∠2+∠AOC=∠1+∠AOC=90°, 即 ON⊥CD. 教学反思 垂线的性质和定义，都是通过操作、探究获得的.为了获得垂线的性质，在这里仍要让学生动手画图，再经历小组讨论，体会垂线的存在性和唯一性，归纳出垂线的性质，发展学生的抽象概括能力和空间观念. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$