1.3 乘法公式讲义2024-2025学年北师大版数学七年级下册

1.3 乘法公式 考点1: 平方差公式 1. 平方差公式:(a＋b)(a－b)＝a2－b2；即两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 2. 平方差公式的推导：(a＋b)(a－b)＝＝a2－b2 3. 注意： 1 公式中的a和b可以是单项式或多项式； 2 等号左边是两个二项式相乘，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b和－b)互为相反数； 3 等号右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方). 4. 平方差公式的常见变形 位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝ 符号变化：(－a－b)(a－b)＝ 系数变化：(2a＋3b)(2a－3b)＝ 指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝ 增项变化：(a＋b＋c)(a－b－c)＝ 5. 平方差公式的几何意义 平方差公式的几何解释： 如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则图中阴影部分的面积是a2－b2； 将图①中的阴影部分拼成一个长方形，如图②所示，这个长方形的长为(a＋b)，宽为(a－b)， 面积为(a＋b)(a－b).因为图①和图②中阴影部分的面积相等，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 练习1. 1. 已知x－y＝1，x＋y＝3，则y2－x2＝ . 2. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. (m－n)(－m＋n) B.( x3－y3) ( x3＋y3) C. (－a－b)(a－b) D. (c2－d2)( d2＋c2) 3. 现对一块正方形花坛进行绿化改造，将其中一边增加2m，其邻边减少2m变成长方形，则该花坛的面积（ ）A.增加2m2 B.减少2m2 C.减少4m2 D.不变 4. 若计算(x＋my)(x＋ny)时能使用平方差公式，则m，n应满足（ ） A. m，n同号 B. m，n异号 C. m＋n＝0 D. mn＝1 5. 如图，若大正方形与小正方形的面积之差为20.则阴影部分的面积是 . 6. 计算： (1)59.9×60.1 (2) (－xy－3)(3－xy) (3) (a＋3)(a－3)(a2＋9) (4) (－7＋a＋b)(－7－a－b) (5) 2152－214×216 (6) 10×1072－10×932 7. 若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是　 　． 8. 若(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)＝xn－1,则n等于 . 9. 若代数式M(3x－y2)＝y4－9x2，那么代数式M为 . 10. 对于任意的正整数n，能整除代数式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的最小正整数是 . 11. 如果(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝63，那么a＋b的值为 . 12. (1) 先化简，再求值：2x(x－2)＋(2－x)(4＋2x)，其中x＝-3； (2)已知a2－2b2＝5，求代数式(a＋b)(a－b)＋(2a＋3b)(2a－3b)的值. 13. 如图为两个正方形组成的图形，两个正方形的边长相差5，阴影部分的面积为 85，则较小正方形的面积是多少? 14. 如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，阴影部分由四个完全相同的等腰梯形组成. (1)请你用两种不同的方法表示阴影部分的面积； (2)此图可以验证的数学公式是什么? 15. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22－02， 12＝42－22，20＝62－42，因此4、12、20都是这种“神秘数”． (1)28和212这两个数是“神秘数”吗？试说明理由； (2)试说明神秘数能被4整除； (3)两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由． 考点2: 完全平方公式 1. 两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。 用式子表示：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2； 2. 完全平方公式的推导： (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2 3. 注意： 1 a、b可以是数，也可以是代数式等； 2 完全平方公式等号右边2ab的符号取决于等号左边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab的符号为“＋”若这两项异号，则2ab的符号为“－”. 4. 完全平方公式的常见变形: 1 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab 2 (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab 3 (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2) 4 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca. 5. 完全平方公式的几何解释 图①中大正方形面积的两种表示方法：S＝(a＋b)2；S＝a2＋2ab＋b2，故(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 图②中阴影部分面积的两种表示方法：S＝(a－b)2；S＝a2－2ab＋b2，故(a－b)2＝a2－2ab＋b2 练习2. 1. 下列多项式不是完全平方式的是( )． A. x2－4x－4 B. ＋m2＋m C. 9a2＋6ab＋b2 D. 4t2＋12t＋9 2. 下列等式不能恒成立的是( )． A. (3x－y)2＝9x2－6xy＋y2 B. (m－n)2＝ m2－mn＋n2 C. (a＋b－c)2＝(c－a－b)2 D. (x－y)(x＋y)(x2－y2)＝x4－y4 3. 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图①)，然后将剩余部分剪拼成一个长方形(如图②)，上述操作能验证的等式是( )． A. (a－b)2＝a2－2ab＋b2 B. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 C. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D. a2＋ab＝a(a＋b) 4. 计算：(1)(m＋2)2(m－2)2(m2＋4)2 (2)(3x－2y＋1)2 (3)5(x－2)( x＋2)－(2x－1)2 (4)(12) 2 (5)292－28×32 5. 已知关于x的二次三项式4x2－mx＋25是完全平方式，则常数m的值为 . 6. 多项式x2－8x＋k是一个完全平方式，则k＝ ． 7. 已知a＋＝5,则a2＋的结果是 ． 8. 若把代数式x2－2x－3化为(x－m)2＋k的形式，其中m，k为常数，则m＋k＝ ． 9. 若9x2＋4y＝(3x＋2y)2＋M ，则M＝ ． 10. 若(x＋2a)2＝x2＋8x－4b，则b的值为 ． 11. 若x＋y＝3， xy＝1，则x2＋y2＝ ． 12. 已知(a＋b)2＝25，a2＋b2＝13，则ab的值为 ． 13. 将图①中的阴影部分拼成图②根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以验证乘法公式 . 14. 当一个正方形的边长增加5cm时，它的面积增加85cm2，则原来正方形的边长是 cm. 15. 如图，长方形ABCD的周长为8，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为10，则长方形ABCD的面积是 16. 若有理数m满足(m－223)2＋(224－m)2＝225，则(m－223)(224－m)＝ ． 17. 先化简，再求值： (1)(2a－5b)2－(2a＋b)(－b＋2a)，其中a＝1，b＝-3. (2)2(x＋2y)(x－2y)－(x＋y)2＋10 y2，其中x＋y＝6，xy＝3 18. 已知a，b满足| a2＋b2－8|＋(a－b－1)2＝0. (1) 求ab的值； (2) 先化简，再求值：(2a－b＋1)(2a－b－1)－(a＋2b)(a－b). 19. 若m≠0，Q＝(m2－m＋1)(m2＋m＋1) ，P＝(m＋1)2(m－1)2.猜想Q与P的大小关系，并证明你的猜想. 20. 有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式： a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， 对于方案一，小明是这样验证的：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 方案二： 方案三： 21. 如图，图①是由 4个相同的白色长方形和1个灰色正方形构成的正方形，图②是由5个白色长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色不规则图形构成的长方形.已知图①②中灰色图形的面积分别为35和102.则每个白色长方形的面积为 . 22. 如图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形. (1)图②中阴影部分的面积为； (2)观察图②，请你写出三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系式: (3)根据(2)中的结论，若x＋y＝－6，xy＝2.75，则(x－y)2＝ ； (4)有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2.试画出一个几何图形，使它的面积能表示(x＋y)( x＋2y)＝x2＋3xy＋2y2. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$