第9章 平面向量 章末题型归纳总结（基础篇）（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

第9章 平面向量 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：向量的线性运算 题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用 题型三：向量的数乘运算 题型四：向量的数量积运算 题型五：向量的模、向量的夹角 题型六：向量的投影、投影向量 题型七：平面向量的实际应用 题型八：平面向量范围与最值问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点3：平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 知识点5：平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 知识点6：数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 知识点7：数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 知识点8：数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 【典型例题】 题型一：向量的线性运算 【例1】在中，为边上的中线，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，是的中点.若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，点、在边上，，设，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ）    A． B． C． D． 题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用 【例2】如图，中，，D是AC的中点，，AB与DE交于点M． (1)用表示﹔ (2)设，求的值； 【变式2-1】如图所示，在中，为边上一点，且.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）. (1)用，表示； (2)若，，求的最小值. 【变式2-2】如图，在中，是的中点，．    (1)若，，求； (2)若，求的值． 【变式2-3】如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. (1)若，求的值； (2)设，，，，求的值； 题型三：向量的数乘运算 【例3】已知向量不共线，且．若三点共线，则实数 ． 【变式3-1】设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行的充要条件是 ． 【变式3-2】化简：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【变式3-3】设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 ． 题型四：向量的数量积运算 【例4】在边长为3的等边三角形中，，则（    ） A． B． C． D．- 【变式4-1】已知向量，满足， ，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式4-2】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【变式4-3】已知边长为2的正方形中，与交于点，则（   ） A．2 B． C．1 D． 题型五：向量的模、向量的夹角 【例5】已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【变式5-1】已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值. 【变式5-2】已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式5-3】已知两个平面向量与的夹角为，且，，记，． (1)若，求实数的值； (2)若，与的夹角为，求． 【变式5-4】已知. (1)求与的夹角； (2)若向量为在上的投影向量，求. 题型六：向量的投影、投影向量 【例6】已知向量，，. (1)若向量，求向量与向量的夹角的大小： (2)若向量，求向量在向量方向上的投影向量的坐标. 【变式6-1】设，，． (1)求与的夹角； (2)求在方向上的投影向量．（结果用坐标表示） 【变式6-2】已知向量，满足，，． (1)求向量与向量的夹角． (2)求向量在向量方向上的投影向量的模． 【变式6-3】已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)，，求的值； (3)若在方向上的投影向量为，求的最小值． 题型七：平面向量的实际应用 【例7】红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 【变式7-1】小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【变式7-2】已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则对冰球所做的功为（    ）    A． B． C．17 D．10 题型八：平面向量范围与最值问题 【例8】已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】设是单位向量，且，则的范围为 【变式8-3】在直角梯形中，，，，，是线段上包括端点的一个动点．    (1)若时， ①求的值； ②若，求的值； (2)若，求的最小值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 平面向量 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：向量的线性运算 题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用 题型三：向量的数乘运算 题型四：向量的数量积运算 题型五：向量的模、向量的夹角 题型六：向量的投影、投影向量 题型七：平面向量的实际应用 题型八：平面向量范围与最值问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点3：平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 知识点5：平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 知识点6：数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 知识点7：数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 知识点8：数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 【典型例题】 题型一：向量的线性运算 【例1】在中，为边上的中线，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由为边上的中线，得，又为的中点， 所以. 故选：A 【变式1-1】如图，在中，是的中点.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是的中点，，， 所以 . 故选：C. 【变式1-2】在中，点、在边上，，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由，可得， 则， 又，，所以. 故选：A 【变式1-3】如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故， 则. 故选：A 题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用 【例2】如图，中，，D是AC的中点，，AB与DE交于点M． (1)用表示﹔ (2)设，求的值； 【解析】（1）依题意，. （2）依题意， ，而三点共线，则， 所以. 【变式2-1】如图所示，在中，为边上一点，且.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）. (1)用，表示； (2)若，，求的最小值. 【解析】（1）在中，由， 又，所以， 所以 . （2）因为，又，， 依题意，，所以，， 所以，又，，三点共线，且在线外， 所以有， 所以， 当且仅当，即时取等号. 【变式2-2】如图，在中，是的中点，．    (1)若，，求； (2)若，求的值． 【解析】（1）为中点，， ，. （2），，， 三点共线，，解得：. 【变式2-3】如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. (1)若，求的值； (2)设，，，，求的值； 【解析】（1）因， 所以， 又因为的中点， 所以， 所以，又， 所以； （2）因，，，， 所以，，又因， 所以， 又因，，三点共线， 所以，即. 题型三：向量的数乘运算 【例3】已知向量不共线，且．若三点共线，则实数 ． 【答案】1 【解析】依题意，， 故， 因为三点共线，可设， 则， 所以，解得， 故． 故答案为：1 【变式3-1】设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行的充要条件是 ． 【答案】 【解析】设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行， 则，即，即，解得. 故答案为：. 【变式3-2】化简：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【解析】（1） （2）， （3）， （4）. 故答案为：；；；. 【变式3-3】设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 ． 【答案】-7 【解析】， A，C，D三点共线，设，则， 故，解得. 故答案为：-7 题型四：向量的数量积运算 【例4】在边长为3的等边三角形中，，则（    ） A． B． C． D．- 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以 . 故选：C. 【变式4-1】已知向量，满足， ，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解析】∵， ∴，即 ∴. 故选：D. 【变式4-2】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【解析】如图，过点O作于D，可知， 则 故选: 【变式4-3】已知边长为2的正方形中，与交于点，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题可知，,, 所以 故选：A 题型五：向量的模、向量的夹角 【例5】已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 【变式5-1】已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值. 【解析】（1）因为， 所以，故， 又， 所以， （2）因为， 所以，又， 所以， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 因为， 又，，， 所以. 【变式5-2】已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 【变式5-3】已知两个平面向量与的夹角为，且，，记，． (1)若，求实数的值； (2)若，与的夹角为，求． 【解析】（1）依题意，，由，得， 即，解得， 所以当时，． （2）当时，，，由（1）知，， ， ， 所以． 【变式5-4】已知. (1)求与的夹角； (2)若向量为在上的投影向量，求. 【解析】（1）因为， 所以，即，解得， 设与的夹角为， 则，所以， 故与的夹角为； （2）向量为在上的投影向量， 则， 故 . 题型六：向量的投影、投影向量 【例6】已知向量，，. (1)若向量，求向量与向量的夹角的大小： (2)若向量，求向量在向量方向上的投影向量的坐标. 【解析】（1）因为，所以，即. 所以，. 所以， 又因为，所以向量与的夹角为. （2），. 由得，所以. ，， 令在方向上的投影向量为， 则 . 【变式6-1】设，，． (1)求与的夹角； (2)求在方向上的投影向量．（结果用坐标表示） 【解析】（1）设与的夹角为，， ，， ， ，． 故，解得； （2），， 则，， 故在方向上的投影向量为． 【变式6-2】已知向量，满足，，． (1)求向量与向量的夹角． (2)求向量在向量方向上的投影向量的模． 【解析】（1）， ， ，又，， ， ，又， 向量与向量的夹角为； （2）向量在向量方向上的投影的数量为： ， 所以向量在向量方向上的投影向量的模为：． 【变式6-3】已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)，，求的值； (3)若在方向上的投影向量为，求的最小值． 【解析】（1）因为，，与的夹角为， 所以； （2）因为， ， ， 所以. （3）在方向上的投影向量为， 所以， 当时，的最小值为． 题型七：平面向量的实际应用 【例7】红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 【答案】A 【解析】当红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时， 合速度的方向与合加速度的方向，不在一条直线上，物体做曲线运动， 因为玻璃管水平向右做匀加速直线运动，所以红蜡块在竖直方向运动相同的距离时，向右的运动的距离越来越大， 所以运动轨迹为曲线. 故选：A. 【变式7-1】小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【解析】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 【变式7-2】已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为该物体静止，所以，所以， 又因为，所以， 故选：B. 【变式7-3】冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则对冰球所做的功为（    ）    A． B． C．17 D．10 【答案】C 【解析】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 题型八：平面向量范围与最值问题 【例8】已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得： 且与不共线， 即，解得：且， 所以实数的范围是， 故选：C. 【变式8-1】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A. 【变式8-2】设是单位向量，且，则的范围为 【答案】 【解析】由可得，， 即， 从而， 又是单位向量，所以， 设，， 则 ， 当与同向时，取得最小值， 当与反向时，取得最大值， 故答案为：. 【变式8-3】在直角梯形中，，，，，是线段上包括端点的一个动点．    (1)若时， ①求的值； ②若，求的值； (2)若，求的最小值． 【解析】（1）如图，以为原点，分别以、所在直线为、轴建立平面直角坐标系， 则，，，所以，． ①； ②设，则，， 因为，解得， 所以． （2）因为，设，则， 所以，， 所以，，所以， 所以， 所以当时，最小，最小值为． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$