精品解析：安徽省淮北市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

淮北一中2024-2025学年高二下学期入学考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理依次判断各选项中的向量是否与向量，共面即可，不共面的则可作为平面的一个基底. 【详解】对于A，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即A错误； 对于B，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即B错误； 对于C，不妨设， 则有，方程组无解，即与向量，不共面，故可构成基底，故C正确； 对于D，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即D错误. 故选：C. 2. 记为等差数列的前项和，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用通项公式表示并化简出已知等式，即可求解结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以， 即， 所以. 故选：C 3. 已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为4，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂径定理和点到直线的距离公式逐项判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为弦长为4，所以圆心到直线的距离， 对于A，，不符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不符合题意； 对于D，，不符合题意； 故选：B 4. 已知，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】由题意可得,， 则，， 在上的投影向量为， 故选：C. 5. 斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【详解】依题意，， ，则点，， 所以拉索所在直线的斜率. 故选：D 6. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用椭圆的定义及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通过余弦定理得到与的关系，即可求出离心率. 【详解】由题意得，，令，则 ∵，∴， 即，∴，, 在△中，， 在△中，， ∴， ∴. 故选：A. 7. 已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】先令求出，当时，利用和两式相除，经过适当的变形得出数列是公差为的等差数列，进而求出，最后解不等式即可得出答案. 【详解】由题意，当时，则， 当时，①可得②，①②得：， 所以数列是公差为的等差数列，故， 令，又，所以的最小值为. 故选：B 8. 已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（ ） A. B. C. D. （2，0） 【答案】B 【解析】 【分析】设直线方程为，，联立方程组结合韦达定理可得，设长轴上的点，可得，可求定点的坐标，验证斜率为0的情况即可. 【详解】椭圆，直线过右焦点， 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，， 由，消去得，， 整理得，所以， 设长轴上的点， 可得， 所以 ， 当且仅当时，即时， 为定值，此时点坐标为， 当直线直线的斜率为0时，，计算可得， 所以在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，且点坐标为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题时主要是由题中一个量（本题是数量积）与参数无关，解决此类问题，关键是要选定一个参数（参数可以是直线的斜率、截距，可以是动点坐标等），使用参数表示题中变化的量，再用这些变化的量表示题中不变的量，求得与参数无关，完成求解． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 若直线与圆相交，弦长最大值为12 C. 直线过定点 D. 当时，直线与圆相切 【答案】AD 【解析】 【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而得到圆心和半径，判断AB两个选项，由直线的方程，令的系数为求得定点，判断C选项，由点到直线的距离判断D选项. 【详解】由圆可化为，故A正确； 弦长最大值为直径，B错误； 由直线方程可化为，则直线过定点，故C错误； 当时，直线即， 圆心到直线的距离，从而直线与圆相切，故D正确． 故选：AD． 10. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. A：， 所以，故A正确； B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，故B正确； C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； D：设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 得，所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（ ） A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为2 B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为 C. 若，则的渐近线方程为 D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意写出直线的方程，与渐近线方程联立求出点的坐标,对于A，由圆的性质得，结合向量数量积坐标运算求得间的等量关系，结合离心率定义求出离心率，；对于B，由三角函数求出，，结合双曲线定义求得的值，由此可求离心率，对于C，由知为线段的中点，求出点的坐标，代入双曲线方程求得的值，由此可求渐近线方程；对于D，由双曲线的定义及余弦定理的推论求出，由条件建立不等式可求的取值范围，再求的取值范围. 【详解】如图，连接， 由题意知直线的方程为，即， 直线与双曲线的渐近线平行， 所以， 则，， 联立方程，解得，即， 对于A，因为以为直径的圆经过点，则， 因为，， 所以， 解得，则的离心率，所以A正确； 对于B，因为以为直径的圆经过点， 则，则，， 所以由双曲线的定义知，可得， 所以的离心率，所以B不正确； 对于C，若，则为线段的中点，所以， 于是由在双曲线上，得，即， 解得，所以， 则的渐近线方程为，所以C正确； 对于D，因为，所以， 由余弦定理的推论得， 即， 解得，因为点不在圆外， 所以，即，解得， 所以的渐近线的斜率的绝对值不大于，所以D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： （1）求出，代入公式； （2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为关于的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________． 【答案】405 【解析】 【详解】 【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列， 13. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】直线恒过点，曲线表示以为圆心、1为半径的上半圆，求出直线与圆相切时的斜率和直线过点的斜率，从而可求出答案. 【详解】对于直线，令可得， 所以直线恒过定点， 由得，即， 即曲线表示以为圆心为半径的上半圆， 设直线与半圆相切与点，则，解得，或（舍去）， 当直线过点时，， 若直线与曲线恰有两个交点， 则实数的取值范围是， 故答案为：. 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解． 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛： 关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，设、、、． （1）设，，求的坐标，并判断、是否平行； （2）求、的夹角，以及、为相邻两边的三角形面积． 【答案】（1），平行； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量共线的坐标表示判断即得. （2）利用向量夹角公式求出夹角，再利用三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由、、、，得， 所以，而，则， 所以、平行. 【小问2详解】 由（1）知，，，，， 因此，而，则， 所以、为相邻两边的三角形面积. 16. 已知，直线：与圆C：交于A，B两点. （1）证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； （2）已知点在圆C上，求的取值范围. 【答案】（1）由直线：， 得， 联立，解得， 所以恒过定点， 设直线恒过定点为, 则当时，原点到直线的距离最大，最大距离为. （2） 【解析】 【分析】（1）将化为，令即可求出定点，当直线与定点和原点构成直线垂直时，原点到直线的距离最大，得到答案； （2）根据的几何意义为点到的距离，结合与圆的位置关系，结合半径和圆心到得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点在圆C上，的几何意义为点到的距离， 因为圆C：，即，圆心， 又因为，所以在圆内， 所以到的距离的最大值为， 到的距离的最大值为 所以， 所以的取值范围为. 17. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，. （1）证明：： （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为为中点，故，而，故， 而，平面， 故平面，而平面，故. （2） （3） 设，其中， 由（2）可得平面的法向量为， 故到平面的距离为，由题设有， 故，故. 【解析】 【分析】（1）根据题设中的边的关系可证明，再结合线面垂直的判定和性质可得； （2）结合（1）中结果可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面法向量后可求夹角的正弦值； （2）设，利用点到平面的距离公式可求的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，结合（1）中可得， 而，故，故， 结合（1）中及可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故平面的法向量为， 设平面的法向量为，而， 则即，取，则， 故，而，故. 【小问3详解】 略 18. 已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】（1） （2）①或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. 【小问2详解】 ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②略 19. 将向量，，，组成的系列称为向量列，记作已知向量列满足，，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，且，． （ⅰ）数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由． （ⅱ）若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）存在，；（ii）． 【解析】 【分析】（1）变形得到，，利用向量模长公式得到，故数列是等比数列，求出通项公式； （2）（ⅰ）在（1）的基础上，得到，假设中第项最小，得到不等式，求出数列中存在最小项； （ⅱ）计算出，所以，所以，因此，，结合题目条件得到，解不等式，得到答案. 【小问1详解】 由，可得，， 根据题意得 ， 所以数列是以为公比的等比数列， 又，所以， 【小问2详解】 （ⅰ）， ，，当时，有， 假设中第项最小， 由，可得， 即，所以，所以， 解得或舍， 所以，即， 由，得， 综上，数列中存在最小项； （ⅱ）因为 ， 所以；所以，因此， 所以 ， 又存在正整数，不等式成立， 所以只需，即， 因此，或， 解得：， 即实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第三问求出，放缩得到，从而根据有解得到不等式，进行求解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北一中2024-2025学年高二下学期入学考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前项和，若，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为4，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 8. 已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（ ） A. B. C. D. （2，0） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 若直线与圆相交，弦长最大值为12 C. 直线过定点 D. 当时，直线与圆相切 10. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（ ） A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为2 B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为 C. 若，则的渐近线方程为 D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________． 13. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是____________． 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，设、、、． （1）设，，求的坐标，并判断、是否平行； （2）求、的夹角，以及、为相邻两边的三角形面积． 16. 已知，直线：与圆C：交于A，B两点. （1）证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； （2）已知点在圆C上，求的取值范围. 17. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，. （1）证明：： （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 18. 已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 19. 将向量，，，组成的系列称为向量列，记作已知向量列满足，，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，且，． （ⅰ）数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由． （ⅱ）若，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $