精品解析：山东省烟台市莱州市 2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，28道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级，姓名，座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共12个小题，下列每小题均给出标号为A，B，C，D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列各多项式分解因式结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的（ ） A 二分之一，轴对称 B. 四分之一，平移 C. 三分之一，旋转 D. 四分之一，旋转 5. 某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是（ ） A. 平均数比16大 B. 中位数比众数小 C. 若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大 D. 若年龄最大的选手离队，则方差将变小 6. 下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是，则的周长为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 9. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（ ） A. a+b B. a-b C. 2a+b D. 2a-b 10. 甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（ ）小时 A. B. C. D. 11. 如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 16 D. 20 12. 关于的方程的两个解为，，的两个解为，，的两个解为，，则关于的方程的两个解为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本题共8个小题） 13. 写出一个x取任意实数时，一定有意义的分式：________． 14. 计算：______． 15. 在方差计算公式，若，分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为______． 16. 把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值____________ 17. 如图，在中，若、，，则_________度． 18. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为____． 19. 如图，矩形的对角线相交于点O，且，点E为上一点，．连接，则的长为____________________ ． 20. 如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则． 其中正确的有________（填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图中画出平行四边形，为格点； （2）在边上画一点，使得； （3）找到格点，画出直线，使得平分平行四边形的面积． 22. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求的值． 23. 先化简，再求值： ，请在1、2、3中选择一个喜欢的数值作为x的值． 24. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 25. 张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日上班路上用时．其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图： （1）根据以上数据把表格补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 极差 路线一 18 24 5 路线二 15.6 11 18.04 （2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由． 26. 如图，中，点D是上一点，点E是的中点，过点C作，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，如果点D是的中点，那么当与满足什么条件时，四边形是菱形？证明你的结论． 27. 今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个． （1）求第一次购进每个吉祥物的进价为多少元？ （2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 28. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，28道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级，姓名，座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共12个小题，下列每小题均给出标号为A，B，C，D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 故选C． 2. 将下列各多项式分解因式结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．先把各个多项式分解因式，即可得出结果． 【详解】解：A、，不符合题意， B、，不符合题意， C、，符合题意， D、，不符合题意． 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，再把分子去括号，合并同类项，最后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选C． 4. 观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的（ ） A. 二分之一，轴对称 B. 四分之一，平移 C. 三分之一，旋转 D. 四分之一，旋转 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转和平移，在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．结合图形特征得出图案阴影可以看作图案的四分之一通过旋转得到的，即可作答． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故选：D． 5. 某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是（ ） A. 平均数比16大 B. 中位数比众数小 C. 若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大 D. 若年龄最大的选手离队，则方差将变小 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差，平均数，众数和中位数的定义进行求解判断即可． 【详解】解：平均数，故A不符合题意； ∵一共有（人）， ∴把年龄按照从小到大排列，中位数为第11名和第12名年龄的平均数，即中位数为， ∵年龄为15的人数最多， ∴众数为15， ∴中位数与众数相等，故B不符合题意； ∵去年的所有成员都比今年对应成员小一岁， ∴去年的平均数为14岁， ∴去年的方差为今年的方差为， ∴今年方差跟去年方差相同，故C不符合题意； 年龄最大的选手离队，则方差为， ∴方差变小了，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了求方差，平均数，众数和中位数，熟知相关定义是解题的关键． 6. 下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和，外角和，三角形内角和，任意多边形的外角和都等于，所以当内角和等于外角和时，内角和等于，利用公式求出多边形内角和即可． 【详解】解：A、三角形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意； B、四边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意； C、五边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意； D、六边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是，则的周长为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据平行四边形的性质得出，，再根据点是的中点，三角形中位线定理得出，，继而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ∵的周长是，即 ∴的周长， 故选：B． 8. 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 9. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（ ） A. a+b B. a-b C. 2a+b D. 2a-b 【答案】A 【解析】 【分析】连接AE、AF，先证明△GAE≌△HAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案． 【详解】解：如图，连接AE、AF，设正方形ABCD的边AD与点A所在的大正方形边交于G，AB与EF交于H， ∵点A为大正方形的中心， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴∠AEF=∠AFE=45°， ∵∠GEF=90°， ∴∠AEG=∠GEF-∠AEF=45°， ∴∠AEG=∠AFE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB=∠EAF=90°， ∴∠GAE=∠HAF， 在△GAE与△HAF中， ∴△GAE≌△HAF（ASA）， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴同理可得：， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键． 10. 甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（ ）小时 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的运用，列代数式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．船只往返两个码头一次，会有一次顺流、一次逆流，顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度，据此可以列出关系式． 【详解】解：船一次往返两个码头所需的时间为小时， 故选：D． 11. 如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理以及菱形的判定与性质等，解答本题的关键是勾股定理以及菱形的判定．首先根据已知条件判断出，得到，，然后可设的长度为x，则，根据勾股定理列方程可解出x，最后证明阴影部分是菱形后，即可求出其周长． 【详解】解：如图，设交于G，旋转后交于点H， 由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴为菱形， ∴阴影部分的周长为：， 故选：D． 12. 关于的方程的两个解为，，的两个解为，，的两个解为，，则关于的方程的两个解为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得：的两个解为，然后把所求的方程变形为：的形式，再根据上述规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得：的两个解为， ∵方程即为：， ∴或， 解得：，． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题时要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用例子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致． 二、填空题（本题共8个小题） 13. 写出一个x取任意实数时，一定有意义的分式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式以及有意义的条件，熟练掌握分母不等于0是解决本题的关键． 写出的分式使分母不等于0恒成立即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可写分式， ∵， ∴恒成立， ∴无论x取任何实数，分式一定有意义． 故答案为： 14. 计算：______． 【答案】2023 【解析】 【分析】逆用乘法分配律进行计算即可. 【详解】解：原式 ， 故答案为：2023. 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知乘法分配律是解题的关键. 15. 在方差计算公式，若，分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了方差的公式，理解公式的意义是解题的关键． 【详解】方差计算公式，，分别表示这组数据的个数和平均数， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值____________ 【答案】扩大2倍 【解析】 【分析】此题考查分式的基本性质，解题的关键是注意把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】分别用和去代换原分式中x和y，得 ， 故答案为：扩大2倍． 17. 如图，在中，若、，，则_________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，等腰三角形等边对等角，直角三角形两锐角互余．先根据平行四边形的性质得出，再由得出，最后根据，即可解答． 【详解】解： 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得，再由勾股定理，可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，矩形的对角线相交于点O，且，点E为上一点，．连接，则的长为____________________ ． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理；分两种情况当点E在上或在上时，进行讨论，再结合矩形的性质和勾股定理即可求出结果． 【详解】解：当点E在上或在上时，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ①当点E在上时，， ∴， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴； ②当点E在上时为， ∴， ∴． 则的长为：或． 故答案为：或． 20. 如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则． 其中正确的有________（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】利用菱形的性质可证明为等边三角形，以及，则可得到，再利用等边三角形的性质可判断①；利用勾股定理可判断②；在上截取，连接，可证明得到，则可推出当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可判断③；根据含30度角的直角三角形的性质得到，，据此可得判断④；． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③正确； ∵，， ∴， ∴，， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图中画出平行四边形，为格点； （2）在边上画一点，使得； （3）找到格点，画出直线，使得平分平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）按照题意做题即可； （2）如图所示，取格点M，连接BM交AD于E，点E即为所求； （3）取AC中点F，作直线EF即为所求； 【小问1详解】 解：如图所示，四边形ABCD即为所求； ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图所示，取格点M，连接BM交AD于E，点E即为所求； ∵，， ∴， ∴△BCM是等腰直角三角形， ∴∠CBM=45°，即∠CBE=45°； 【小问3详解】 解：如图所示直线EF即为所求； ∵F是AC的中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴F是平行四边形ABCD的中心， ∴EF平分平行四边形ABCD的面积 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程无解的问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到前的系数为或者最简公分母为，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入分式方程得：， 整理得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是分式方程的解； 【小问2详解】 分式方程变形得：， 去分母，得：，即， 若，即时，此方程无解，即分式方程无解； 若，即时， 分式方程无解， ，即， 把代入整式方程得：， 综上所述，或． 23. 先化简，再求值： ，请在1、2、3中选择一个喜欢的数值作为x的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式以及分式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 要使分式有意义，必须且， 且， 取， 原式． 24. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出，进而解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 25. 张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时．其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图： （1）根据以上数据把表格补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 极差 路线一 18 2.4 5 路线二 15.6 11 18.04 （2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，极差的求法和应用，正确利用折线图获取正确信息是解题关键． （1）直接利用折线图数据结合平均数，中位数，众数，极差求法得出答案； （2）比较平均数，众数，中位数，分别分析得出最佳路线． 【小问1详解】 解：路线一：15，16，17，18，18，18，19，19，20，20， 平均数：，众数为18； 路线二：11，11，11，12，14，16，17，21，21，22， 中位数：，极差：； 故补全表格为： 平均数 中位数 众数 方差 极差 路线一 18 18 18 2.4 5 路线二 15.6 15 11 18.04 11 【小问2详解】 解：路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二． 26. 如图，中，点D是上一点，点E是的中点，过点C作，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，如果点D是的中点，那么当与满足什么条件时，四边形是菱形？证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由 得，，结合，可证； （2）由，，易得四边形是平行四边形，若，点D是的中点，可得，即得四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，． ∵点E是的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，四边形是菱形． 证明如下： 由（1）知，， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是直角三角形． ∵点D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理． 27. 今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个． （1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ （2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 【答案】（1）50 （2）4560 【解析】 【分析】此题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键． （1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为元，根据题意，第二次比第一次少了10件，列出分式方程，解方程即可求解． （2）根据总利润=总售价-总成本，列出算式，即可求解． 【小问1详解】 设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：第一次每件的进价为50元； 【小问2详解】 （元）， ∴该商店两次购进吉祥物的总利润为4560元． 28. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如图，作于，于，则， 点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． 【小问2详解】 解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $