第9章 平面向量 章末题型归纳总结（5知识点+12题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

第9章 平面向量 章末题型归纳总结 向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． ①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确； 对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误； 对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确. 故选：C 向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C. 平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 已知是两个不共线的向量，，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以存在实数，使得， 即， 又因为不共线， 所以 解得． 故选：A 平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， （多选题）已知向量，，满足，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】对于A，，，，所以，故A错误； 对于B，，，当时，，即，故B正确； 对于C，，由，可得，即，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D错误， 故选：BC. 平面向量的数量积 1、平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 2、平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 3、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 4、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 5、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） （多选题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 【答案】AC 【解析】因为，且|，所以， 则，则，故A正确； 因为，所以与不垂直，故B错误； ，又向量夹角， 所以a与b的夹角为，故C正确，D错误. 故选：AC. 向量的线性运算 【例1】化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【解析】（1）原式； （2）原式． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【变式1-2】化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【解析】（1）； （2）； （3）. 【变式1-3】化简： (1)； (2)； (3) 【解析】（1）； （2）； （3）. 【解题方法总结】 解决向量线性运算问题的基本方法：向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先原则，将相同的量看作“同类项”进行合并．要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律．向量的线性运算也可以通过方程形式来考查，把所求向量当作未知量，利用解方程（组）的方法求解． 用已知向量表示相关向量 【例2】如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【变式2-1】如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，为线段的中点， 则 ． 故选：D． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 【变式2-3】如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意有： 故选：B. 【解题方法总结】 用已知向量表示其他相关向量式解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解． 向量共线的判断与求参 【例3】已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与共线，所以存在实数使得，， 所以，即． 因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得， 故选：C． 【变式3-1】已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，设，则， 即，解得， 故选：C. 【变式3-2】已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B 【解题方法总结】 一般地，解决向量，共线求参问题，可用两个不共线向量（如，）表示向量，，设，化为关于，的方程，由于，不共线，则，解方程组即可． 利用向量共线解决三点共线问题 【例4】三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【解析】（1）如图， （2）因为E为的中点，D为边上靠近点B的三等分点， 所以， 则， 所以； . （3）因为， 所以， 所以，即， 所以， 又因为有公共点， 所以三点共线. 【变式4-1】如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【解析】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 【变式4-2】如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.    (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 【解析】（1） . （2）因为， 且由（1）知，所以， 所以，又C为公共点，所以M，N，C三点共线. 【变式4-3】如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点． (1)记向量，，试以向量，为基底表示，； (2)若，求m，n的值； (3)求证：A，G，H三点共线． 【解析】（1）因为在中，E，H分别是AD，BC的中点，， 所以， ． （2）由（1）知，， 所以， 因为，所以，解得； （3）， 设，，则 ， 又， 所以，解得，所以， ∴， ∴，即A，G，H三点共线． 【解题方法总结】 1、证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理的应用是关键； 2、若三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据． 三点共线定理（鸡爪定理）的应用 【例5】如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 因为E是BD的中点， 所以 ； （2）由，，得，， 因为，， 所以， 因为F，G，H三点共线，所以， 则 当且仅当时， 即时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式5-1】如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【解析】（1）因为是边边上中线，，所以. 又是的中点，， 所以. 因为三点共线，所以且 所以，即为定值； （2）由（1） 所以 ， 当且仅当,即时，等号成立. 所以时，的最小值. 【变式5-2】如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【答案】/ 【解析】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 【变式5-3】如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【解析】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取最小值. 【解题方法总结】 已知平面内四点，其中三点共线，且，则，反之也成立． 向量数量积的运算 【例6】在中，，，点O是的外心，则 ． 【答案】/ 【解析】 如图所示，分别为边中点，则 易知， 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以. 故答案为： 【变式6-1】已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 . 【答案】 【解析】如图，设与交于点，过点作的平行线交于点.因为， 所以，所以， 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以，且，所以在上的投影向量为， 所以. 故答案为： 【变式6-2】在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 【答案】 【解析】如图所示，在平行四边形中，连接，交于点， 则. 故答案为：. 【变式6-3】已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量），，则 . 【答案】 【解析】因为向量在方向上的投影向量为，所以， 又，， 所以. 故答案为：. 【解题方法总结】 解决平面几何图形中向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量是指具有特殊夹角或已知长度的向量．对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征． 平面向量范围与最值问题 【例7】如图所示，在中，，点D，E分别在AB，AC上且满足，P为线段DE上一动点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 【解析】（1）因为，. 因为三点共线，可设（）. 所以， 又，所以， 所以. （2）由题意知：，，. （）. 当时，取得最小值，为：. 【变式7-1】已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 【答案】且 【解析】若，的夹角为钝角，则，且与不平行， 即，且，求得且， 故答案为： 且. 【变式7-2】设是单位向量，且，则的范围为 【答案】 【解析】由可得，， 即， 从而， 又是单位向量，所以， 设，， 则 ， 当与同向时，取得最小值， 当与反向时，取得最大值， 故答案为：. 【变式7-3】已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【解析】当单位向量，…，方向相同时， 取得最大值， ； 当单位向量，…，首尾相连时，， 所以的最小值为. 故答案为：； 【解题方法总结】 平面向量范围与最值问题，关键在于掌握向量的基本性质和运算。通过构建向量方程，利用向量的模、数量积等性质，结合几何意义或不等式求解。同时，要注意向量的共线、垂直等特殊情况，综合多种方法求解最值． 利用数量积求向量的模长 【例8】已知，为相互垂直的单位向量，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解析】因为向量，满足，，， 所以， 则 故选：C 【变式8-1】已知，，，则等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 即，所以， 则. 故选：A. 【变式8-2】若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，且，间的夹角为， ∴. 故选：C. 【变式8-3】已知向量满足，且，则（   ） A． B．2 C．10 D． 【答案】A 【解析】因，且，则， 故. 故选：A. 【解题方法总结】 （1）解决向量模长常利用模的平方与数量积的联系求解； （2）利用或，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 利用数量积求向量夹角 【例9】已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】单位向量满足，则， ，， 所以. 故选：A 【变式9-1】已知向量，，满足，，则（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】由题意，， 由得， 即，所以， 设与的夹角为， 所以， 又，所以. 故选：C 【变式9-2】已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 又，所以， 又， 所以向量与夹角的正弦值为. 故选：D. 【变式9-3】已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设非零向量，的夹角为， 所以在向量方向上的投影向量为， 又，所以， 所以与夹角的余弦值为. 故选：. 【解题方法总结】 求向量与夹角的思路： （1）求向量夹角关键时计算及，在此基础上结合数量积的定义或性质计算，最后借助，求出的值． （2）在个别含有，的等量关系式中，常利用消元思想计算的值． 利用数量积解决垂直问题 【例10】已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【解析】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 【变式10-1】已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【解析】（1）因为，，， 所以，则. （2）若与垂直，则， 从而，解得：. 【变式10-2】已知，. (1)若，求； (2)若与垂直，求当为何值时，? 【解析】（1）， ， 所以； （2）因为与垂直， 所以，即， 解得， 当时，， 即， 得，解得， 所以当时，. 【变式10-3】已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值. 【解析】（1）因为， 所以，故， 又， 所以， （2）因为， 所以，又， 所以， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 因为， 又，，， 所以. 【解题方法总结】 两个非零向量垂直的充要条件：． 求平面向量的投影向量 【例11】已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【答案】1 【解析】因为单位向量，满足， 可得：，也即 则， 则向量在向量上的投影向量的模为. 故答案为：1 【变式11-1】已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【解析】依题意，，， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 【变式11-2】已知，，，则向量在向量的方向上的投影向量为 ． 【答案】 【解析】因为向量，夹角为30°，，， 所以向量在向量的方向上的投影为， 故答案为：． 【变式11-3】已知向量与是非零向量，且满足与的夹角为120°，，则在上的投影向量为 ； 【答案】 【解析】根据题意可得， 再由投影向量定义可得在上的投影向量为： 故答案为： 【解题方法总结】 1、求一个向量在另一个向量方向上的投影向量时，首先要根据题意确定向量的模及两个向量的夹角，然后代入公式计算即可． 2、设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 平面向量的实际应用 【例12】一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为 . 【答案】 【解析】解析设船的速度为，水流速度为，则船的实际航行速度为， 于是有， 所以，则经过2h，船的实际航程为. 故答案为：. 【变式12-1】如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ． 【答案】 【解析】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短． 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间． 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要． 故答案为：. 【变式12-2】若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】如图以和的公共起点为原点，以的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系． 设， 因为且与的夹角为， 可得， 所以． 因为三个力作用于同一点，且处于平衡状态， 所以， 即，则， 所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以， 所以与的夹角为． 故答案为：. 【变式12-3】在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【解析】对于①，当与方向竖直向上时，的最小，此时，所以①正确； 对于②，当时，，，所以②正确； 对于③，当时，，，所以③正确； 对于④，由，当越大时，越小，越大，越费力，所以④错误． 故答案为：①②③． 【解题方法总结】 平面向量的实际应用广泛，如物理中的力、速度、加速度分析，工程中的位移与方向计算，以及图形学中的变换与渲染。关键在于理解向量概念，运用向量运算解决实际问题，实现向量与具体情境的有机结合． 一、单选题 1．已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，设， 则，即，解得， 建立平面直角坐标系，如图所示． 设，，， 则，，，，， 因为，所以， 则， 所以的最大值为． 故选：C． 2．已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 所以， 向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 3．古代中国的太极八卦图是在一个圆中，以圆心为界，画出的两个全等的阴阳鱼．阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物之间互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的“矛盾对立统一”的辩证法．图2（正八边形）是从图1（八卦模型图）抽象出来，并以正八边形的中心O为旋转中心顺时针旋转22.5°而得到，点P在正八边形的边上运动，若，则的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， ， 由于，结合正八边形的对称性。 可知当P点位于线段上时，才会取到最大值； 不妨设P点在线段上，设，即， 则， 则， 即，则， 即，当时，取到最大值， 故选：D． 4．如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，故以为坐标原点，OC，OA所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 因为， 所以， 即则所以. 故选：A 5．已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设向量，的夹角为.因为，则， 所以，则，解得，所以. 故选：C. 6．已知，，则（    ） A．8 B． C．28 D．32 【答案】C 【解析】. 故选：C. 7．在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 8．已知，是两个不共线的平面向量，向量，（λ，μ∈R），若∥，则有（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为∥，所以设＝k， 因为，(λ，μ∈R)，所以， 即， 由，不共线可得，所以. 故选：C. 二、多选题 9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ） A．若，则 B．非零向量满足，则与的夹角为 C．非零向量和满足，，则 D．的外接圆的圆心为，若，且，则向量在向量方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】A选项，， 故或，或， A错误； B选项，设，，则， 又，故为等边三角形， 又，四边形为平行四边形， 所以四边形为菱形， 由此可确定与的夹角为，B正确； C选项，，， 故， 又，故，，故C正确； 对于D，，为中点，又为外接圆圆心，， ，为等边三角形，，， 在方向上的投影数量为：， 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：BCD 10．已知与夹角为，若且，，则的可能值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】CD 【解析】由，则， 整理可得，由，当且仅当时取等号， 则，解得，所以， 由，则选项AB错误，选项CD正确. 故选：CD. 11．下列命题正确的是（    ） A．若向量共线，则必在同一条直线上 B．若为平面内任意三点，则 C．若点为的重心，则 D．已知向量，若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，若向量 ，共线， 只需两个向量方向相同或相反即可， 则A, B, C, D不必在同一直线上，故A错误； 对于B，由向量线性运算性质知，故B正确； 对于C，若点G为的重心， 设AB中点为M，则， 由重心性质知， 所以，故C正确； 对于D，因为向量， 所以， 化简得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为 ． 【答案】 【解析】如图所示： 连接FB，在中，，即， 所以，在中，， 所以， 在中，，则， 因为， 所以，则，所以， 故答案为： 13．已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】与的夹角为锐角， ， ，解得. 当时，，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，的取值范围为且，即. 故答案为： 14．已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 【答案】/ 【解析】如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，则， 又，过作于，易知，所以, 得到，设， 则，所以， 故答案为：. 四、解答题 15．已知，，与的夹角.求： (1)在方向上的投影向量； (2)； (3). 【解析】（1）在方向上的投影向量为. （2） . （3） . 16．在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足延长线交于点N，求k的值. 【解析】（1）M是所在平面内一点，延长至使. ，， 连接，因为向量和向量平行且模相等，则四边形是平行四边形. 由于，所以，又，所以， 在平行四边形中，，所以与的面积之比为. （2），. 设，，， ，， ， 又， ，解得. 所以. 17．如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【解析】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 45 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 平面向量 章末题型归纳总结 向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． ①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ） A． B． C． D． 平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 已知是两个不共线的向量，，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， （多选题）已知向量，，满足，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 平面向量的数量积 1、平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 2、平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 3、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 4、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 5、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） （多选题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 向量的线性运算 【例1】化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【变式1-3】化简： (1)； (2)； (3) 【解题方法总结】 解决向量线性运算问题的基本方法：向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先原则，将相同的量看作“同类项”进行合并．要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律．向量的线性运算也可以通过方程形式来考查，把所求向量当作未知量，利用解方程（组）的方法求解． 用已知向量表示相关向量 【例2】如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2-1】如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【变式2-3】如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 【解题方法总结】 用已知向量表示其他相关向量式解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解． 向量共线的判断与求参 【例3】已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式3-1】已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【解题方法总结】 一般地，解决向量，共线求参问题，可用两个不共线向量（如，）表示向量，，设，化为关于，的方程，由于，不共线，则，解方程组即可． 利用向量共线解决三点共线问题 【例4】三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【变式4-1】如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【变式4-2】如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.    (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 【变式4-3】如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点． (1)记向量，，试以向量，为基底表示，； (2)若，求m，n的值； (3)求证：A，G，H三点共线． 【解题方法总结】 1、证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理的应用是关键； 2、若三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据． 三点共线定理（鸡爪定理）的应用 【例5】如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 【变式5-1】如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【变式5-2】如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【变式5-3】如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【解题方法总结】 已知平面内四点，其中三点共线，且，则，反之也成立． 向量数量积的运算 【例6】在中，，，点O是的外心，则 ． 【变式6-1】已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 . 【变式6-2】在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 【变式6-3】已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量），，则 . 【解题方法总结】 解决平面几何图形中向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量是指具有特殊夹角或已知长度的向量．对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征． 平面向量范围与最值问题 【例7】如图所示，在中，，点D，E分别在AB，AC上且满足，P为线段DE上一动点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 【变式7-1】已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 【变式7-2】设是单位向量，且，则的范围为 【变式7-3】已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 【解题方法总结】 平面向量范围与最值问题，关键在于掌握向量的基本性质和运算。通过构建向量方程，利用向量的模、数量积等性质，结合几何意义或不等式求解。同时，要注意向量的共线、垂直等特殊情况，综合多种方法求解最值． 利用数量积求向量的模长 【例8】已知，为相互垂直的单位向量，则（    ） A．2 B． C． D．4 【变式8-1】已知，，，则等于（    ）. A． B． C． D． 【变式8-2】若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知向量满足，且，则（   ） A． B．2 C．10 D． 【解题方法总结】 （1）解决向量模长常利用模的平方与数量积的联系求解； （2）利用或，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 利用数量积求向量夹角 【例9】已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知向量，，满足，，则（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式9-2】已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 求向量与夹角的思路： （1）求向量夹角关键时计算及，在此基础上结合数量积的定义或性质计算，最后借助，求出的值． （2）在个别含有，的等量关系式中，常利用消元思想计算的值． 利用数量积解决垂直问题 【例10】已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【变式10-1】已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【变式10-2】已知，. (1)若，求； (2)若与垂直，求当为何值时，? 【变式10-3】已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值. 【解题方法总结】 两个非零向量垂直的充要条件：． 求平面向量的投影向量 【例11】已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【变式11-1】已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 ． 【变式11-2】已知，，，则向量在向量的方向上的投影向量为 ． 【变式11-3】已知向量与是非零向量，且满足与的夹角为120°，，则在上的投影向量为 ； 【解题方法总结】 1、求一个向量在另一个向量方向上的投影向量时，首先要根据题意确定向量的模及两个向量的夹角，然后代入公式计算即可． 2、设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 平面向量的实际应用 【例12】一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为 . 【变式12-1】如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ． 【变式12-2】若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 【变式12-3】在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 【解题方法总结】 平面向量的实际应用广泛，如物理中的力、速度、加速度分析，工程中的位移与方向计算，以及图形学中的变换与渲染。关键在于理解向量概念，运用向量运算解决实际问题，实现向量与具体情境的有机结合． 一、单选题 1．已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．古代中国的太极八卦图是在一个圆中，以圆心为界，画出的两个全等的阴阳鱼．阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物之间互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的“矛盾对立统一”的辩证法．图2（正八边形）是从图1（八卦模型图）抽象出来，并以正八边形的中心O为旋转中心顺时针旋转22.5°而得到，点P在正八边形的边上运动，若，则的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A．8 B． C．28 D．32 7．在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知，是两个不共线的平面向量，向量，（λ，μ∈R），若∥，则有（　 　） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ） A．若，则 B．非零向量满足，则与的夹角为 C．非零向量和满足，，则 D．的外接圆的圆心为，若，且，则向量在向量方向上的投影向量为 10．已知与夹角为，若且，，则的可能值为（   ） A．2 B． C． D．1 11．下列命题正确的是（    ） A．若向量共线，则必在同一条直线上 B．若为平面内任意三点，则 C．若点为的重心，则 D．已知向量，若，则 三、填空题 12．我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为 ． 13．已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为 . 14．已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 四、解答题 15．已知，，与的夹角.求： (1)在方向上的投影向量； (2)； (3). 16．在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足延长线交于点N，求k的值. 17．如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$