精品解析：四川省自贡市荣县中学校2024-2025学年高一下学期入学考试数学试题

2024-2025学年高一年级下学期入学考试 数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：邹庆玲；审题人：林正坤 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集和补集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，，所以. 故选：A. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值、充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若，，则或， 反之，若，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 4. 为得到函数的图像，只需把余弦曲线上的所有的点（ ） A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图像变换规律确定选项. 【详解】因为纵坐标缩短到原来的，横坐标不变,得到 故选:. 5. 下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是 A. 在上单调递增,在上单调递减 B. 在上单调递增,在上单调递减 C. 在及上单调递增,在上单调递减 D. 在上单调递增,在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦函数的单调区间逐一判断选项即可. 【详解】函数在上的单调增区间是，，单调减区间是， 故选：C. 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 7. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用最小正周期为排除选项AC；利用在区间上单调递减排除选项D；选项B以为最小正周期，且在区间上单调递减，判断正确. 【详解】选项A：最小正周期为.判断错误； 选项B：最小正周期为，且在区间上单调递减.判断正确； 选项C：最小正周期为.判断错误； 选项D：在区间上单调递增. 判断错误. 故选：B 8. 生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发一种增长方式，其表达式为，其中为初始个体数，为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（ ）（参考数据：，） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】将已知数据代入函数模型，利用对数的运算性质求出即可. 【详解】由题意可得，， 所以，即， 所以， 当，时，， 即，所以， 由给定数据. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】ABC 【解析】 【分析】画出在的图像，即可根据图像得出. 【详解】画出在的图像如下： 则可得当或时，与的交点个数为0； 当或时，与的交点个数为1； 当时，与的交点个数为2. 故选：ABC. 10. 已知实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断ABD，作差可判断C. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：， 因为，所以，不确定， 所以符号不确定，故C错误； 对于D：因为，所以，又，所以，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的定义域为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 时， C. D. 在上有677个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据对数的运算即可判断A；分别求出，进而，即可判断B；利用函数的周期计算即可判断C；由可得，即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当时，，即， 则，于是， 因此，故B正确； 对于C，， ， ，故C错误； 对于D，当时，，此时函数无零点， 而，由知，，， 即有，显然， 因此在上有675个零点，故D错误. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由可得，以及由推出. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 当时，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 13. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用倍角公式，进行化简，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为：. 14. 下列命题中： （1）与互为反函数，其图像关于对称； （2）已知扇形的周长为2，扇形的圆心角为2，则扇形的面积是； （3）已知角的终边经过点，则； （4）被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮．假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，转过的角的弧度为． 上述命题中的所有正确命题的序号是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反函数性质,扇形弧长及面积公式,三角函数的定义等逐项判断即可. 【详解】对于:根据反函数性质可知与互为反函数，其图像关于对称,故正确; 对于:扇形的周长为,又因为扇形的圆心角,所以,, 则扇形的面积,故错误; 对于:根据三角函数的定义, 角的终边经过点,则,故错误; 对于:“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟， 转过的角度是一周的,则转过的角的弧度为,故正确; 故答案为: . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 集合. （1）若，求 （2）若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合A，根据集合补集以及并集运算，即可求得答案； （2）根据是的充分条件，可得，列出相应不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由，解得，则， 时，， 故或，； 【小问2详解】 因为，， 而 是的充分条件，故， 故，解得. 16. （1）化简：； （2）已知，是第四象限角，求，，的值． 【答案】（1）；（2），， 【解析】 分析】（1）应用诱导公式计算化简求值； （2）先应用同角三角函数关系求出余弦值及正切值，再结合两角和差公式计算求解. 【详解】（1） （2）由，是第四象限角，得， 所以． 于是有； 17. 已知函数， （1）用五点法在平面直角坐标系中画出在上的图象； （2）求函数的值域； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用五点作图法即可画出在上的图象. （2）根据，即可求得结果. （3）先求出不等式在一个周期内解集，进而求出整个实数域上的解集. 【小问1详解】 由函数，可得完成表格如下： 0 1 0 0 1 可得在的大致图象：如下图 【小问2详解】 由，可得得值域为． 小问3详解】 由，可得，即，当时，由，得． 又由函数的最小正周期为， 所以原不等式的解集为． 18. 已知函数，其中且． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并给予证明； （3）求使的取值范围． 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3）当时，的取值范围是． 当时，的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据对数的定义知真数大于0，即可求定义域； （2）利用奇偶性的定义得知函数为奇函数； （3）由可得的范围，即可求解. 【小问1详解】 ， ，即， 解得， 故的定义域为． 【小问2详解】 的定义域关于原点对称， ， 故函数是奇函数． 【小问3详解】 当时，由可得，解得， 故求使的的取值范围是． 当时，由可得，即，解得， 故求使的的取值范围是． 综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是． 19. 已知函数是偶函数. （1）求的值; （2）设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质即可求解的值； （2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为是偶函数， 所以， 即， ， ， ， ， ， ， ， 所以，即. 【小问2详解】 ， 因为对任意的 ，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一年级下学期入学考试 数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：邹庆玲；审题人：林正坤 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则 A. B. C. D. 4. 为得到函数的图像，只需把余弦曲线上的所有的点（ ） A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 5. 下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是 A. 上单调递增,在上单调递减 B. 在上单调递增,在上单调递减 C. 在及上单调递增,在上单调递减 D. 在上单调递增,在上单调递减 6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减是（ ） A. B. C. D. 8. 生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中为初始个体数，为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（ ）（参考数据：，） A 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 已知实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 时， C. D. 在上有677个零点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 当时，的最小值为________． 13. 已知，则________． 14. 下列命题中： （1）与互为反函数，其图像关于对称； （2）已知扇形的周长为2，扇形的圆心角为2，则扇形的面积是； （3）已知角的终边经过点，则； （4）被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮．假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，转过的角的弧度为． 上述命题中的所有正确命题的序号是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 集合. （1）若，求 （2）若是的充分条件，求的取值范围. 16. （1）化简：； （2）已知，是第四象限角，求，，值． 17. 已知函数， （1）用五点法在平面直角坐标系中画出在上的图象； （2）求函数的值域； （3）求不等式的解集． 18. 已知函数，其中且． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并给予证明； （3）求使的取值范围． 19. 已知函数偶函数. （1）求的值; （2）设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$