第04讲 向量应用（4大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第04讲 向量应用 目录 题型归纳 1 题型01 用向量证明线段垂直 3 题型02 用向量解决夹角问题 5 题型03 用向量解决线段的长度问题 7 题型04 向量与几何最值 10 题型05 向量在几何中的其他应用 14 题型06 解析法在向量中的应用 17 题型07 向量在物理中的应用 21 分层练习 24 夯实基础 24 能力提升 32 知识点01三角形的重心 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 知识点02三角形的垂心 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 知识点03三角形的内心 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 知识点04三角形的外心 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心 到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 题型01用向量证明线段垂直 【例1】（21-22高一·全国）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可. 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心. 【答案】答案见解析. 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】根据题意得到，即，同理可得垂直关系，得到答案. 【详解】·＝·，故，即，故； 同理可得：，，故O是的垂心. 【变式2】（20-21高一·全国·课后作业）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】设， ，则且，即可求得，由此即可证明结果. 【详解】证明：设， ． 因为四边形为菱形，所以， 又 则，故． 所以. 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 【答案】证明见解析 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论. 【详解】∵·＝·＝2－2，而， ∴·＝0， ∴⊥，即DE⊥AF. 题型02 用向量解决夹角问题 【例2】（22-23高一下·江苏扬州·期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的方法即可求得看A、的视角最大时该人离此树距离. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设， 则， 则 又，且余弦函数在单调递减， 则当，即时最大. 即该人离此树6米时，看A、的视角最大. 故选：C 【变式1】（21-22高一下·陕西西安·期中）已知，且与夹角为钝角，则的取值范围 . 【答案】且 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】根据与夹角为钝角列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】由于与夹角为钝角，所以， 解得且. 所以的取值范围是且. 故答案为：且 【变式2】（2023高一·全国·专题练习）已知的三个顶点分别为,求的大小． 【答案】120° 【知识点】用向量解决夹角问题 【分析】由向量的数量积求夹角即可. 【详解】由条件可得：， 所以， 所以，所以. 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）求证：直径所对的圆周角为直角. 【答案】证明见解析 【知识点】用向量解决夹角问题、垂直关系的向量表示 【分析】设圆心为，圆半径为，是圆的一条直径，点是圆上不同于，的点，通过计算即可求证. 【详解】解：证明：如图，设圆心为，圆半径为，是圆的一条直径，点是圆上不同于，的一点，则是直径所对的圆周角. 由，，其中， 得. 则，即为直角. 所以直径所对的圆周角为直角. 题型03 用向量解决线段的长度问题 【例3】（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.    则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是6. 故选：D 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为 . 【答案】/1.5 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】作出辅助线，证得△ADE∽△BDC，进而根据相似比即可求出结果. 【详解】如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E. 因为∠ACD=∠BCD=∠AED， 所以||=||. 因为△ADE∽△BDC， 所以， 故||=. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值，以及y取得最大值时x的值． 【答案】当时，函数取得最大值为． 【知识点】向量的模、用向量解决线段的长度问题 【分析】对函数变形后，将问题转化为求两个向量模的差的最大值问题，然后利用向量模的性质求解即可. 【详解】， 可设向量，，则， 所以，当且仅当与同向时，等号成立． 由，解得． 因此，当时，函数取得最大值为． 【变式3】（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【答案】13 【知识点】用向量解决线段的长度问题、向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据已知条件可得四边形ABCD为矩形，从而可求得答案. 【详解】因为在平行四边形ABCD中，，， 所以，，， 因为，，且， 所以，所以， 所以四边形ABCD为矩形，所以， 即． 题型04 向量与几何最值 【例4】（2023高一·全国·专题练习）在平面内，若，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量模的坐标表示、向量与几何最值、坐标计算向量的模 【分析】建立平面直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件求得的取值范围，也即求得的取值范围. 【详解】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，. 由得 则 又由，得，则，即①. 又，得，则； 同理由，得，即有②. 由①②知，所以. 而，所以. 故选：D. 【变式1】（21-22高一·全国·假期作业）已知点是圆：上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】向量与几何最值 【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，再利用向量模的运算性质求得的最大值． 【详解】由，得， 即， 为外接圆的直径，如图所示； 设坐标原点为， 则， 是圆上的动点， ， ， 当与共线时，取得最大值7； 故选：C． 【变式2】（21-22高一下·山东东营·期末）已知在平面内，向量，，，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【知识点】向量与几何最值 【分析】首先设，，，从而得到，，再根据圆的性质分类讨论即可得到答案. 【详解】设，，， 所以，，，. 即. 根据圆的性质，可能出现如下两种圆的图形， 当四点共圆时，此时，, 当三点在以为圆心半径为的圆上时， 综上，，即最大值为，最小值为2， 故答案为：， 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】向量减法的法则、向量与几何最值、向量加法的法则 【分析】（1）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，，得出，然后根据三角形的边的关系可得出，最后得出原不等式成立； （2）共线时，原不等式显然成立；不共线时，可作，得出，然后根据三角形的边的关系得出原不等式成立． 【详解】（1）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，，则，如下图所示：    由图看出， 综上得，； （2）同向时，显然，； 反向时，显然，； 不共线时，作，则，如下图所示：    由图看出，， 综上得，． 题型05 向量在几何中的其他应用 【例5】（21-22高一·全国·课后作业）已知三个不共线的向量满足，则为的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【知识点】垂直关系的向量表示、向量在几何中的其他应用、数量积的运算律 【分析】根据题意和向量加法的平行四边形法则作出几何图形，得到四边形是菱形，根据菱形性质可得在的角平分线上，从而可得出为内心． 【详解】如图所示，在上取点，在延长线上取点，使得， 可得，以为邻边作平行四边形， 则, 因为，所以平行四边形是菱形，所以， 过点作的平行线交于点， 因为，即，所以，所以点在上， 因为，所以， 由菱形的性质可得，所以， 所以为的角平分线，所以在的角平分线上， 同理可得：在的角平分线上，故在的角平分线上， 所以为的内心. 故选：A. 【变式1】（21-22高一·全国·课后作业）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足abc，则G是△ABC中的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】用表示出，结合图形即可得出G在∠BAC的角平分线上． 【详解】解：∵abc， ∴ab（）+c（）， ∴（a+b+c）bc， 即， ∴G在∠BAC的角平分线上， 同理可得：G在∠ABC的角平分线上， ∴G是△ABC的内心． 故选：A． 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为 . 【答案】等腰直角三角形 【知识点】向量在几何中的其他应用、向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】求出向量，计算数量积，计算它们的模后可判断三角形形状． 【详解】由已知，得，， ∴， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形. 故答案为：等腰直角三角形. 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 【答案】证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、向量在几何中的其他应用、平面向量的混合运算 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算及共线向量即可证明． 【详解】证明：因为， 所以且， 所以四边形为梯形． 题型06 解析法在向量中的应用 【例6】（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、解析法在向量中的应用、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算计算即可. 【详解】 如图所示建立平面直角坐标系，设，显然， 所以， 由二次函数的单调性知. 故选：A 【变式1】（21-22高一下·河北邢台·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则 . 【答案】14 【知识点】数量积的坐标表示、解析法在向量中的应用 【分析】建立平面直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可求出结果. 【详解】以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系 则A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4）， 因为点E为BC的中点，且， 所以E（3，2），F（2，4）， 故， 所以 故答案为：. 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 【答案】不存在，理由见解析 【知识点】解析法在向量中的应用、由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，假设在线段上存在点使得，列出方程组求解即可． 【详解】如图所示，以为原点，建立平面直角坐标系，过点作于点， 由题可知，， 所以，假设在线段上存在点使得，则， 由与共线及得，，解得， 因为，所以线段上不存在点使得． 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知均为正数，且．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】解析法在向量中的应用、利用向量垂直求参数 【分析】建立平面直角坐标系，将正数看成位于直线上的点的横纵坐标，得到的坐标，所以解转化为两点间的距离的平方，当时，两点间的距离最小，然后由向量的数量积为零求解最小值证明即可. 【详解】证明：如图，取，， 将正数看成位于线段AB上的点的横纵坐标， 故，所以，设， 所以转化为两点间的距离的平方， 当时，两点间的距离最小， 所以，，， 所以，即，，所以， 所以，时，. 题型07 向量在物理中的应用 【例7】（2023高一·全国·课后作业）某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】速度、位移的合成 【分析】求出石子的落地时间，再计算水平位移的大小． 【详解】设石子的落地时间为，则，解得， 所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小． 故选：B    【变式1】（21-22高一·全国·单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】力的合成 【分析】设两根绳子的拉力分别为，，作，根据题意得到其为矩形求解. 【详解】解：如图所示： 设两根绳子的拉力分别为，. 作，使，. 在中，， 所以， 所以，， 所以， 故两根绳子拉力的大小分别为，. 故选：C. 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）已知力作用于一物体，使物体从移动到，则力对物体所做的功是 . 【答案】1 【知识点】功、动量的计算 【分析】先求出位移，然后利用向量数量积公式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以对物体所做的功为. 故答案为：1 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在倾角为37°、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功． 【答案】答案见详解 【知识点】功、动量的计算 【分析】将重力沿斜面和垂直于斜面分解，分别求出分力，然后可得各力所做功. 【详解】物体受到重力，支持力和摩擦力， 重力，沿斜面向下的分力， 垂直斜面的分力，所以摩擦力大小为， 斜面长为， 所以重力所做功为（焦耳）， 摩擦力所做功为（焦耳）， 支持力所做功为0（焦耳）. 【夯实基础】 一、单选题 1．（20-21高一·江苏·课后作业）人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法运算求解. 【详解】解：由题得v1和 v2都是向量，根据向量的加法运算得逆风行驶的速度为. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 3．（2023高一·全国·专题练习）已知点，则是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据各个点的坐标，求出，根据两个向量的数量积可得为直角三角形，再计算，即可得出结果. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 即，又有， 所以，所以是直角三角形. 故选：C 4．（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，P是线段AB中点，则线段AP长为（    ）． A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】由已知向量求出的坐标，从而可求出，进而可求出线段AP长. 【详解】因为，， 所以， 所以， 因为P是线段AB中点， 所以． 故选：A 二、多选题 5．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（    ） A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小 C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变 【答案】AC 【分析】设水的阻力为，船受到的拉力为 ，与水平方向的夹角为,得到 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】设水的阻力为，船受到的拉力为 ，与水平方向的夹角为, 则 ，故 ，因为不断增大，所以不断减小，故 不断增大，因为 不断增大，所以船受到的浮力不断减小. 故选：AC. 6．（2023高一·全国·专题练习）对于非零向量，，，给出下列结论，其中正确的有（ ） A．若，，则； B．若，则； C．； D． 【答案】AD 【分析】A选项，由非零向量平行的性质得到A正确；B选项，由平面向量运算法则和性质得到时也满足要求；C选项，由三角形性质和平面向量模的意义求解；D选项，利用向量运算法则计算即可. 【详解】A选项，因为，，是非零向量，因此由，，知与，与方向相同或相反， 因此与方向相同或相反，可得，A正确； B选项，，当时也成立，不能得出，B错误； C选项，由三角形的性质，模的几何意义得，C错误； D选项，，D正确． 故选：AD． 三、填空题 7．（24-25高一上·上海·课后作业）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么 . 【答案】 【分析】作表示向西飞行，表示向东飞行，根据向量加法运算和向量模意义可得. 【详解】作表示向西飞行，表示向东飞行， 则，， 所以，所以. 故答案为：    8．（21-22高一·全国·课后作业）已知,,现有动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,另一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,设在时分别在,处,则当时所需的时间为 . 【答案】 【分析】先分别求出、的运动速度大小和方向,再利用表示出、的坐标,带入数量积为,即可求解. 【详解】由题意得,则,与其方向相同的单位向量为,,则,与其方向相同的单位向量为, 如图, 则,, 故,, 又,, ∴,, , ∴. ∵, ∴, 即,解得. 故当时所需的时间为. 故答案为:2 四、解答题 9．（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 【答案】合力的大小为，与所成角的大小为. 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即得. 【详解】如图，以质点为坐标原点，向量所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，，， 于是合力，，，， 所以合力的大小为，与所成角的大小为. 10．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解 【分析】设，，根据平面向量共线定理证明即可． 【详解】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知ABCD是正方形，M是AB边的中点，点E在对角线AC上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据条件得，，然后利用表示出，计算即可. 【详解】证明：如图，， ， ， ， 设， 是正方形， ， ， ， . 12．（23-24高一·上海·课堂例题）用向量方法证明：把一个平行四边形的一个顶点和两条不过此顶点的边的中点分别连线，则这两条连线三等分此平行四边形的一条对角线． 【答案】证明见解析 【分析】可作平行四边形，分别是的中点，分别交于点，然后设，根据三点共线得出，同理可得，即可证明． 【详解】已知：平行四边形，分别是的中点，分别交于点；求证：是的三等分点． 证明：如图，设，， 因为三点共线， 所以，即， 所以，同理可得， 所以是的三等分点． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义及三角形内角性质得，但B、C的大小不定，即可得答案. 【详解】由，即， 又，则，即为锐角， 但不能确定B、C的大小，它们中可能存在钝角或直角或都为锐角. 故选：D 2．（2022高一·全国·专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（   ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【分析】由得，即可得平分， 同理证得平分，平分，即可得出答案. 【详解】且，， 化简得，设，又与分别为和方向上的单位向量， 平分，又共线，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的内心. 故选：C. 3．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期中）如图所示，正六边形的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为（    ） A．[2，6] B．[-2，6] C．[4，12] D．[-4，12] 【答案】B 【分析】以正六边形的中心为原点，所在的直线为轴，的中垂线所在的直线为轴，建立坐标系，利用的运算求解. 【详解】解：建立如图所示的坐标系： 因为正六边形的边长为2， 所以，，， 设， 则， 所以， 由题意可知， 所以， 所以， 即. 故选：B 4．（23-24高一下·广东广州·期末）已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对任意实数恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出，借助，得到，的最小值转化为的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可 【详解】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 由于，如上图，，则 ，则的最小值为． 当且仅当终点在同一直线上时取等号. 故选：B． 二、多选题 5．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）三角形蕴涵大量迷人性质，例如校本第19页有这么一个性质：若点在内部，用、、分别代表、、的面积，则有，现在假设锐角三角形顶点、、所对的边长分别为、、，为其垂心，为三角形外心，、、的单位向量分别为、、．则下列命题正确的有（    ） A．至少存在2022个三角形，使成立 B．存在三角形，使 C．对任意锐角三角形均有成立 D．存在锐角三角形使得 【答案】ABC 【分析】先根据三角形相似得到，在结合已知条件证明出，即可判断C、D； 对于A：取等边三角形，结合选项C的推导证明出，从而可以取2022个边长不等的正三角形，均符合.即可判断； 对于B：在正三角形中，由外心、垂心合一，结合选项A的证明，可以证明出成立，即可判断. 【详解】由可得， 因为，所以 ，可得， 即，同理可得：， 所以， 所以，所以.故C正确，D错误； 对于A：取等边三角形，有，由上面的推导过程可知：，所以，因为，所以. 所以可以取2022个边长不等的正三角形，均符合.故A正确； 对于B：在正三角形中，外心、垂心重合，所以. 而，由A的推导可知，， 所以成立. 即在正三角形中，成立.故B正确； 故选：ABC. 6．（21-22高一上·贵州遵义·期末）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为，水平拉力的大小为，力未知，则（    ） A．当该物体处于平衡状态时，Ν B．当物体所受合力为时，Ν C．当时， D．当时，必存在实数，使得 【答案】ABD 【分析】根据向量的加法与减法的运算法则，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当该物体处于平衡状态时，如图1，此时的合力大小为，方向与重力方向相反，故，正确； 对于B选项，当物体所受合力为时，结合向量加法的平行四边形法则，如图2，，正确； 对于C选项，当时，设重力与水平拉力的合力为，大小为，如图3，当与方向相同时，取得最大值，当与方向相反时，取得最小值，故，错误； 对于D选项，当时，若存在实数，使得，则，其中为力的夹角，所以存在实数，使得，故D正确. 故选：ABD 【点睛】 三、填空题 7．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解. 【详解】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·课后作业）一架飞机向南飞行千米，然后向西飞行千米，则飞机飞行的路程及两次位移的和分别为 . 【答案】路程为180千米，位移的和为“西南方向，千米” 【分析】根据题意画出示意图，再由向量的加减运算，即可得出结论． 【详解】如图，飞机从点向南飞行到达点，然后向西飞行到达点， 则，， 所以飞机飞行的路程为：， 由勾股定理得，飞机飞行的位移为：，方向为西南. 故答案为：路程，位移的和为“西南方向，”. 四、解答题 9．（24-25高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 【答案】该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里. 【分析】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向，利用坐标运算，根据和列方程组求出点坐标，然后利用坐标运算求模和夹角可得. 【详解】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向， 易知A、B、C的坐标分别为，，. 设点D的坐标为，则，， ，. 由已知，且，得 解得 ∴，∴， ∴， 因为，所以. 即该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里.    10．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上不共线的三点、与，求证：的面积． 【答案】证明见解析 【分析】由题得出，，根据向量夹角公式得出，进而得出，从而得出，代入向量坐标化简即可． 【详解】证明：，， 则，， 所以的面积 ． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    【答案】，与M的前进方向夹角的余弦值为 【分析】设合力，则，得出，由数量积的运算律得出，根据及数量积的运算律求出夹角余弦值． 【详解】根据题意，设合力，则，且， 则， 所以 ， 所以， 设， 由，得 所以， 故乙所用的力，与M的前进方向夹角的余弦值为． 13．（21-22高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由推出，即，由推出，两边平方得到，根据不等式知识，结合，可得； （2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，根据平行四边形法则可证结论成立； （ii）延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，将转化为，结合图形可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为点为的外心，所以，即，， 因为，所以， 所以， 设三角形的外接圆的半径为，则， 由得， 所以，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 得，得或. 因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内， 由可知， 再由可知， 所以应舍去，所以， 所以的最大值为. （2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，如图：    因为，所以， 因为，且，所以， 所以，， 所以， 所以， 所以. （ii）延长至，使得，则，以为邻边作矩形， 则，且， 延长至，使得，则，如图：    所以， 所以当三点共线时， 取最小值，最小值为， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得， 所以， 当时， ， 当时， ， 所以，即的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 向量应用 目录 题型归纳 1 题型01 用向量证明线段垂直 3 题型02 用向量解决夹角问题 4 题型03 用向量解决线段的长度问题 5 题型04 向量与几何最值 6 题型05 向量在几何中的其他应用 6 题型06 解析法在向量中的应用 7 题型07 向量在物理中的应用 8 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 12 知识点01三角形的重心 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 知识点02三角形的垂心 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 知识点03三角形的内心 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 知识点04三角形的外心 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心 到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 题型01用向量证明线段垂直 【例1】（21-22高一·全国）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心. 【变式2】（20-21高一·全国·课后作业）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：． 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 题型02 用向量解决夹角问题 【例2】（22-23高一下·江苏扬州·期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（21-22高一下·陕西西安·期中）已知，且与夹角为钝角，则的取值范围 . 【变式2】（2023高一·全国·专题练习）已知的三个顶点分别为,求的大小． 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）求证：直径所对的圆周角为直角. 题型03 用向量解决线段的长度问题 【例3】（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为 . 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值，以及y取得最大值时x的值． 【变式3】（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 题型04 向量与几何最值 【例4】（2023高一·全国·专题练习）在平面内，若，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一·全国·假期作业）已知点是圆：上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（21-22高一下·山东东营·期末）已知在平面内，向量，，，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）试用作图法验证下列不等式： (1)； (2)． 题型05 向量在几何中的其他应用 【例5】（21-22高一·全国·课后作业）已知三个不共线的向量满足，则为的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式1】（21-22高一·全国·课后作业）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足abc，则G是△ABC中的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为 . 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 题型06 解析法在向量中的应用 【例6】（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一下·河北邢台·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则 . 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知均为正数，且．求证：． 题型07 向量在物理中的应用 【例7】（2023高一·全国·课后作业）某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一·全国·单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）已知力作用于一物体，使物体从移动到，则力对物体所做的功是 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在倾角为37°、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功． 【夯实基础】 一、单选题 1．（20-21高一·江苏·课后作业）人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 3．（2023高一·全国·专题练习）已知点，则是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，P是线段AB中点，则线段AP长为（    ）． A． B．1 C．5 D． 二、多选题 5．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（    ） A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小 C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变 6．（2023高一·全国·专题练习）对于非零向量，，，给出下列结论，其中正确的有（ ） A．若，，则； B．若，则； C．； D． 三、填空题 7．（24-25高一上·上海·课后作业）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么 . 8．（21-22高一·全国·课后作业）已知,,现有动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,另一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,设在时分别在,处,则当时所需的时间为 . 四、解答题 9．（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 10．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知ABCD是正方形，M是AB边的中点，点E在对角线AC上，且．求证：． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）用向量方法证明：把一个平行四边形的一个顶点和两条不过此顶点的边的中点分别连线，则这两条连线三等分此平行四边形的一条对角线． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上说法都不对 2．（2022高一·全国·专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（   ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 3．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期中）如图所示，正六边形的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为（    ） A．[2，6] B．[-2，6] C．[4，12] D．[-4，12] 4．（23-24高一下·广东广州·期末）已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）三角形蕴涵大量迷人性质，例如校本第19页有这么一个性质：若点在内部，用、、分别代表、、的面积，则有，现在假设锐角三角形顶点、、所对的边长分别为、、，为其垂心，为三角形外心，、、的单位向量分别为、、．则下列命题正确的有（    ） A．至少存在2022个三角形，使成立 B．存在三角形，使 C．对任意锐角三角形均有成立 D．存在锐角三角形使得 6．（21-22高一上·贵州遵义·期末）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为，水平拉力的大小为，力未知，则（    ） A．当该物体处于平衡状态时，Ν B．当物体所受合力为时，Ν C．当时， D．当时，必存在实数，使得 三、填空题 7．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 8．（24-25高一上·上海·课后作业）一架飞机向南飞行千米，然后向西飞行千米，则飞机飞行的路程及两次位移的和分别为 . 四、解答题 9．（24-25高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 10．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上不共线的三点、与，求证：的面积． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    13．（21-22高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$