湖北省十堰市2024-2025学年高三上学期元月调研考试数学试卷

十堰市2025年高三年级元月调研考试 请在落是门物粉避其线内作方，座明显色夏财边制业见区城所怎新无请！ 博形各相时的容刻城内庄青图电男色脑传期化找域的养室文量： 数学答题卡 15(13分1 1615登) 准考任号 考场号 库位号 附新围玛处 速由生中 松被考标国 任1有童面，等1生年有有件名，考车算车消型，等认有商事行料得得名，号号车市写的值事华电备华西 信1有座解单转时模的笔过球：量路鞋第山性海料保出家个笔每：学准计形，4有中 透释理 AE 8A口EE 3 LA 1tA国Eh 丰透择星[速南世观光果自雪平装，路客客名室电酒的看油区内！ 行分 5分1 5分1 道作青山信养装内海青南面色用山程定自书上收了 请作春童山的有童属城内作青，量口山民传斯为监打 海春药N城内黑位后皮和出区成养复无数打 【高三学输路卡第1面共2更日 请在各鞋目饼荐随底铺内作方.相刻色单射道制刚定汽域消特刻无德！ 理衣各超社的容想挥城内作节.冠速魔包整达积制定区域的带笔无教日 销在养超门的荐想其城内衣荐.想市面色和力摩用足铺的荐率大效1 7.15》) 1保.(T分) 1.(17分3 首作青山值以铺内行青，型型和山确做打 厚金青青是风线内作鞋佳是位山教是风线行青室首打 有作骨碧面养■内作养作，如面品山华用保城自荐名上效 ■ [高三口学答蓝卡第2共2更日书 !高三数学 ! 第 ! 页"共 " 页#$ % !"#!$%& % 十堰市 #$#% 年高三年级元月调研考试 数 !! 学 本试题卷共 " 页!共 !& 道题!满分 !%$ 分!考试时间 !#$ 分钟" " 祝考试顺利 " 注意事项! !' 答题前!考生务必将自己的姓名"考号填写在答题卡和试卷指定位置上!并将考号条形码贴在 答题卡上的指定位置# #' 选择题的作答$每小题选出答案后!用 #( 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑#如需改 动!用橡皮擦干净后!再选涂其他答案标号#答在试题卷"草稿纸上无效# )' 非选择题用 $'% 毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内#答在试 题卷"草稿纸上无效# "' 考生必须保持答题卡的整洁#考试结束后!只交答题卡# 一"选择题!本题共 * 小题#每小题 % 分#共 "$ 分 ' 在每小题给出的四个选项中#只有一项是符合 题目要求的 ' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !! 已知集合 "+ % # # !,# $ $ &! $+ % # #,# # % $ & !则 " & $+ -! ' $ !( (! ' ,! ! $ ) .! * ! ! # ) /! * $ !( #! 下列双曲线!焦点在 % 轴上且渐近线方程为 % +0 ! # # 的是 -! # # " , % # +! (! # # # , % # * +! .! % # ) , # # !# +! /! % # " ,# # +! )! 如图!在 ' "$& 中! ' 是 $& 延长线上一点!且 $'+)$& !则 "' () + -!""& () ,)"$ () (!)"& () ,#"$ () .! " ) "& () , ! ) "$ () /! ! ) "& () , # ) "$ () "! 已知 123 * , ! # 4 ! ) +, ) % !则 123 ! # + -! 槡#% % (!0 槡#% % .! 槡% % /!0 槡% % %! 已知 # * $ !且 # ! #4! ! # # ! ## 的中位数为 ! !则 #+ -! ! ) (! # ) .! /! ) # !高三数学 ! 第 # ! 页"共 " 页#$ % !"#!$%& % 5! 已知正三棱锥 ()"$& 的体积为 槡5 " ! "$ 槡+ )!则该三棱锥外接球的表面积为 -!6 ! (! 6 ! # .!& ! /! & ! # 6! 在 ' "$& 中! + "&$+ # ! ) ! ' 为 "$ 上一点! &' , "& ! "'+#'$+# !则 ' "$& 的面积为 -! 槡) # (! 槡)) " .! ) " /! ) # *! 已知函数 * * # ) + # #,) ! # % # ! ,#4" ! # * # ! - . / 若实数 + ! , ! - 满足 + 0 , 0 - !且 * * + ) + * * , ) + * * - )!则 ! + 4 ! , 4 ! - 的取值范围为 -! * !! !# ! ) (! * !! !# ! 6 5 ) .! * % 5 ! 6 5 ) /! * # ) ! % 5 ) 二"选择题!本题共 ) 小题#每小题 5 分#共 !* 分 ! 在每小题给出的选项中#有多项符合题目要 求 ! 全部选对的得 5 分#部分选对的得部分分#有选错的得 $ 分 ! &! 已知虚数 . 满足 . # +. !则 -!. 的实部为 , ! # (!. 的虚部为 槡) # .! # . # +! /!. 可能为纯虚数 !$! 已知 / 1 ! 4 !函数 * * # ) +# * # # ,## ) / !则下列说法正确的是 -! 若 / 为奇数!则 #+# 是 * * # )的极小值点 (! 若 / 为奇数!则 #+$ 是 * * # )的极大值点 .! 若 / 为偶数!则 #+# 是 * * # )的极小值点 /! 若 / 为偶数!则 #+$ 是 * * # )的极大值点 !!! 数学中有许多形状优美的曲线!曲线 0 $ )# # 4) % # ,# # # % # +* 就是其中之一!则下列四个 结论正确的是 -! 曲线 0 关于原点对称!且关于直线 % +# 对称 (! 曲线 0 上任意一点到原点的距离都不超过 # .! 若 1 * # ! % )是曲线 0 上的任意点!则 ) % ,# 的最大值为槡)% /! 已知 ( * ! !)!直线 % +2# * 2 * $ )与曲线 0 交于 " ! $ 两点!则 # (" # 4 # ($ # 为定值 三"填空题!本题共 ) 小题#每小题 % 分#共 !% 分 ! !#! 已知函数 * * # )是定义在 " 上的奇函数!若 3 * # ) + * * # ) 4# ! 3 * ) ) +! !则 3 * ,) ) + !!2!! ! !)! 已知 "1 ! 4 !函数 * * # ) +123 * " #4 ! 5 ) 在 ' ! " ! ! ) ( 上单调递减!则 " 的最大值为 !!2!! ! !"! 由数字 ! ! # 构成一个 & 位的数字序列!含有连续子序列 !##! 的数字序列有 !!2!! 个 ! *例如 !##!###!! ! #!#!!##!! 符合题意) !高三数学 ! 第 ) ! 页"共 " 页#$ % !"#!$%& % 四"解答题!本题共 % 小题#共 66 分 ! 解答应写出文字说明"证明过程或演算步骤 ! !%! * !) 分) 现在很多市民都喜欢骑+共享单车,!但也有很多市民并不喜欢 ! 为了调查人们对这种交通方 式是否喜欢!某同学从交通拥堵严重的 - 城市和交通拥堵不严重的 ( 城市随机调查了 !$$ 名市民!得到了一个市民是否喜欢的样本!具体数据如下 #7# 列联表$ - ( 总计 喜欢 "$ !$ %$ 不喜欢 #$ )$ %$ 总计 5$ "$ !$$ * ! )请根据 #7# 列联表!并依据小概率值 ! +$!$$! 的独立性检验!能否认为喜欢骑+共享单 车,与城市的拥堵情况有关联- * # )为进一步了解 - 城市的拥堵情况!该同学从样本中 - 城市的市民中按是否喜欢利用分 层随机抽样的方法抽取 5 人!并从这 5 人中选出 # 人代表发言!记代表发言中喜欢骑+共 享单车,的人数为 4 !求随机变量 4 的分布列及数学期望 ! 参考公式$ # # + 5 * +6,,- ) # * +4, )* -46 )* +4- )* ,46 ) !其中 5++4,4-46! 附$ ! $! $!$% $!$! $!$$% $!$$! # ! #!6$5 )!*"! 5!5)% 6!*6& !$!*#* !5! * !% 分) 如图!在直四棱柱 "$&')" ! $ ! & ! ' ! 中!底面 "$&' 是边长为 # 的正方形!侧棱 '' ! +5 ! 点 0 ! 7 分别在侧棱 "" ! ! && ! 上!且 " ! 0+&7+#! * ! )求平面 $07 与平面 "$&' 夹角的余弦值 ! * # )已知 8 为底面 " ! $ ! & ! ' ! 的中心!在 $$ ! 上是否存在点 9 !使得 89 3 平面 $07 . 若存 在!求出 $9 $$ ! -若不存在!请说明理由 ! !高三数学 ! 第 " ! 页"共 " 页#$ % !"#!$%& % !6! * !% 分) 已知等比数列% + 5 &的前 5 项和为 : 5 !且 : 5 + + 54! ,! # ! * ! )求% + 5 &的通项公式- * # )若 , 5 + * #5,! ) + 5 !记数列% , 5 &的前 5 项和为 ; 5 !若 ; 54! ,! % " 5 / $ 恒成立!求 $ 的取 值范围 ! !*! * !6 分) 已知抛物线 0 $ # # +# <% 的焦点 7 在直线 #4# % ,#+$ 上! " ! $ ! & 是 0 上的三个点 ! * ! )求 0 的方程- * # )已知 & * ,# ! % & )!且直线 "$ 经过点 7 ! "& , $& !求直线 "$ 的方程- * ) )已知 " ! $ 在 % 轴的两侧!过点 " ! $ 分别作抛物线 0 的切线 = ! ! = # !且 = ! 与 = # 交于点 > !直线 % +! 与 = ! 和 = # 分别交于点 1 ! ? !求 ' >1? 面积的最小值 ! !&! * !6 分) 设函数 % + * * # )在区间 ' 上有定义!若对任意 # ! ! # # 1 ' ! # ! * # # !都满足 * * # ! ) , * * # # ) * 2 * # ! ,# # ) # !则称函数 % + * * # )在区间 ' 上为 2 级速增函数 ! * ! )判断函数 * * # ) +## ) 4# 在区间 " 上是否为 ! 级速增函数!说明理由 ! * # )若函数 % + * * # )在区间* $ ! 4 8 )上为 # 级速增函数!且 * * ! ) +! !证明$对任意 5 1 ! 4 ! 5 $ # ! * * 5 ) * #5,! 恒成立 ! * ) )若 * * # ) +#9 # 在区间* $ ! 4 8 )上为 2 级速增函数!求 2 的取值范围 ! 十堰市2025年高三年级元月调研考试 数学参考答案 1.DA=a1-≥0=(-，1，B={x2≤0=0,2则AnB=0.. 2.C 选项C对应的双曲线焦点在y轴上且渐近线方程为y=士2x. 3.B AD=AB+BD=AB+3BC=AB+3(AC-AB)=3AC-2AB. 4Dm(一营+a）)=-0osa=音则asa号又ose=1-2n号所以n号-±号 51 5.B显然x≤1，当x=1时，x,x十1x2,2x分别为1,2,1,2，则中位数为)，不符合题意。 当0<1时<<2r<+1,则吃-1，解得号 6.D设正三棱锥P-ABC的底面中心为M,外接球的球心为O,显然球心O在直线PM上. 设正三棱锥P-ABC的高为h,外接球的半径为R,由AB=√3，可得正 三角形AC的面积为×3)产3，所以写×3 4,解得h= .球心0到底面ABC的距离为OM=A-一R,AM=号AD=1,由 R=OM+AM,得R=2一RP+,R=7所以外接球的表面 积为4xR2=9x Γ2 S△AD ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c因为D .cD 2a·CDsin∠BCD =2,所以a=b.由余弦定理可知c2=a2+b2一2 abcos∠ACB,得a2+b2-c2十ab=0, 又c=3,所以a=b=3,则△ABC的面积为2 absin.∠ACB= 33 4· 8.A作出函数f(x)的图象，如图： 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 ·25-209C· 由图可知，fa)=f6)=fc)∈(0,1D,即-c+4∈(0,1).得3<c<4,即2∈(}，号)，由 fa)=fb.即3=623，得a-3a+a-3=0，所以+-号 a+b=3 故。+方+的取值范围为侣) 9.AC设x=a+bi(a,b∈R,b≠0)，由x2=之，可得a2-b2+2abi=a-bi, 1a2-b2=a 所以 2ab=-b, 解得a=号6=士则：=专土号所以：的实部为令：的虚部 为士，：=1，之不可能为纯虚数，故选AC 10.BC由题可得f'(x)=(x2一2.x)m十m.x(x2-2x)m-1(2x一2)=(x2-2x)m-1·[(2n +1)x2-(2m+2)x]. 当m为奇数时，(x2-2.x)m-1≥0，令g(x)=(2m+1)x2-(2m+2).x,g(0)=0,g(2)≠0， 且当x(-.0时，f)>0,当x∈(o.)时，f)<0,当xe( m+号+∞) m+2 时，f'(x)>0,所以x=0是f(x)的极大值点，B正确； 当m为偶数时，f'(x)=(x2-2.x)m-1·[(2m十1)x2-(2m十2).x]=x"(x-2)m-[(2m+ 1x-(2m+2≥0，当x(-)时f>0,当xe(2)时 <0,当x∈(2，十o∞)时，f'(x)>0,所以x=2是f(x)的极小值点，C正确.故选BC 1LABD若点(x,y)在曲线E上，则（一x,一y),(y,x)都满足曲线E的方程，所以曲线E关 于原点对称，且关于直线y=x对称，A选项正确； 易知曲线E关于原点对称，令点(x,y)在曲线E上，且该点在第一象限，则3x2十3y2一2xy 8,因为0<告产所以2十88≤生产，解得+y≤4，当且仅当=y时 2 等号成立，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过2，B选项正确： 由曲线E的对称性可知，当M(x,y)位于第二象限时，3y一x取得最大值，所以3.x2+3y +2xy=8,令t=3y-x,将x=3y-t代人3x2+3y2+2xy=8,可得36y2-20ty+3t2-8 =0,故△=(20t)2一4×36×(3t2-8)≥0，解得t2≤36，即3y-x的最大值为6，C选项 错误； 由题可知A,B两点关于原点对称，不妨设A(x,y)且位于第一象限，则B(一x,一y),3x xy⊥14 +3y2-2xy=8,则1PA1=√(x-1D+(y-1)=V3 十3 -2(x十y),1PB|= v+(-受++2c+.PA1+1PB1=号+登+ 3 3 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 ·25-209C· √+-+=智++2 4.xy240 28+ 3 0x1100=4x义+ 9 3 2,√（罗-智+婴+9智=16，所以PA1+PB1=A为定值，D选项正确 33 3 12.3因为g(3)=1,所以f(3)+2=1,即f(3)=-1,因为f(.x)是奇函数，所以f(-3)=1, 故g(-3)=f(-3)+2=3. 1B10因为x∈[至]，所以r+晋∈[+吾号+]， 又fx)在[子，]上单调递减.设1=r+答，所以y=sin1在[型+吾·号+]上单调 型+>受+2 4+6k≥1， 递减，所以 k∈Z,解得号+8k<u<4+6k,所以 +6≥号+8 解得 +<3+2k 362 长k<学当=0时w∈[子小，当k=1时∈[登，10]，故w的最大值为10， 14.174考虑出现子序列1221时，可能出现的位置有6个，依次对应的序列放入集合A1, A2,…,A6中(1221 KXXXX,X1221XXXX,XX1221XXX,,KXXXX1221),记A:|为 集合A,中元素的个数，则A,=2=32(i=1,2,3,…,6),再考虑重复的序列，1A,∩A+1 =0(i=1,2,3,…,5),A,∩A+2=0(i=1,2,3,4),A,∩A+3|=22=4(i=1,2,3),A ∩A+4|=2=2(i=1,2),|A,∩A=2,任意多于2个集合的交集均为空集，所以含有连 续子序列1221的数学序列有6×32-3×4一2×2一2=174个. 15.解：(1)零假设为H。:市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况无关联. 根据列联表中的数据，得X:=100X(40×30一20×10)25 50×50×60×40 3 ≈16.667>10.828=xo.o1 …4分 根据小概率值α=0.O01的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001.…6分 (2)根据分层随机抽样的知识可知，随机抽取的6名市民中喜欢骑“共享单车”的人有4名， 不喜欢骑“共享单车”的人有2名，…7分 所以随机变量X的所有可能取值为0,1,2，……8分 P(X=0)= CC P(X=2)= 8 C_2 C C%5 所以X的分布列为 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 ·25-209C· X 0 1 2 1 2 15 11分 所以E(X)=-0x+1是+2号-号 13分 16.解法一：(1)因为在直四棱柱ABCD-AB,C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形， 所以以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，则A(2,0,0),B(2,2,0),E(2,0,4),F(0,2,2), 所以AB=(0,2,0),BE=(0,-2,4),EF=(-2,2,-2).… 2分 m·BE=-2y+4x=0, 设平面BEF的法向量为m=(x,y,之)，则 令x=1,则m= m.EF-=-2x+2y-2x=0, (1,2,1), 4分 易知n=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量， 6分 所以cos(m,n)= 1 √6 6×1 ,即平面BEF与平面ABCD夹角的余弦值 8分 (2)由(1)可得O(1,1,6),B1(2,2,6),BB1=(0,0,6),假设存在满足条件 的点G,设G(2,2,t),所以O=(1,1,t-6),…10分 因为OG/∥伻面BEF,所以m·OG=1+2十t-6=0,解得t=3.… …13分 故当B6=)时，0G/平面BEE。……15分 解法二：(I)延长EF,AC,相交于点H,连接BH,过C作BH的垂线，垂 足为I,连接F. 因为CF⊥平面ABCD,所以∠FIC为平面BEF与平面ABCD的夹 角.… …2分 因为AE/CF.所以得-货则CH=2.…3分 在△BCH中，BH=√CB+CH-2CB·CHcos∠BCH=2V5,· …4分 因为Sa=CB·CHs∠BCH=专BH·CI,所以CI 2 5 …5分 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 ·25-209C· 所以tan∠FIC= 哥=5，故D∠PIC-吾.即平面BEF与平面ABCD夹的余弦值为 6 6 8分 BG 1 2)当BB=2时，OG/平面BEF.…10分 证明过程如下：连接A,C1,取K为EF的中点，连接OK,KB.因为O为A,C1的中点，所 以OK为梯形A,EFC,的中位线，即OK/C,F,且0K-2告=3 …11分 因为BB1CC1,且GB=3,所以OK∥BG,OK=BG, 所以OKBG为平行四边形，所以OG∥KB.…13分 因为OG在平面BEF,KBC平面BEF,所以OG平面BEF.…15分 17.解：)（解法一）油S,=a,1,可得S1=0,1 2 2，“*4**”…1分] 两式相减可得a中1=0+2a 2 ,Qn+2=3am+1,即数列{an}的公比为3.…3分 当n=1时.S,-2号则a,32己，解得a1=1,… 2 …5分 所以an=1X3"1=3"1.…7分 (解法二)设数列{an}的公比为q 当n=1时，a2-1=2S1=2a1,即a19-1=2a1,… 2分 当n=2时，a3-1=2S2,即a1q2-1=2(a1十a1q), …4分 解得a1=1,9=3,… 5分 所以am=a1g"-1=3”-.… …7分 (2)bn=(2-1)an=(2n-1)·3m-1, T.=1+3×3+32×5+…+31·(2-1), 3Tm=3×1+32×3+3×5++3”·(2n-1), 则Tm-3Tm=-2Tn=1+2×(3十32+…+3“-)-3”·(2-1)， 即-27.=1+2x-.ea-1D=1+3-3-3.8m-1D. 解得Tm=1十3”·（一1）.… 10分 由T1一1≤”·入，可得X≥·3 4. (n十1)·3+2 令cn=”·3"1 40一，则a1= 40+7 3n+3 n·3m+1 …11分 Cn An 分 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 ·25-209C· 当1<3时，-1，当0=8时，岂-3-1当≥9时，士3 4n C An 1,所以c1<C2<Cg=C>C6>(6>℃7>…，…13分 所以≥，-智所以入的取值范国为 243 15分 18.解：1)由题可知F(0,号)… 1分 所以0十2×号-2=0，解得p=2,所以E的方程为x2=4. …3分 (2)设A(x1y1),B(x2y2),由题可知F(0,1),C(-2,1), 依题意知直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为y=nx+1. y=.x+1, 由 整理得x2一4n.x一4=0， x2=4y, 则x1十x2=4n,x1x2=一4.… 5分 kc=14 一) +2+2=4,k= X2-2 x2+2x2十24， 因为AC⊥BC,所以-一2.-2 4 7分 4 一1 所以x1x2-2(x1十x2)+4=-16,-4-8n+4=-16, 解得n=2,所以直线AB的方程为2x一y十1=0.…9分 (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m, y=k.x十m, 由 整理得x2-一4k.x一4n=0, x2=4y, 则x1十x2=4k,x1x2=一4n,… 10分 因为A,B在y轴的两侧，所以不妨设x1>0,.x2<0, △=16k2+14m>0, 由 得m>0,k∈R. x1x2=-4m<0, 设切线l1,l2的斜率分别为k1,k2, 又y=,所以y=则，y1,方46：=y14 所以，的方程为y-日-，即y-号-号 4 同理可得：的方程为y一受：一月 41 11分 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】 ·25-209C· x1十x2 2 4 2 由 解得 即Q(1,1）.…12分 2,4 .2 2 2 T1T2 y 4 令y=1.可得M(台+N(+名. MN1=(受+2)-（停+）=-（分）=-（合+易 .0....... 14分 点Q到直线y=1的距离为1-=1十m, …15分 故△QMN的面积为号×1+m)X4VF+m(号+动)=VF+m(2+m+动)≥vm(2 +m十).（当k=0时，等号成立） 令m=,1[0,+∞)，i记f)=+21+},则f)=32-3+2. 令了)>0，则>号，所以)在(0，号)上单调递减，在（停+）上单调递增。 所以0=术停)=l6,故△QMN面积的最小值为16 …17分 19.(1)解：设x1>x2,则f(x1)-f(x2)-(x1-x2)2=(2x+x1)-(2x2+x2)-(x1一x2) =2(x1-x2)(x+x1x2十x)+(x1-x2)-x1-x2 =(x1-x2)(2x十2x1x2十2x+1-x1十x2) =(x-x[x+x)+(x1-2)'+(x+2)》+2]>0. …3分 即f(x1)-f(x2)>(x1-x2)2,所以函数f(x)=2x3十x在区间R上为1级速增函数. …4分 (2)证明：因为函数y=f(x)在区间(0，十∞)上为2级速增函数，所以任意x1,x∈(0， 十+∞)，x1>x2,都满足f(x1)-f(x2)>2(x1-x2)2. 已知n∈N+,令x1=n十1，x2=n,所以f(n十1)-f(n)>2,…6分 故n≥2时，f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+ f(1)>2(n-1)+f(1)=21-1.…9分 (3)解：由题设，令x1-x2=t>0,而f(.x1)-f(x2)=x1e1-x2e>k(x1-x2), 【高三数学·参考答案第7页（共8页）】 ·25-209C· 所以e4心-.曰+e,在i0.网上限立. 12 80*0400*00…0”11分 令g(z)三xe·+e·在xE(0,+∞)上单调递增，则9(a)>g(0)= …14分 令p)=,则p')=-1e」 2 所以在t∈(0,1)上，Φ'(1)<0，即Φ(t)在(0,1)上单调递减， 在t∈(1，十∞)上，Φ'(t)>0,即Φ(t)在(1，十o∞)上单调递增， 所以Φ(t)>Φ(1)=e. 综上，g(xz)>e,故只需k≤e,即k的取值范围为(-o∞，e]. …17分 【高三数学·参考答案第8页（共8页）】 ·25-209C·