热点7-1 直线与圆的综合应用（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点7-1 直线与圆的综合应用 三年考情分析 2025考向预测 在近三年的高考数学中以选择题、填空题为主，部分解答题涉及直线与圆的综合应用．考查内容多为基础知识和常见题型，但部分题目需要较强的综合能力，命题注重考查直线与圆的几何性质，如弦长公式、切线长公式等． 预计2025年直线与圆的综合应用将继续以选择题、填空题和解答题的形式出现，难度中等偏上．命题可能会结合圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的性质，考查直线与圆的综合应用． 题型1 直线的倾斜角与斜率 1、求倾斜角的取值范围的一般步骤 （1）求出斜率的取值范围． （2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 2、斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． 1．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小.故选：B. 2．（24-25高三上·江西新余·模拟考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故.故选：D. 3．（24-25高三上·河北承德·月考）已知直线在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】已知直线，所以 所以直线过点， 由题知，在轴上的截距取值范围是， 所以直线过点时的斜率分别为，如图： 所以或.故选：D 4．（24-25高三上·广西南宁·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，， 因为过点的直线与线段相交， 结合图象可知，该直线的斜率的取值范围为.故选：B. 题型2 直线的方程及应用 1、求解直线方程的两种方法 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程． 2、直线过定点：过与的交点的直线可设为：． 1．（24-25高三上·安徽淮南·月考）过点且倾斜角为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：直线的斜率，且过点， 故直线的方程为，即．故选：B． 2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，直线与垂直，直线的斜率为，所以的斜率为5， 又因为过点，所以直线的方程为，即.故选：D. 3．（24-25高三上·河南·月考）（多选）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】若直线过原点，直线方程为； 若直线的斜率为1，直线方程为；若直线的斜率为，直线方程为． 故直线方程为或或．故选：ABD． 4．（24-25高三上·河北衡水·模拟预测）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【解析】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即.故选：A 题型3 两条直线平行与垂直 1、由一般式方程确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 2、平行垂直直线一般方程的设法： （1）平行：与直线垂直的直线方程可设为． （2）垂直：与直线垂直的直线方程可设为． 1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）若直线与直线平行，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以或． 当时，重合； 当时，，，符合题意． 综上.故选：B. 2．（23-24高三下·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得，解得， 所以直线的方程是.故选：C 3．（24-25高三上·贵州·月考）已知直线与直线互相垂直，则为（    ） A． B．或0 C． D．或0 【答案】B 【解析】因为直线与直线互相垂直， 所以 ，解得或.故选：B 4．（24-25高三上·广西贵港·月考）已知直线与直线，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为直线与直线， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A 题型4 三种距离公式及应用 1、平面内两点间的距离公式 一般地，计算，两点之间的距离公式为． 2、点到直线的距离公式 点到直线的距离． 3、两平行线间的距离公式 设两条平行直线，，它们之间的距离为，则为上任意一点到的距离，即 注意：（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 1．（24-25高三下·重庆·月考）已知直线上有一个动点，若点满足，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】直线的方向向量，则在向量上的投影数量， 所以点到直线的距离为. 2．（23-24高三下·浙江杭州·模拟预测）平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与平行， 所以，即， 则，也就是， 所以两直线间的距离为.故选：D 3．（24-25高三下·浙江·开学考试）在等腰梯形中，．设是其内部一点，满足，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意，以中点为原点，所在直线为轴建立如图所示坐标系， 设，，，，，其中， 则由题意可得①，②， ③，④， ④①得，③②得，所以， 所以，故选：D 4．（24-25高三上·广东佛山·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】为直线上的点到原点距离的平方， 所以的最小值为原点到直线的距离的平方， 又原点到直线的距离， 所以的最小值为1．故选：D. 题型5 几类对称问题及应用 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 1．（24-25高三上·重庆·月考）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【解析】由直线化为， 令，解得，于是此直线恒过点． 设点P关于直线的对称点为， 则，解得，∴． 故答案为： 2．（24-25高三下·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得， 即，解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故，故选：B. 3．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得（*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是.故选：C. 4．（24-25高三上·辽宁·模拟预测）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知圆心为，半径， 由题意， 所以当时，取最小值， 由点到直线的距离公式可得， 此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点， 由于与关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点即为所求的点， 所以的最小值为.故选：C    题型6 求圆的标准（一般）方程 求圆的方程的方法 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 1．（24-25高三上·浙江温州·模拟预测）圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知抛物线的准线方程为； 圆心到准线的距离为，所以该圆的半径为2； 所以圆的方程为.故选：C 2．（24-25高三上·海南·模拟预测）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该圆的半径为，如图， 由题意知：，，， 由勾股定理得：，即，解得：， ，即圆的圆心为，则圆的方程为.故选：A. 3．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线与圆相切，设圆的半径为r， 则， 所以圆的标准方程为.故选：A. 4．（23-24高三上·江苏无锡·月考）已知点，若点在圆：上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，因为为中点， 所以. 又在圆：上， 所以. 即为点的轨迹方程，故选：A 题型7 圆的切线方程与切线长 1、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 （1）几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； （2）代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 2、切线长：若圆的方程为，则过圆外一点的切线长为. 1．（24-25高三上·湖南·月考）写出一个半径为，且与直线相切于点的圆的方程： ． 【答案】或（写1个即可） 【解析】设圆心坐标为，半径为，且与直线相切于点， 由直线，可得该直线斜率为， 所以，解得或， 所以所求圆的方程为或． 2．（24-25高三上·黑龙江鸡西·月考）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或.故选：D. 3．（24-25高三上·湖南衡阳·月考）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】C 【解析】连接，则，当最小时，最小， 又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为.故选：C. 4．（24-25高三上·广东佛山·模拟预测）已知圆，过圆上一点P作圆O的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】如图，， 因为当三点共线时，， 此时， 所以四边形面积的最小值为.故选：B 题型8 圆的切点弦及弦长问题 1、直线与圆相交时的弦长求法： （1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：． （2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 2、切点弦方程：过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为：． 1．（24-25高三上·江西景德镇·二模）已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，且，则， 又，∴， 利用面积相等，∴，故选：D． 2．（24-25高三上·重庆·月考）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的方程可化为， 设，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 而的最小值是圆心到直线的距离，所以， 又，所以．故选：B． 3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为（    ） A．4 B．2 C．6 D． 【答案】A 【解析】圆 ，则直线过定点， 因定点在圆内， 定点到圆心的距离为， 所以直线与圆相交弦长的最小值为.故选：A. 4．（24-25高三上·河北·月考）若直线与圆的两个交点、恰好关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由垂径定理可知，直线与直线垂直，所以， 因为，则， 且直线过圆心，则，解得， 所以直线的方程为， 则圆心到直线的距离为， 因此.故选：B. 题型9 两圆的公共弦问题 1、两圆公共弦所在直线的方程 若圆：与圆：相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为． 2、公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离及弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 1．（24-25高三上·四川成都·月考）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆与圆相交于、， 将这两圆方程作差可得， 因此，直线的方程为.故选：A. 2．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆，即，圆心为，半径； 圆，即， 圆心为，半径. 两个圆的方程相减并化简得， 将代入得， 此时圆，， ，满足两圆相交，符合题意.故选：B 3．（24-25高三上·湖北随州·月考）设为直线上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点 . 【答案】 【解析】因为为直线上的任一点，所以设， 由于圆的两条切线，，切点分别为切，， 所以，，则点，在以线段为直径的圆上， 即线段是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 又，两式相减，得， 即公共弦所在的直线方程是，即， 由，解得，所以直线AB恒过定点. 4．（24-25高三上·江西新余·月考）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A． B． C．或1 D． 【答案】C 【解析】两圆相减得公共弦方程为：， 根据题意可知，圆的圆心到公共弦的距离，解得或， 当时，圆的标准方程为：， 当时，圆的标准方程为：， 所以或.故选：C 题型10 两圆的公切线问题 1、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 2、公切线长的求法：公切线上两个切点间的距离叫公切线长． （1）连接两圆的圆心与两切点，外公切线一般直接构造直角梯形，内公切线一般构造直角三角形； （2）若为外公切线，过一个圆心作直角梯形的高，将梯形分成矩形和直角三角形； （3）转化为解直角三角形的问题． 1．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系内，原点到直线的距离为，且点到直线的距离为，则满足条件的直线共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】D 【解析】与原点距离为的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆，即； 与点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即； 因为圆心距， 所以圆与圆外离，这两圆共有条公切线， 所以适合条件的直线共有条，故选：D. 2．（24-25高三上·辽宁·月考）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆方程知：圆心，半径； 由圆方程知：圆心，半径； 圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切， ，即， 设，则，， 即，，解得：， 的取值范围为.故选：D. 3．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为 （写出其中一条公切线方程即可）. 【答案】或或或（写出其中一个即可） 【解析】如图：任意圆与圆关于直线对称，为圆与圆的一条公切线， ∵圆与圆关于直线对称，∴， ∵为圆与圆的公切线，∴，∴， 由圆与圆关于直线对称，∴圆与圆的半径相等，即， ∴，且到的距离为， ∵，∴，，∴， 设其中一条公切线，则，即， 故圆与圆的公切线. ∵圆心到直线的距离，∴圆与圆相离， ∴圆与圆有4条公切线，由对称性可知公切线与交于一点， 设与圆相切与点，则， ∵，，∴， ∵，∴轴，轴， ∴故圆与圆的公切线或. 故答案为：或或或（写出其中一个即可）. 4．（23-24高三下·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【解析】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由， 所以两圆相交，则. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·山东菏泽·月考）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的一个方向向量为，则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为.故选：A. 2．（24-25高三下·全国·开学考试）已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，将其看作直线， 由直线与圆有公共点， 得圆心到直线的距离小于或等于圆的半径， 即，解得， 所以的最大值为， 即的最大值为故选：D 3．（24-25高三上·云南昭通·一模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【解析】整理为， 则，解得，则直线恒过定点， 而，定点在圆内，则直线与圆必有2个交点，故选：C. 4．（24-25高三上·广东茂名·一模）已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【解析】根据两直线平行，可知，解得.故选：C 5．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知，直线，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为．故选：C. 6．（23-24高三下·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】直线l：， 整理得， 由，可得，故直线恒过点， 点到的距离，故； 直线l：的斜率， 故，解得故选：B. 7．（24-25高三上·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得，解得． 则点到直线：的距离为．故选：C． 8．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知，，点P满足，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，， ，，化简得 点P的轨迹方程为： 依题意可得直线AB的方程为，即， 圆P的圆心在直线AB的方程上， 点P到直线AB的距离为圆P的半径时，的面积最大， 面积的最大值为故选：B 二、多选题 9．（24-25高三上·江西·模拟预测）已知直线，则（    ） A．的方程可以表示过点的任意一条直线 B．原点到的距离的最大值为 C．的充要条件为 D．的充要条件为或 【答案】BCD 【解析】选项A：很明显，的方程无法表示直线，故A错误； 选项B：的方程可化为，易知过定点， 当时，原点到的距离最大，最大距离为，故B正确； 选项C：的充要条件为，解得： ，故C正确； 选项D：的充要条件为且， 解得或，故D正确．故选：BCD． 10．（24-25高三上·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（     ） A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为 C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为 【答案】AD 【解析】圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为； 又圆的半径为，得圆上有两个点到直线的距离为， 圆上有个点到直线的距离为，所以AD成立故选：AD． 11．（24-25高三下·山西·月考）一条动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为定直线：上动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在直线，使得以为直径的圆与相切 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】设线段 的中点为M ，根据圆的对称性可知点 在圆 上， 则，坐标原点到直线的距离为， 易知， 对于A：点到直线距离的最小值为 ，且， 所以以为直径的圆与相离，故A错误； 对于C：， 所以，故C正确； 对于B： ， 所以，故B正确； 对于D：由于两点在圆上，且，点到直线的距离， 求直线上点使得最小由对称性等同于求直线上一点使得的最小值问题， 设，，，点关于直线对称点为 ， 则 ，直线 ， 由 ，消去整理得， 即 ，即， 所以， ，同理 ， 所以 ，， 当且仅当三点共线时取等号， 所以当时，取最小值， 所以 的最小值为，故D正确；故选：BCD 三、填空题 12．（24-25高三上·北京·月考）已知直线：和：，若，则实数 . 【答案】 【解析】直线：、：，且， ， 解得. 故答案为：. 13．（24-25高三上·山东临沂·月考）已知在平面直角坐标系中，点．若直线与线段相交，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】可化为， 由得，则直线过定点． ①当时，直线与线段相交，满足题意． ②当时，直线的斜率， 因为直线的斜率，直线的斜率， 所以或，解得或． 综上可得的取值范围为． 14．（24-25高三下·河北·开学考试）已知曲线与直线有两个公共点，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据题意，曲线，可以变形为， 因为，所以曲线为以为圆心，以2为半径的半圆弧， 直线过点，如图所示， 方程可变形为， 当直线与半圆相切时，，计算可得， 当直线过点时，直线与该曲线有两个公共点，此时直线的斜率为， 所以实数k的取值范围为． 四、解答题 15．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知圆：关于直线对称，且圆心在x轴上. (1)求圆C的标准方程； (2)点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）圆的方程的圆心坐标为，半径， 由圆心在x轴上，圆关于直线对称得，， 所以，故圆心，半径， 所以所求圆的标准方程为 （2）因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 16．（24-25高三上·北京·月考）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）圆，即， 则圆心为，半径， 因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上， 所以，解得， 所以的半径； （2）由（1）可得，圆心为， 因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或. 17．（24-25高三上·江苏·月考）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 【答案】(1)或；(2)证明见解析 【解析】（1）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 联立，解得，，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设：， 由，得，则， 联立，可得， 则，解得， 所以，解得， 故直线的方程为或． （2）设，圆为，圆心为， 则以线段为直径的圆的方程为， 化简可得， 上述方程与圆的方程相减得， 因为直线过点，则，所以， 所以点在直线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点7-1 直线与圆的综合应用 三年考情分析 2025考向预测 在近三年的高考数学中以选择题、填空题为主，部分解答题涉及直线与圆的综合应用．考查内容多为基础知识和常见题型，但部分题目需要较强的综合能力，命题注重考查直线与圆的几何性质，如弦长公式、切线长公式等． 预计2025年直线与圆的综合应用将继续以选择题、填空题和解答题的形式出现，难度中等偏上．命题可能会结合圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的性质，考查直线与圆的综合应用． 题型1 直线的倾斜角与斜率 1、求倾斜角的取值范围的一般步骤 （1）求出斜率的取值范围． （2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 2、斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． 1．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西新余·模拟考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北承德·月考）已知直线在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（24-25高三上·广西南宁·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型2 直线的方程及应用 1、求解直线方程的两种方法 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程． 2、直线过定点：过与的交点的直线可设为：． 1．（24-25高三上·安徽淮南·月考）过点且倾斜角为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河南·月考）（多选）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北衡水·模拟预测）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 题型3 两条直线平行与垂直 1、由一般式方程确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 2、平行垂直直线一般方程的设法： （1）平行：与直线垂直的直线方程可设为． （2）垂直：与直线垂直的直线方程可设为． 1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）若直线与直线平行，则（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（23-24高三下·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·贵州·月考）已知直线与直线互相垂直，则为（    ） A． B．或0 C． D．或0 4．（24-25高三上·广西贵港·月考）已知直线与直线，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 题型4 三种距离公式及应用 1、平面内两点间的距离公式 一般地，计算，两点之间的距离公式为． 2、点到直线的距离公式 点到直线的距离． 3、两平行线间的距离公式 设两条平行直线，，它们之间的距离为，则为上任意一点到的距离，即 注意：（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 1．（24-25高三下·重庆·月考）已知直线上有一个动点，若点满足，则点到直线的距离为 . 2．（23-24高三下·浙江杭州·模拟预测）平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·浙江·开学考试）在等腰梯形中，．设是其内部一点，满足，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．（24-25高三上·广东佛山·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 题型5 几类对称问题及应用 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 1．（24-25高三上·重庆·月考）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 2．（24-25高三下·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·辽宁·模拟预测）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型6 求圆的标准（一般）方程 求圆的方程的方法 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 1．（24-25高三上·浙江温州·模拟预测）圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·海南·模拟预测）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江苏无锡·月考）已知点，若点在圆：上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型7 圆的切线方程与切线长 1、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 （1）几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； （2）代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 2、切线长：若圆的方程为，则过圆外一点的切线长为. 1．（24-25高三上·湖南·月考）写出一个半径为，且与直线相切于点的圆的方程： ． 2．（24-25高三上·黑龙江鸡西·月考）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高三上·湖南衡阳·月考）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 4．（24-25高三上·广东佛山·模拟预测）已知圆，过圆上一点P作圆O的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 题型8 圆的切点弦及弦长问题 1、直线与圆相交时的弦长求法： （1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：． （2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 2、切点弦方程：过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为：． 1．（24-25高三上·江西景德镇·二模）已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·月考）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为（    ） A．4 B．2 C．6 D． 4．（24-25高三上·河北·月考）若直线与圆的两个交点、恰好关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 题型9 两圆的公共弦问题 1、两圆公共弦所在直线的方程 若圆：与圆：相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为． 2、公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离及弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 1．（24-25高三上·四川成都·月考）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北随州·月考）设为直线上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点 . 4．（24-25高三上·江西新余·月考）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A． B． C．或1 D． 题型10 两圆的公切线问题 1、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 2、公切线长的求法：公切线上两个切点间的距离叫公切线长． （1）连接两圆的圆心与两切点，外公切线一般直接构造直角梯形，内公切线一般构造直角三角形； （2）若为外公切线，过一个圆心作直角梯形的高，将梯形分成矩形和直角三角形； （3）转化为解直角三角形的问题． 1．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系内，原点到直线的距离为，且点到直线的距离为，则满足条件的直线共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．（24-25高三上·辽宁·月考）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为 （写出其中一条公切线方程即可）. 4．（23-24高三下·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·山东菏泽·月考）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·全国·开学考试）已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·云南昭通·一模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 4．（24-25高三上·广东茂名·一模）已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 5．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知，直线，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．（23-24高三下·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 7．（24-25高三上·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知，，点P满足，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·江西·模拟预测）已知直线，则（    ） A．的方程可以表示过点的任意一条直线 B．原点到的距离的最大值为 C．的充要条件为 D．的充要条件为或 10．（24-25高三上·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（     ） A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为 C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为 11．（24-25高三下·山西·月考）一条动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为定直线：上动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在直线，使得以为直径的圆与相切 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（24-25高三上·北京·月考）已知直线：和：，若，则实数 . 13．（24-25高三上·山东临沂·月考）已知在平面直角坐标系中，点．若直线与线段相交，则的取值范围为 ． 14．（24-25高三下·河北·开学考试）已知曲线与直线有两个公共点，则实数k的取值范围为 ． 四、解答题 15．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知圆：关于直线对称，且圆心在x轴上. (1)求圆C的标准方程； (2)点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 16．（24-25高三上·北京·月考）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 17．（24-25高三上·江苏·月考）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$