1.2 整式的乘法讲义2024-2025学年北师大版数学七年级下册

1.2 整式的乘法 考点1: 单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 实质：运用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质. 例：2a3·3a2b＝··b＝6a5b · (1)单项式乘单项式的结果是单项式； (2)单项式乘单项式的法则对于三个(或三个以上)单项式相乘同样适用，它的依据是乘法的交换律、结合律和同底数幂乘法的运算性质。 例：－2a3·3a2b·4ab＝(－2×3×4) ·(a3·a2·a) ·(b·b)＝－24a6b2 练习1. 1. 计算：(1)4a3b·ab＝ ； (2) －2a2·(－5b2)＝ ； (3)(3a2) 3·(－2ab2)2＝ ；(4) (－2n)3·m2n＋mn3·(－3mn)2＝ . 2. 若a5·am·b3n＝a8b12，则m＝ ，n＝ . 3. 若( )·2a2b4＝10a5b9，则括号内应填的单项式是 . 4. 已知小明家有个空房间，爸爸想将其铺上边长为n米的正方形地砖，经过测量得房间的宽需要6块地砖，长需要8块地砖，则这个空房间的面积为 平方米. 5. 如果三角形的一边长为6ab2，这条边上的高为a2bc，则这个三角形的面积为 . 6. 一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作了8×102秒，共可做 次运算.(用科学记数法表示) 7. 已知－2xmy2与4x2y n+1的积与－x4y5是同类项，则mn的值为 . 8. 计算：m2n-2·4m-3n3＝ . 9. 若1＋2＋3＋…＋n＝m，且ab＝1，m为正整数，则(ab n)( a2b n-1) …( a n-1b2) (a n b) ＝ . 10. 先化简，再求值：(－a2b) 3·18a2b＋(3a4b2)·(－2a2b) 2，其中a＝2，b＝-3. 11. 若三角表示3abc，方框表示－4xywz，求的值. 12. 若(2×105)×(a×10 n)＝102n+1(n为整数)，1≤a <10，求a和n的值. 考点2: 单项式与多项式相乘 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加(乘法分配律的应用) 字母表示：m(a+b+c)＝ma+mb+mc(m，a，b，c都是单项式) 步骤：(1)利用乘法对加法的分配律，转化为单项式乘单项式；(2)将单项式与单项式相乘的结果相加. · (1)法则中“每一项”的含义是不重不漏； (2)在运算过程中，要注意各项的符号，多项式中的每一项都包括它前面的符号； (当项的符号为“－”时，一定不要漏掉“－”) (3)非零单项式与多项式相乘的结果仍是一个多项式； (4)积的项数与因式中多项式的项数相同. 例：2a(a2－3a3b) ＝2a·a2＋2a·(－3a3b) (单项式分别乘多项式中的每一项) ＝2a3－6a4b 练习2. 1. 下列运算中不正确的是( ) A．3xy－(x2－2xy)＝5xy－x2 B．5x(2x2－y)＝10x3－5xy C．5mn(2m＋3n－1)＝10m2＋15mn2－1 D．(ab) 2·(2ab2－c)＝2a3b4－a2b2c 2. 要使x(x＋a)＋3x－2b＝x2＋5x＋4成立，则a，b的值分别是 ． 3. 计算：x(y－z)－y(x－z)＋z(x－y)＝ . 4. 数学课上，老师讲了单项式乘以多项式.放学回到家,小明拿出课堂笔记复习,发现一道题： －3xy(7y－5x－1)＝－21xy2＋15x2y＋●，●的地方被钢笔水弄污了，你认为●内应填写 . 5. 某同学在计算－3x乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是x2－x＋1，由此可以推断正确的计算结果是 . 6. 若三角形的底边为2n，对应的高为 2n－1，则此三角形的面积为 . 7. 若(y2－ky＋4y) ·(－y) 的展开式中不含y2项，则k的值是 . 8. 已知2a(a2－m)＋3a＋n＝2a3－5a－4对任意实数a都成立，则(3－2m) n的值为 . 9. 若5m＝6，6n＝5，则 2m(3m－n)－m(2n＋6m)＋3 的值为 . 10. 已知计算(5－3x＋mx－6 x3)·(－2x2)－x(－3x2＋nx－1)的结果中不含x4和x2项，求m，n的值. 11. 化简求值：3x2(2x2－x＋1)－x(3x3－4x2＋2x)，其中x＝-2. 12. 解下列各方程． (1)2y(y＋1)－y(3y－2)＋2y2＝y2－2 (2)5(x2＋x－3)－4x(6＋x)＋x(－x＋4)＝0 13. 如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为(2a＋6)米和2a米，高为b米. (1)求水渠的横断面的面积； (2)如果水渠长100米，那么该水渠可以蓄水多少立方米? 14. 如图是某地砖厂新设计的一款长方形地砖(单位：cm).根据图中所标数据，解决下列问题： (1)阴影部分的面积为 cm2； (2) 已知制作空白部分和阴影部分的成本分别是3元/ cm2，8元/ cm2，求制作一块这样的地砖的成本是多少元? 考点3: 多项式与多项式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 式子表示：(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn(m，n，a，b都是单项式) · (1)必须做到不重不漏，计算时按一定的顺序； (2)不要漏乘不含字母的项； (3)多项式与多项式相乘，积仍是多项式，在没合并同类项之前，所得积的项数应为两个多项式的项数之积； (4)相乘时应先确定积中每一项的符号； (5)多项式与多项式相乘时,结果中如有同类项要合并。 例：(3x2－2y)·(5a－3b3) ＝3x2·5a＋3x2·(－3b3)＋(－2y) ·5a＋(－2y) ·(－3b3) (用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项) ＝15ax2－9b3x2－10ay＋6b3y 练习3. 1. 计算：(1)(3x2－y)(x＋4y)＝ . (2) (－7x2－8y2)(－x2＋3y2) ＝ . (3)3x(x2－2)( x2＋5)＝ . (4) m(m＋5)－(m－3)(m＋2)＝ . 2. 若(x＋a)(x＋3)＝x2＋bx＋6，则ab＝ . 3. 若A＝3x－2,B＝1－2x,C＝－5x2，则C·B＋A·C＝ . 4. 已知三角形的底边为(6a－2b)，高是(3a2＋b)，则三角形的面积是_____ ____. 5. 已知(x－2)(x2＋mx＋n)的乘积项中不含x2项，则m的值为 . 6. 若P＝(x－2)(x－3)，Q＝(x－1)(x－4), 则P与Q的大小关系是 . 7. 设M＝(x＋3)(x＋7), N＝(x＋2)(x＋8),则M与N的关系为 . 8. 若规定符号的意义是:,当m2－2m－3＝0时, 的值为___________. 9. 现有一长方形地块，长比宽多20米，若将长增加10米，宽缩短5米，则所得长形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为 米. 10. 如图所示的是一房子的平面图,下列式子中不能表示它的面积的是( ) A. a2＋5a＋15 B. (a＋5)(a＋3)－3a C. a(a＋5)＋15 D. a(a＋3)＋a2 11. 有这样一道题：“计算：(4x－a)(2x＋5a)”小明同学在解题时错误地把第一个多项式中的“－”写成了“＋”，得到的结果为8x2＋bx＋15. (1)求a，b的值； (2)请你写出这道整式乘法题的正确运算结果. 12. 如图，某市有一块长为(2a＋b)米，宽为(a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)试用含a,b的代数式表示绿化的面积是多少平方米? (2)若a＝3，b＝2,请求出绿化面积． 13. 为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为(a＋4b)米，宽为(a＋3b)米的长方形，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区. (1)用含a，b的式子分别表示出小路的面积S1，和种植区的总面积S2；(结果化为最简形式) (2)若a＝2, b＝4,求出此时种植区的总面积S2. 14. 如图所示的是某学校操场一角,在长为(3a＋5b)米，宽为(4a－b)米的长方形场地中间，有并排两个大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边沿的距离都为b米. (1)求这两个篮球场的占地面积； (2)若篮球场每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价为50元，求整个长方形场地的造价. 15. 如图，一个长方体的长、宽、高分别为(x＋1)cm，xcm，(x＋2)cm.若长宽高分别增加xcm，1cm，减少1cm．新长方体的表面积与原来相比增加了多少? 16. 当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式． 例如，由图1，可得等式：(a＋2b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2． (1)由图2，可得等式：　 　． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值； (3)利用图3中的纸片(足够多)，画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)(a＋2b)； (4)小明用2 张边长为a的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为　 　． 17. 如图所示：有边长为a的正方形A类卡片、边长为b的正方形B类卡片、长和宽分别为a、b的长方形C类卡片各若干张，如果要拼一个边长分别为(2a＋b)、(a＋3b)的大长方形（不重叠无缝隙），那么需要A类卡片 　　 张，B类卡片　　 张，C类卡片　　 张，并请画出一种拼法．（每类卡片至少使用一张，并在画图时标注好每类卡片的类型及边长） 18. 小明想把一长为60cm，宽为40cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形． (1)若设小正方形的边长为xcm，求图中阴影部分的面积； (2)当x＝5时，求这个盒子的体积． 19. 如图，长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB＝(2a＋6b)米，BC＝(8a＋4b)米. (1)长方形ABCD的面积是多少平方米? (2)若E为AB边的中点，DF＝BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，这片草坪的面积是多少平方米? 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$