第2章 二元一次方程组 知识归纳与题型训练（7类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

第2章 《二元一次方程组》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、二元一次方程 1.二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫作二元一次方程的一个解． 要点诠释： （1）、一个二元一次方程的解是有无数个的，整数解也可以有多个； （2）、检验一组未知数的值是不是二元一次方程的解，只需要带入方程，等号左右两边的值相等，则该组未知数的值就是该二元一次方程的解，否则则不是； 二、二元一次方程组和它的解 1.二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫作二元一次方程组； 2.二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫作这个二元一次方程组的解。 三、解二元一次方程组 1.代入消元法：先把解二元一次方程组消元转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法； 2.代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①.将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示。 ②.用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值. ③.把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值. ④.写出方程组的解. 3.加减消元法：对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数互为相反数或者相同时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。 4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①.将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数） ②.通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程. ③.解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. ④.将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值. ⑤.写出方程组的解 要点诠释： 二元一次方程组解法的选择标准： （1）当方程组中的一个方程的某个未知数的系数的绝对值为1，或某个方程的常数项为0时，一般用代入消元法解方程组比较简便； （2）当方程组中某个未知数的系数的绝对值相同或成倍数关系时，一般用加减消元法解方程组比较简便； （3）当未知数的系数的绝对值都不相同时，找出某一个未知数系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，使得方程中某个未知数的系数相同（或互为相反数），再用加减法消元求解。 （4）在解二元一次方程组时，除了代入消元法和加减消元法之外，我们还可以用整体代入法、换元法、设元法等方法求解，应根据题目灵活选择。 四、二元一次方程组的应用 一般地，用二元一次方程组解决实际问题有如下基本步骤： （1）理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系 （2）制定计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组； （3）执行计划：列出方程组并求解，得到答案； （4）回顾：检查和反思解题过程，检查答案的正确性以及是否符合题意； 要点诠释： 列方程（组）解应用题的关键是读懂题意，找准等量关系，解题过程中要注意所列各方程的同一个未知数的单位要一致，各个方程的左右两边的单位要一致，且答的单位必须与问的单位一致.解实际应用问题时还必须根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不合题意的解应该舍去. 五、三元一次方程组 1.三元一次方程：含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程。 2.三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程叫作三元一次方程组。 要点诠释： （1） 解三元一次方程组的消元方法也是代入法或加减法，通过消元将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程。 （2）三元一次方程组的应用题依然跟二元一次方程组的应用题一样，按照理解问题、制定计划、执行计划、回顾，四个步骤来思考。 题型一　二元一次方程与二元一次方程组的定义 例题： 1．（2024春•江山市期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x2﹣2x＝1 B．x﹣y＝z C． D．x﹣3y＝1 2．（2024春•鹿城区校级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•西湖区校级月考）若方程3x|m|+（m+1）y＝6是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　． 巩固训练 4．（2024春•下城区校级月考）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•义乌市期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x＝1﹣2y B．1﹣2y C．x2＝1﹣2y D．x＝z﹣2y 6．（2024春•沭阳县校级月考）若（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a的值为 　 　． 题型二　二元一次方程与二元一次方程组的解 例题： 1．（2024春•鹿城区校级月考）关于x、y的方程组的解是，则3m+n的值是（　　） A．4 B．9 C．5 D．11 2．（2024春•西湖区校级期中）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2024，则k的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．（2024春•杭州月考）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则k的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4．（2024春•鄞州区期中）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 巩固训练 5．（2024•苍南县校级自主招生）关于x，y的方程组有无数组解，则（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝2，b＝1 6．（2024春•东阳市月考）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（　　） A．x﹣y＝﹣3 B．x+y＝4 C．2x﹣y＝﹣3 D．2x+3y＝﹣4 7．（2024春•柯桥区期末）若是方程2nx+5y＝4的一个解，则代的值是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 8．（2024春•江干区校级期末）若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　 　． 9．（2024春•西湖区校级期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 题型三　解二元一次方程 例题： 1．（2024春•越城区期末）已知二元一次方程2x﹣y＝10，则用关于x的代数式表示y正确的是（　　） A．2x＝10+y B． C．y＝2x﹣10 D．y＝2x+10 2．（2024春•定海区期末）已知方程3x﹣y＝5，则下列解满足此方程的是（　　） ①；②；②；④． A．①② B．①④ C．②④ D．①②④ 3．（2024春•瑞安市期中）已知方程3x﹣y＝5，用含x的代数式表示y，则y＝　 　． 巩固训练 4．（2024春•鄞州区期中）下列各组数是方程x+2y＝4的解是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•越城区校级期末）已知二元一次方程2x+3y＝2，用含y的代数式表示x，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024春•东阳市期中）已知3x﹣2y﹣6＝0，用含x的代数式表示y，则有　 　． 题型四　二元一次方程的应用 例题： 1．（2024春•西湖区期末）某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程（　　） A．5x+y＝37 B．x+5y＝37 C．4x+y＝37 D．x+4y＝37 2．（2024春•长兴县期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程3.3km，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为3km/h，平路的平均速度为4km/h，下坡路的平均速度为5km/h，那么王老师从家到学校需51分钟，从学校到家需53.4分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，列出了以下四个方程，则正确的是（　　） A．53.4 B．51 C． D． 3．（2024秋•拱墅区校级期末）某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元． （1）求盲盒和笔记本的单价各为多少？ （2）后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了． （3）班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为 　 　元． 巩固训练 4．（2024春•瑞安市期中）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则x+y的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2024•鄞州区校级一模）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》涉及了各种计算问题．其中有一道：百鸡问题“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．百钱买鸡百只，问鸡翁母何”．译文：已知公鸡1只值5钱，母鸡1只值3钱，小鸡3只值1钱，又知用100钱买到鸡共100只，问三种鸡各买了多少只？若设公鸡买了x只，则下列各值中x不能取（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 6．（2023春•江岸区校级月考）“今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？（选自《孙子算经》）”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少，有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况，如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？嘉嘉准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是6x＝y﹣6，则符合题意的另一个方程为（　　） A．7x﹣7＝y B．7x+7＝y C．x＝7y﹣7 D．7y+7＝x 7．（2024•宁波模拟）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案？ 素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元． 素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额． 问题解决 任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：y＝　 　（用含x的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价． 任务3 【拟定设计方案】 请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 题型五　解二元一次方程组 例题： 1．（2024春•莲都区期末）用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．②③ B．②④ C．①③ D．①② 2．（2024春•龙湾区校级期中）已知方程组，则x+y＝ 　 　． 3．（2024春•慈溪市期中）解方程组： （1）； （2）． 巩固训练 4．（2024春•绍兴期中）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣② 5．（2024•瑞安市校级开学）已知，则4x﹣7y＝　 　． 6．（2024春•天水期末）对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1※1＝4，1※2＝3．则2※1的值是 　 　． 7．（2024秋•苍南县校级月考）解方程组 8．（2024春•路桥区期中）解方程组：． 题型六　二元一次方程组的应用 例题： 1．（2024春•宁波期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•下城区校级模拟）明代数学家程大位（1533﹣1606年）所著的《算法统宗》是一都应用数学书，列有595个应用题的数字计算，珠算被誉为“世界上古老的计算机”的算盘演算．其中记载一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，问共有多少间客房？多少人？若设共有x间客房，y人，可列方程组为 　 　． 3．（2024春•海曙区期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元 （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 巩固训练 4．（2024春•鹿城区校级期中）明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设有x人，分y两银，根据题意列二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•柯桥区期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有（　　）两银子． A．45 B．46 C．64 D．26 6．（2024春•柯桥区期中）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 题型七　三元一次方程（组） 例题： 1．（2024春•西湖区校级期中）实数x，y，z满足2x+y+3z＝5，x+2y﹣z＝﹣4，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A．3x+7z＝14 B．3x+5z＝14 C．3x+7z＝6 D．3x+5z＝6 2．（2024•拱墅区一模）已知方程组，则x+y+z的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2023秋•镇海区校级期末）解方程：． 巩固训练 4．（2024秋•东阳市期末）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为（　　） A．68 B．70 C．72 D．74 5．（2024春•沭阳县校级月考）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　，x+y＝　 　； （2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 《二元一次方程组》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、二元一次方程 1.二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫作二元一次方程的一个解． 要点诠释： （1）、一个二元一次方程的解是有无数个的，整数解也可以有多个； （2）、检验一组未知数的值是不是二元一次方程的解，只需要带入方程，等号左右两边的值相等，则该组未知数的值就是该二元一次方程的解，否则则不是； 二、二元一次方程组和它的解 1.二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫作二元一次方程组； 2.二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫作这个二元一次方程组的解。 三、解二元一次方程组 1.代入消元法：先把解二元一次方程组消元转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法； 2.代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①.将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示。 ②.用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值. ③.把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值. ④.写出方程组的解. 3.加减消元法：对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数互为相反数或者相同时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。 4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①.将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数） ②.通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程. ③.解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. ④.将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值. ⑤.写出方程组的解 要点诠释： 二元一次方程组解法的选择标准： （1）当方程组中的一个方程的某个未知数的系数的绝对值为1，或某个方程的常数项为0时，一般用代入消元法解方程组比较简便； （2）当方程组中某个未知数的系数的绝对值相同或成倍数关系时，一般用加减消元法解方程组比较简便； （3）当未知数的系数的绝对值都不相同时，找出某一个未知数系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，使得方程中某个未知数的系数相同（或互为相反数），再用加减法消元求解。 （4）在解二元一次方程组时，除了代入消元法和加减消元法之外，我们还可以用整体代入法、换元法、设元法等方法求解，应根据题目灵活选择。 四、二元一次方程组的应用 一般地，用二元一次方程组解决实际问题有如下基本步骤： （1）理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系 （2）制定计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组； （3）执行计划：列出方程组并求解，得到答案； （4）回顾：检查和反思解题过程，检查答案的正确性以及是否符合题意； 要点诠释： 列方程（组）解应用题的关键是读懂题意，找准等量关系，解题过程中要注意所列各方程的同一个未知数的单位要一致，各个方程的左右两边的单位要一致，且答的单位必须与问的单位一致.解实际应用问题时还必须根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不合题意的解应该舍去. 五、三元一次方程组 1.三元一次方程：含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程。 2.三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程叫作三元一次方程组。 要点诠释： （1） 解三元一次方程组的消元方法也是代入法或加减法，通过消元将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程。 （2）三元一次方程组的应用题依然跟二元一次方程组的应用题一样，按照理解问题、制定计划、执行计划、回顾，四个步骤来思考。 题型一　二元一次方程与二元一次方程组的定义 例题： 1．（2024春•江山市期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x2﹣2x＝1 B．x﹣y＝z C． D．x﹣3y＝1 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：A、x2﹣2x＝1未知数的次数是2，不是二元一次方程，不符合题意； B、x﹣y＝z，含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、，含有分式，不是二元一次方程，不符合题意； D、x﹣3y＝1是二元一次方程，符合题意． 故选：D． 2．（2024春•鹿城区校级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据二元一次方程组的定义对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、该方程组中含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意； B、该方程组符合二元一次方程组的定义，符合题意； C、该方程组中的第一个方程最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意； D、该方程组中的第一个方程是分式方程，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意． 故选：B． 3．（2024春•西湖区校级月考）若方程3x|m|+（m+1）y＝6是关于x，y的二元一次方程，则m＝　1　． 【分析】根据未知数的次数等腰1且系数不为0列式求解即可． 【解答】解：由题意得， |m|＝1且m+1≠0， ∴m＝1． 故答案为：1． 巩固训练 4．（2024春•下城区校级月考）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：A．含有三个未知数，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意； B．符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； C．第2个方程的未知数的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意． D．第2个方程含未知数的项的最高次数是2，故不符合二元一次方程组的定义，故本选项不合题意． 故选：B． 5．（2024春•义乌市期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x＝1﹣2y B．1﹣2y C．x2＝1﹣2y D．x＝z﹣2y 【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程进行判断即可． 【解答】解：A、x＝1﹣2y是二元一次方程，A正确； B、1﹣2y不是整式方程，不是二元一次方程，B不正确； C、x2＝1﹣2y不是一次方程，C不正确； D、x＝z﹣2y是三元一次方程，D不正确． 故选：A． 6．（2024春•沭阳县校级月考）若（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a的值为 　﹣2　． 【分析】根据二元一次方程的定义得出a﹣2≠0且|a|﹣1＝1，求出即可． 【解答】解：∵方程（a﹣2）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程， ∴a﹣2≠0且|a|﹣1＝1， 解得：a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 题型二　二元一次方程与二元一次方程组的解 例题： 1．（2024春•鹿城区校级月考）关于x、y的方程组的解是，则3m+n的值是（　　） A．4 B．9 C．5 D．11 【分析】把代入关于x、y的方程组，求出m，n，再把m，n的值代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：把代入关于x、y的方程组得： ， 把①代入②得：n＝3， ∴3m+n ＝3×2+3 ＝6+3 ＝9， 故选：B． 2．（2024春•西湖区校级期中）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2024，则k的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】方程组两方程左右两边相加表示出x+y，代入x+y＝2024计算即可求出k的值． 【解答】解：， ①+②得：6x+6y＝6k+6， 整理得：x+y＝k+1， 代入x+y＝2024得：k+1＝2024， 解得：k＝2023． 故选：B． 3．（2024春•杭州月考）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则k的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】将代入原方程，可得出﹣k+36，解之即可得出k的值． 【解答】解：将代入原方程得：﹣k+36， 解得：k＝﹣1， ∴k的值是﹣1． 故选：A． 4．（2024春•鄞州区期中）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 【分析】将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4中求得b的值，再将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7中解得a的值即可． 【解答】解：将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4得12﹣2b＝4， 解得：b＝4， 将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7得﹣3a﹣8＝7， 解得：a＝﹣5， 故选：D． 巩固训练 5．（2024•苍南县校级自主招生）关于x，y的方程组有无数组解，则（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝2，b＝1 【分析】由题意可①﹣②得（1﹣b）x+（a+2）y＝0，然后问题可求解． 【解答】解：， ①﹣②得：（1﹣b）x+（a+2）y＝0， ∵方程组有无数组解， ∴1﹣b＝0，a+2＝0， 解得：a＝﹣2，b＝1． 故选：B． 6．（2024春•东阳市月考）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（　　） A．x﹣y＝﹣3 B．x+y＝4 C．2x﹣y＝﹣3 D．2x+3y＝﹣4 【分析】根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出a的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可． 【解答】解：∵二元一次方程组的解是， ∴﹣1+a＝1， ∴a＝2， ∴， ∴x﹣y＝﹣1﹣2＝﹣3，x+y＝1，2x﹣y＝﹣4，2x+3y＝4； 故*表示的方程可能是x﹣y＝﹣3； 故选：A． 7．（2024春•柯桥区期末）若是方程2nx+5y＝4的一个解，则代的值是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【分析】把代入方程2nx+5y＝4得关于m，n的等式，然后根据等式的基本性质求出的值，再代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：把代入方程2nx+5y＝4得： ﹣4n+5m＝4， ∴， ， ， ∴ ＝3， 故选：A． 8．（2024春•江干区校级期末）若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　7　． 【分析】把x与y的值分别代入已知两个方程中计算求出m与n的值，代入计算即可求出m+n的值． 【解答】解：把分别代入方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n得：6+2＝2m，10﹣1＝3n， 解得：m＝4，n＝3， 则m+n＝4+3＝7． 故答案为：7． 9．（2024春•西湖区校级期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用等式的性质把方程组变为，由方程组的解为得：，解方程组即可． 【解答】解：方程组可变为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：x﹣1＝3， 解得：x＝4， 由②得：y＝﹣2， ∴方程组的解是， 故选：B． 题型三　解二元一次方程 例题： 1．（2024春•越城区期末）已知二元一次方程2x﹣y＝10，则用关于x的代数式表示y正确的是（　　） A．2x＝10+y B． C．y＝2x﹣10 D．y＝2x+10 【分析】通过移项得到y＝2x﹣10即可． 【解答】解：2x﹣y＝10， 移项，得y＝2x﹣10， 故选：C． 2．（2024春•定海区期末）已知方程3x﹣y＝5，则下列解满足此方程的是（　　） ①；②；②；④． A．①② B．①④ C．②④ D．①②④ 【分析】将四组值分别代入方程，能使方程成立的即是方程的解．反之，则不是方程的解． 【解答】解：把代入方程，左边等于5，右边等于5，故①符合题意； 把代入方程，左边等于5，右边等于5，故②符合题意； 把代入方程，左边等于6，右边等于5，故③不符合题意； 把代入方程，左边等于，右边等于5，故④不符合题意； 所以解满足此方程的是①②． 故选：A． 3．（2024春•瑞安市期中）已知方程3x﹣y＝5，用含x的代数式表示y，则y＝　3x﹣5　． 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【解答】解：方程3x﹣y＝5， 移项得：﹣y＝5﹣3x， 解得：y＝3x﹣5． 故法案为：3x﹣5． 巩固训练 4．（2024春•鄞州区期中）下列各组数是方程x+2y＝4的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】把各选项的数据代入方程看是否成立． 【解答】解：把A，B，C，D的数据代入x+2y＝4， 只有成立． 故选：C． 5．（2023秋•越城区校级期末）已知二元一次方程2x+3y＝2，用含y的代数式表示x，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】用解方程的步骤求解是解题即可． 【解答】解：移项得：2x＝2﹣3y， 系数化为1得：； 故选：A． 6．（2024春•东阳市期中）已知3x﹣2y﹣6＝0，用含x的代数式表示y，则有　y　． 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【解答】解：方程3x﹣2y﹣6＝0， 解得：y， 故答案为：y 题型四　二元一次方程的应用 例题： 1．（2024春•西湖区期末）某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程（　　） A．5x+y＝37 B．x+5y＝37 C．4x+y＝37 D．x+4y＝37 【分析】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是4x g，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解． 【解答】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的4倍，且蛋白质的含量为x g， ∴碳水化合物含量是4x g． 根据题意得：4x+x+y＝37， ∴5x+y＝37． 故选：A． 2．（2024春•长兴县期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程3.3km，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为3km/h，平路的平均速度为4km/h，下坡路的平均速度为5km/h，那么王老师从家到学校需51分钟，从学校到家需53.4分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，列出了以下四个方程，则正确的是（　　） A．53.4 B．51 C． D． 【分析】设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，则下坡为（3.3﹣x﹣y）km，根据王老师从家到学校需51分钟，列出方程即可． 【解答】解：设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，则下坡为（3.3﹣x﹣y）km， 根据王老师从家到学校需51分钟，得， 根据王老师从学校到家需53.4分钟，得． 故选项C符合题意． 故选：C． 3．（2024秋•拱墅区校级期末）某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元． （1）求盲盒和笔记本的单价各为多少？ （2）后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了． （3）班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为 　2或8　元． 【分析】（1）设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为（x﹣6）元，根据购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设购买y个盲盒，则购买（70﹣y）本笔记本，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程判定即可； （3）设记号笔的单价为m元，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为（x﹣6）元， 由题意得：30x+20（x﹣6）＝1380， 解得：x＝30， ∴x﹣6＝24， 答：盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元； （2）班长算错了，理由如下： 设购买y个盲盒，则购买（70﹣y）本笔记本， 由题意得：30y+24（70﹣y）＝1922， 解方程得：y＝40， 又∵y需为正整数， ∴y＝40不符合题意，舍去， ∴班长算错了； （3）设记号笔的单价为m元， 由题意得：30y+24（70﹣y）＝1922﹣m， 解方程得：y＝40， 又∵y为正整数，m为不大于10元的整数， ∴m＝2或8， 故答案为：2或8． 巩固训练 4．（2024春•瑞安市期中）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则x+y的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于x，y的二元一次方程，化简后，即可得出x+y的值． 【解答】解：根据题意得：4+5+2x+3y＝x+y+2x+3y， ∴x+y＝9． 故选：D． 5．（2024•鄞州区校级一模）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》涉及了各种计算问题．其中有一道：百鸡问题“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．百钱买鸡百只，问鸡翁母何”．译文：已知公鸡1只值5钱，母鸡1只值3钱，小鸡3只值1钱，又知用100钱买到鸡共100只，问三种鸡各买了多少只？若设公鸡买了x只，则下列各值中x不能取（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】设母鸡买了m只，可得：5x+3m100，m，再将每项x的代入算得m的值，即可得到答案． 【解答】解：设母鸡买了m只， 根据题意得：5x+3m100， ∴m， 当当x＝0时，m25； ∴购买公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只； 当x＝4时，m18； ∴购买公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只； 当x＝8时，m11； ∴购买公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； 当x＝12时，m4； ∴购买公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只； 当x＝16时，m3， ∵m不能为负数， ∴x＝16这种情况不存在； 故选：D． 6．（2023春•江岸区校级月考）“今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？（选自《孙子算经》）”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少，有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况，如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？嘉嘉准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是6x＝y﹣6，则符合题意的另一个方程为（　　） A．7x﹣7＝y B．7x+7＝y C．x＝7y﹣7 D．7y+7＝x 【分析】根据如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，可知7×盗贼人数﹣7＝失窃绸缎数，由此等量关系列出另一方程即可． 【解答】解：盗贼有x人，失窃的绸缎有y匹， 根据如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，可列另一方程为：7x﹣7＝y， 故选：A． 7．（2024•宁波模拟）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案？ 素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元． 素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额． 问题解决 任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：y＝　x+20　（用含x的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价． 任务3 【拟定设计方案】 请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 【分析】任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得y＝x+20； 任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得x+4（x+20）＝130，可解得答案； 任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得：30×0.8m+10n＝600，由m，n是正整数，可求出m，n的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案． 【解答】解：任务1： ∵一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元， ∴y＝x+20； 故答案为：x+20； 任务2： ∵小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元， ∴x+4（x+20）＝130， 解得x＝10， ∴x+20＝10+20＝30， 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元； 任务3： 设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张， 根据题意得：30×0.8m+10n＝600， ∴n， ∵m，n是正整数， ∴或或或， ∵吉祥物钥匙扣每件利润为30×0.8﹣18＝6（元），明信片每张利润为10﹣5＝5（元）， ∴购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，商家获利270元； 购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张，商家获利240元； 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张，商家获利210元； 购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张，商家获利180元； 答：可行的购买方案有：购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，或购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张或购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张或购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张；其中购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张商家获利最高． 题型五　解二元一次方程组 例题： 1．（2024春•莲都区期末）用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．②③ B．②④ C．①③ D．①② 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：若将x的系数变为相等的，变形为； 若将y的系数变为相反数，变形为； 综上，变形正确的是②③， 故选：A． 2．（2024春•龙湾区校级期中）已知方程组，则x+y＝ 　2　． 【分析】①+②得：3x+3y＝6，所以3（x+y）＝6，从而直接求得x+y的值． 【解答】解：， ①+②得：3x+3y＝6， ∴3（x+y）＝6， ∴x+y＝2， 故答案为：2． 3．（2024春•慈溪市期中）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）， 将①代入②得：x+2x＝12， 解得：x＝4， 将x＝4代入①得y＝8， 则原方程组的解是； （2）， ①+②得5x＝10， 解得：x＝2， 将x＝2代入①得：y＝3， 则原方程组的解是． 巩固训练 4．（2024春•绍兴期中）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣② 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：若消去y， 则①+②得：6x＝﹣16； 若消去x， 则①﹣②×5得：﹣12y＝98； 故选：A． 5．（2024•瑞安市校级开学）已知，则4x﹣7y＝　30　． 【分析】30 【分析】本题考查解二元一次方程组，代数式求值，加减法求出方程组的解，代入代数式，计算即可． 【解答】解：解，得：， 把代入4x﹣7y，得：． 故答案为：30． 6．（2024春•天水期末）对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1※1＝4，1※2＝3．则2※1的值是 　9　． 【分析】由已知条件，根据所给定义可得到关于m、n的方程组，则可求得m、n的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵1※1＝4，1※2＝3， ∴， 解得：， 则x※y＝5x﹣y ∴2※1＝2×5﹣1＝9， 故答案为：9． 7．（2024秋•苍南县校级月考）解方程组 【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可． 【解答】解： ①+②×2，可得17x＝17， 解得x＝1， 把x＝1代入①，解得y， ∴原方程组的解是． 8．（2024春•路桥区期中）解方程组：． 【分析】先利用加减消元法求出x的值，再利用代入消元法求出y的值即可． 【解答】解：， ①+②×2得13x＝52， 解得x＝4， 将x＝4代入②得20﹣y＝21， 解得y＝﹣1， ∴方程组的解为． 题型六　二元一次方程组的应用 例题： 1．（2024春•宁波期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴x+9＝2（y﹣9）； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴x﹣9＝y+9． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 2．（2024•下城区校级模拟）明代数学家程大位（1533﹣1606年）所著的《算法统宗》是一都应用数学书，列有595个应用题的数字计算，珠算被誉为“世界上古老的计算机”的算盘演算．其中记载一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，问共有多少间客房？多少人？若设共有x间客房，y人，可列方程组为 　　． 【分析】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故答案为：． 3．（2024春•海曙区期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元 （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价＝单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 依题意，得：25m+10n＝200， 解得：m＝8n． ∵m，n均为正整数， ∴，，， ∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆． （3）方案一获得利润：8000×6+5000×5＝73000（元）； 方案二获得利润：8000×4+5000×10＝82000（元）； 方案三获得利润：8000×2+5000×15＝91000（元）． ∵73000＜82000＜91000， ∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 巩固训练 4．（2024春•鹿城区校级期中）明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设有x人，分y两银，根据题意列二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，即可列出关于x（或y）的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：∵如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两， ∴． 故选：A． 5．（2024秋•柯桥区期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有（　　）两银子． A．45 B．46 C．64 D．26 【分析】设共有x人分y两银子，根据“如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设共有x人分y两银子， 根据题意得：， 解得：， ∴共有46两银子． 故选：B． 6．（2024春•柯桥区期中）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 【分析】（1）设甲商品的标价是x元，乙商品的标价是y元，利用总价＝单价×数量，结合前两次购买的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设商场是打m折出售这两种商品的，利用总价＝单价×数量，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设甲商品的标价是x元，乙商品的标价是y元， 依题意得：， 解得：， 答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元； （2）设商场是打m折出售这两种商品的， 依题意得：9×80×0.1m+8×100×0.1m＝1064， 解得：m＝7， 答：商场是打7折出售这两种商品的． 题型七　三元一次方程（组） 例题： 1．（2024春•西湖区校级期中）实数x，y，z满足2x+y+3z＝5，x+2y﹣z＝﹣4，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A．3x+7z＝14 B．3x+5z＝14 C．3x+7z＝6 D．3x+5z＝6 【分析】利用加减消元法求解即可． 【解答】解：， ①×2﹣②得，3x+7z＝14． 故选：A． 2．（2024•拱墅区一模）已知方程组，则x+y+z的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答． 【解答】解：， ①+②+③得：2x+2y+2z＝4+6+8， 解得：x+y+z＝9， 故选：A． 3．（2023秋•镇海区校级期末）解方程：． 【分析】先利用因式分解﹣分组分解法可得：（y+1）（x+1）＝﹣2①，（z+1）（y+1）＝﹣6②，（x+1）（z+1）＝12③，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵xy+x+y+3＝0， ∴x（y+1）+y+1+2＝0， x（y+1）+y+1＝﹣2， （y+1）（x+1）＝﹣2①， ∵yz+y+z+7＝0， ∴y（z+1）+z+1+6＝0， y（z+1）+z+1＝﹣6， （z+1）（y+1）＝﹣6②， ∵zx+z+x﹣11＝0， ∴z（x+1）+x+1﹣12＝0， z（x+1）+x+1＝12， （x+1）（z+1）＝12③， ①÷②得：， ∴x+1（z+1）④， 把④代入③得：（z+1）2＝12， 解得：z＝5或z＝﹣7， 当z＝5时， 把z＝5代入②得：6（y+1）＝﹣6， 解得：y＝﹣2， 把z＝5代入③得：6（x+1）＝12， 解得：x＝1； 当z＝﹣7时， 把z＝﹣7代入②得：﹣6（y+1）＝﹣6， 解得：y＝0， 把z＝﹣7代入③得：﹣6（x+1）＝12， 解得：x＝﹣3； ∴原方程组的解为：或． 巩固训练 4．（2024秋•东阳市期末）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为（　　） A．68 B．70 C．72 D．74 【分析】根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解． 【解答】解：设一班为x人，二班有y人，三班由z人， 则：， 方程组可化为： ， ①+②+③得：4（x+y+z）＝280， ∴x+y+z＝70， 故选：B． 5．（2024春•沭阳县校级月考）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　﹣1　，x+y＝　5　； （2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值． 【分析】（1）由方程组的两式相减与相加即可得出结果； （2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，由题意列出方程组，即可得出结果； （3）由定义新运算列出方程组，求出a+b+c＝﹣11，即可得出结果． 【解答】解：（1）， 由①﹣②得：x﹣y＝﹣1， ①+②得：3x+3y＝15， ∴x+y＝5， 故答案为：﹣1，5； （2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 由题意得：， 由①×2﹣②得：m+n+p＝6， ∴5m+5n+5p＝5×6＝30， 答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元； （3）由题意得：， 由①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11， ∴1*1＝a+b+c＝﹣11． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$