第2章 二元一次方程组（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

第2章 二元一次方程组（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1．（3分）（2024春•长兴县期末）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x+2y B．x﹣3y＝2 C． D．x2+2y＝1 2．（3分）（2024春•杭州月考）若是关于x和y的二元一次方程kx﹣2y＝4的解，则k的值是（　　） A．﹣1 B． C．1 D．5 3．（3分）（2024春•东阳市期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3 4．（3分）（2024春•杭州月考）方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0.5 D．﹣0.5 5．（3分）（2024春•淳安县期中）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x﹣y的值应为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 6．（3分）（2024•绍兴一模）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）（2024•吴兴区校级四模）对于有理数x、y定义一种运算“□”：x□y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□5＝15，4□7＝28，则1□1的值为（　　） A．﹣1 B．﹣11 C．1 D．11 8．（3分）（2024春•浙江月考）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则y； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 9．（3分）（2024春•义乌市月考）在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．48 B．44 C．36 D．24 10．（3分）（2024春•仙桃校级期中）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则下列结论正确的个数为（　　） （1）a＝1，b＝2； （2）若T（m，n）＝0，（n≠﹣2），则； （3）若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解； （4）若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024春•镇海区校级期中）已知是二元一次方程ax+4y＝8的一个解，则a的值为 　 　． 12．（3分）（2024春•江北区期末）如果两数x，y满足，那么x﹣y＝　 　． 13．（3分）（2024•巴东县模拟）中国传统数学最重要的著作《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”．现设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为　 　． 14．（3分）（2024春•西湖区校级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 　 　． 15．（3分）（2024秋•东阳市期末）一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成，已知1立方米木料有三种切割方式，甲切割方式：可切成50个桌面；乙切割方式：可切成300条桌腿：丙切割方式：可切成20个桌面和180条桌腿．现有m个立方米木料，恰好做成若干张桌子（三种切割方案都有，且没有余料），当整数m取最小值时，可做成方桌 　 　张． 16．（3分）（2024•苍南县校级自主招生）团体购买公园门票，票价如下表： 购票人数 1～50 51～100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b（a≥b），若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积ab＝ 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（2024春•龙湾区校级期中）解方程组： （3）； （2）． 18．（6分）（2024春•鹿城区校级期中）甲、乙两人准备“环瓯”自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发1.6小时后两者相遇．求甲、乙两人的速度． 19．（8分）（2024秋•临海市期末）两位同学设计一款填数游戏，根据如图信息解决问题． （1）求a，b的数量关系； （2）求c的值． 20．（8分）（2024春•拱墅区校级月考）定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”：　 　． （2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 21．（10分）（2024春•东阳市期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 22．（10分）（2024春•玉环市期末）已知关于x，y的方程组． （1）请用含m的式子表示该方程组的解； （2）①当m取不同值时，x，y的值也随之变化，取部分数值列表如下： m … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … x … 3 a 1 0 ﹣1 … y … ﹣1 0 1 b 3 … 则表格中的a＝　 　，b＝　 　； ②不管m如何变化，x，y之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出这个关系式并证明； （3）根据上述思路，解答下列问题： ①若关于x，y的方程组中y≥﹣1，求x﹣y的最大值； ②直接写出关于x，y的方程组与的公共解为 　 　． 23．（12分）（2024春•桐乡市月考）某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 24．（12分）（2024春•拱墅区校级期中）请同学们根据以下表格中的素材以、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺•你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：材材A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券． 素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 　 　张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为 　 　元． 任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？ 任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 二元一次方程组（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1．（3分）（2024春•长兴县期末）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x+2y B．x﹣3y＝2 C． D．x2+2y＝1 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：A、x+2y是整式，不是方程，不符合题意； B、x﹣3y＝2是二元一次方程，符合题意； C、y＝0是分式方程，不符合题意； D、x2+2y＝1是二元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2．（3分）（2024春•杭州月考）若是关于x和y的二元一次方程kx﹣2y＝4的解，则k的值是（　　） A．﹣1 B． C．1 D．5 【分析】根据题意得2k﹣2×（﹣3）＝4，进一步计算即可求解． 【解答】解：∵是关于x和y的二元一次方程kx﹣2y＝4的解， ∴2k﹣2×（﹣3）＝4， 解得k＝﹣1． 故选：A． 3．（3分）（2024春•东阳市期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3 【分析】观察方程组中x与y的系数特征，利用加减消元法判断即可． 【解答】解：用加减消元法解二元一次方程组时， ①×2﹣②消去x；2×（﹣3）﹣①消去y；①×（﹣2）+②消去x；①+②×3消去y， 则无法消元的是①﹣②×3． 故选：D． 4．（3分）（2024春•杭州月考）方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0.5 D．﹣0.5 【分析】根据相反数的定义得到x＝﹣y，代入方程组得，即可求出a的值． 【解答】解：∵x，y互为相反数， ∴x+y＝0， ∴x＝﹣y， 把x＝﹣y代入方程组得， ①+②得3a+（a﹣8）＝0， 解得a＝2． 故选：B． 5．（3分）（2024春•淳安县期中）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x﹣y的值应为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【分析】设第二行第一个数字为a（a为常数），根据每一横行、每一竖列上的数字之和相等，可列出关于x，y的二元一次方程，变形后，即可求出x﹣y的值． 【解答】解：设第二行第一个数字为a（a为常数）， 根据题意得：x+a+6＝a+3+y， ∴x﹣y＝﹣3． 故选：A． 6．（3分）（2024•绍兴一模）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程组，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 7．（3分）（2024•吴兴区校级四模）对于有理数x、y定义一种运算“□”：x□y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□5＝15，4□7＝28，则1□1的值为（　　） A．﹣1 B．﹣11 C．1 D．11 【分析】先由运算的定义，写出3□5＝15，4□7＝28，得到关于a、b、c的方程组，用含c的代数式表示出a、b．代入2□2求出值． 【解答】解：∵3□5＝3a+5b+c＝15，4□7＝4a+7b+c＝28， ∴， 解这个方程组，得 ， 所以1□1＝a+b+c＝13﹣2b+b+b﹣24＝﹣11． 故选：B． 8．（3分）（2024春•安陆市月考）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则y； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【分析】根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a， ①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可， ②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案， ③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可， ④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系， 【解答】解：关于x，y的二元一次方程组， ①+②得，2x+2y＝4+2a， 即：x+y＝2+a， （1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0， ∴a＝﹣2，故①正确， （2）②原方程组的解满足x+y＝2+a， 当a＝1时，x+y＝3， 而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6， 因此②不正确， （3）方程组，解得， ∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3， 因此③是正确的， （4）方程组， 由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得， x﹣y＝3（4﹣x﹣3y）， 即；y 因此④是正确的， 故选：D． 9．（3分）（2024春•义乌市月考）在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．48 B．44 C．36 D．24 【分析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据图中各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm， 依题意得：， 解得：， 即小长方形的长为8cm，宽为2cm， ∴阴影部分的面积为14×（6+2×2）﹣6×8×2＝44（cm2）． 故选：B． 10．（3分）（2024春•仙桃校级期中）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则下列结论正确的个数为（　　） （1）a＝1，b＝2； （2）若T（m，n）＝0，（n≠﹣2），则； （3）若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解； （4）若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由题意联立方程组，求出a、b的值，即可确定（1）正确；由已知，得到mn+2m﹣4＝0，求出m即可确定（2）正确；根据n+2＝±1，n+2＝±2，n+2＝±4，可求m、n的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，得到2k（x﹣y）＝0，由对任意有理数x、y都成立，则k＝0，即可 确定（4）不正确． 【解答】解：∵T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8， ∴， 解得，故（1）正确； ∵T（m，n）＝0， ∴mn+2m﹣4＝0， ∵n≠﹣2， ∴，故（2）正确； ∵T（m，n）＝0， ∴mn+2m﹣4＝0， 当n＝﹣2时，则﹣4＝0不成立， ∴n≠﹣2， ∴， ∵m、n都是整数， ∴n+2＝±4或n+2＝±2或n+2＝±1， ∴n＝2或﹣6或0或﹣4或﹣1或﹣3， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵T（kx，y）＝T（ky，x）， ∴kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4， ∴2kx﹣2ky＝0， ∴2k（x﹣y）＝0， ∵T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立， ∴k＝0，故（4）错误． 综上：正确的有①②． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024春•镇海区校级期中）已知是二元一次方程ax+4y＝8的一个解，则a的值为 　2　． 【分析】把代入方程得出关于a的方程，求出即可． 【解答】解：把代入方程ax+4y＝8中，可得：﹣2a+12＝8， 解得：a＝2， 故答案为：2． 12．（3分）（2024春•江北区期末）如果两数x，y满足，那么x﹣y＝　2　． 【分析】直接用②﹣①即可进行解答． 【解答】解：， ②﹣①得：x﹣y＝2， 故答案为：2． 13．（3分）（2024•巴东县模拟）中国传统数学最重要的著作《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”．现设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为　　． 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 故答案为：． 14．（3分）（2024春•西湖区校级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 　　． 【分析】将方程组变形为，由关于x、y的二元一次方程组的解为，可得，解之即可得出结论． 【解答】解：将方程组变形为， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴ 解得：， 故答案为：． 15．（3分）（2024秋•东阳市期末）一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成，已知1立方米木料有三种切割方式，甲切割方式：可切成50个桌面；乙切割方式：可切成300条桌腿：丙切割方式：可切成20个桌面和180条桌腿．现有m个立方米木料，恰好做成若干张桌子（三种切割方案都有，且没有余料），当整数m取最小值时，可做成方桌 　120　张． 【分析】根据“一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成”列方程求解． 【解答】解：设有x立方米的木料用甲切割，y立方米的木料用乙切割，z立方米的木料用丙切割， 则：4（50x+20z）＝300y+180z， 方程可化为：2x﹣3y﹣z＝0， ∴方程的最小正整数解为：x＝2，y＝z＝1， ∴m的最小值为x+y+z＝4， 此时可以做成方桌：50x+20z＝120， 故答案为：120． 16．（3分）（2024•苍南县校级自主招生）团体购买公园门票，票价如下表： 购票人数 1～50 51～100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b（a≥b），若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积ab＝ 　2800　． 【分析】先判断a+b≥51，且a，b为正整数，再分51≤a+b≤100，a+b＞100，再建立方程组解题即可． 【解答】解：∵50×13＝650， ∴两个部门的人数和超过50人， ∴a+b≥51，且a，b为正整数， 当51≤a+b≤100时， ∴11（a+b）＝990， ∴a+b＝90①， ∵a≥b， 当两部门的人都小于50人时，不是整数，不符合题意； ∴51≤a≤100，1≤b≤50， ∴11a+13b＝1290②， 联立①②可得：， 解得：，不符合题意， 当a+b＞100时， ∴9（a+b）＝990， ∴a+b＝110③， ∵a≥b， 当1≤b≤50，51＜a≤100， ∴11a+13b＝1290④， 联立③④可得：， 解得：， ∴ab＝40×70＝2800， 当51≤b≤100，51≤a≤100时， ∴11（a+b）＝1290，此时不符合题意，舍去， 当a＞100时，则1≤b＜10， ∴13b+9a＝1290⑤， 联立③⑤可得：， 解得：，不符合题意，舍去， 综上分析：ab＝2800， 故答案为：2800． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（2024春•龙湾区校级期中）解方程组： （3）； （2）． 【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②得：2（y﹣1）+y＝4， 解得y＝2， 把y＝2代入①得：x＝1， 所以方程组的解为； （2）， 方程组可化为， ①﹣②，得x＝1， 把x＝1代入②得y＝4， 所以原方程组的解为． 18．（6分）（2024春•鹿城区校级期中）甲、乙两人准备“环瓯”自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发1.6小时后两者相遇．求甲、乙两人的速度． 【分析】根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两人的速度． 【解答】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时， ， 解得， 答：甲的速度为16千米/时，乙的速度为24千米/时． 19．（8分）（2024秋•临海市期末）两位同学设计一款填数游戏，根据如图信息解决问题． （1）求a，b的数量关系； （2）求c的值． 【分析】（1）由②号正方形上四个数的和与③号正方形上四个数的和相等，可列出关于a，b的二元一次方程，变形后即可得出结论； （2）由“②号正方形上四个数的和与③号正方形上四个数的和相等，②号正方形上四个数的平方和与③号正方形上四个数的平分和相等”，可列出关于a，b的方程组，解之可得出a，b的值，再结合①号正方形上四个数的和与②号正方形上四个数的和相等，即可求出c的值． 【解答】解：（1）根据题意得：a﹣2+4＝b﹣4+8， ∴a＝b+2； （2）根据题意得：， 解得：， 又∵﹣2+4＝c+b， ∴c＝2﹣b＝2﹣14＝﹣12． 20．（8分）（2024春•拱墅区校级月考）定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”：　y＝﹣x+4　． （2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 【分析】（1）理解“反对称二元一次方程”的概念即可解题； （2）根据概率得出y＝3x+5的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【解答】解：（1）由题知，二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”是y＝﹣x+4， 故答案为：y＝﹣x+4． （2）二元一次方程y＝3x+5的“反对称二元一次方程”是y＝5x+3， 又∵二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴， 解得， ∴m＝1，n＝8． 21．（10分）（2024春•东阳市期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【分析】设购置钢笔x支，购置笔记本y本，根据题意列出方程组，求出x和y的值，得出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【解答】解：设购置钢笔x支，购置笔记本y本， ， ∴， ∴10×15＝150（元），30×5＝150（元）， ∴购置钢笔10支，金额为150元；购置笔记本30本，金额为150元． 22．（10分）（2024春•玉环市期末）已知关于x，y的方程组． （1）请用含m的式子表示该方程组的解； （2）①当m取不同值时，x，y的值也随之变化，取部分数值列表如下： m … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … x … 3 a 1 0 ﹣1 … y … ﹣1 0 1 b 3 … 则表格中的a＝　2　，b＝　2　； ②不管m如何变化，x，y之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出这个关系式并证明； （3）根据上述思路，解答下列问题： ①若关于x，y的方程组中y≥﹣1，求x﹣y的最大值； ②直接写出关于x，y的方程组与的公共解为 　　． 【分析】（1）根据消元法求解； （2）①代入（1）中的结果求解； ②把（1）中方程组的解相加求解； （3）①根据不等式的性质求解； ②先把第二个方程组变式，求出x与y的关系，再求解． 【解答】解：（1）解二元一次方程组得：； （2）①把m＝﹣1代入x＝a＝1﹣（﹣1）＝2， 把m＝1代入y＝b＝1+1＝2， 故答案为：2，2； ②存在，x+y＝1﹣m+m+1＝2； （3）①∵y＝m+1≥﹣1， 解得：m≥﹣2， ∴x﹣y＝﹣2m≤4， ∴x﹣y的最大值为4； ②第二个方程组的第1方程加上第2个方程的2倍得：5x﹣5y＝20， ∴x﹣y＝4， 解方程组得：， 故答案为：． 23．（12分）（2024春•桐乡市月考）某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【分析】（1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人列出方程组求解即可； （2）①根据（1）所求可得方程20x+45y＝340，求出方程的非负整数解即可得到答案；②求出两种方案的花费即可得到答案． 【解答】解：（1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生， 由题意得，， 解得， 答：每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生； （2）①由题意得，20x+45y＝340， ∴， ∵x，y都是整数， ∴一定是整数， ∴y一定是4的倍数， ∴或， ∴一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆； ②方案一的费用为4000×17＝68000（元）， 方案二的费用为4000×8+4×8000＝64000（元）， ∵68000＞64000， ∴最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元． 24．（12分）（2024春•拱墅区校级期中）请同学们根据以下表格中的素材以、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺•你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：材材A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券． 素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 　4　张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为 　1011　元． 任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？ 任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案． 【分析】任务一、C型消费券的张数＝（消费金额减免的总数﹣15×5﹣3×25）÷60；消费金额最少＝35×使用A型消费券的张数+68×B型消费券的张数+158×C型消费券的张数； 任务二、设C型消费券用x张，用x表示出A型消费券和B型消费券的张数，根据减免总钱数为390列出方程求解即可； 任务三、分类探讨小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，减免390元，得到最少付费，比较后可得付款额最少的消费券搭配方案． 【解答】解：任务一、 （390﹣15×5﹣3×25）÷60 ＝4（张）． 消费金额最少＝35×5+68×3+158×4＝1011（元）． 故答案为4，1011； 任务二、 设C型消费券用x张，则A型消费券用（x+1），那么B型消费券用了（12﹣2x）张． ∴60x+15（x+1）+25（12﹣2x）＝390． 解得：x＝3． ∴x+1＝4，12﹣2x＝6． 答：小观一家共用了A型消费券4张，B型消费券6张，C型消费券3张； 任务三、设A型消费券用了a张，B型消费券用了b张，C型消费券用了c张． 由题意得：a≤12，b≤8，c≤4． ①仅用A型消费券和B型消费券． 15a+25b＝390． 整理得：3a+5b＝78． 3a＝78﹣5b， a＝26b． b＝3时，a＝21（不符合题意，舍去）， b＝6时，a＝16（不符合题意，舍去）． 综上，无合适的解； ②仅用A型消费券和C型消费券． 15a+60c＝390． 整理得：a+4c＝26． a＝26﹣4c． ∴符合题意的解为：a＝10，c＝4． ∴最少需要付款＝（35﹣15）×10+（158﹣60）×4＝592（元）； ③仅用B型消费券和C型消费券． 25b+60c＝390． 整理得：5b+12c＝78． b． ∴符合题意的解为：b＝6，c＝4． ∴最少需要付款＝（68﹣25）×6+（158﹣60）×4＝650（元）； ∵592＜650， ∴付款最少的方案是使用10张A型券，4张c型券． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$