专题03 反比例函数及其应用【九大考点+知识串讲】-2025年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题03 反比例函数及其应用 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：y=，y=，xy=k.（其中k为常数，且k≠0） （二）反比例函数图像性质 反比例函数 的符号 所在象限 一、三象限 二、四象限 大致图像 增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。 对称性 图像关于原点对称；关于y=x、y=-x对称 （三）待定系数发生求解析式 ①设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）； ②把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出解析式 （四）反比例函数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|. （2）常见的面积类型：（基础） （五）反比例函数与一次函数综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（－a,－b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. （六）反比例函数实际应用 （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 模块三 考点一遍过 考点1：反比例函数定义 典例1：下列关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数定义是解题的关键． 形如且为常数，称为反比例函数，根据反比例函数解析式的定义即可解答本题． 【详解】解：A、可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故A选项符合题意； B、，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故B选项不符合题意； C、，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故C选项不符合题意； D、，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】若为关于的反比例函数，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查反比例函数的定义和解一元一次方程，形如的函数，叫反比例函数．根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵为关于的反比例函数， ∴， 解得， 故选C． 【变式2】若是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的解析式是解题的关键．根据反比例函数的定义可得且，求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， 且， 解得， 故答案为：． 【变式3】已知函数是反比例函数，则 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据反比例函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，正确得出关于的等式是解题关键．直接利用反比例函数的定义得出的值，再利用系数不能等于0，进而得出答案． 【详解】解：∵ 则， 解得： ． 故答案为：． 考点2：反比例函数图像 典例2：小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 【答案】(1)①，③见详解 (2)①增大，② (3)①向右平移1个单位;②向右平移个单位 【知识点】求反比例函数值、判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数的增减性、图形的平移 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①直接把和分别代入，进行计算，③用平滑的曲线顺次连接即可作答． （2）运用数形结合思想即可作答①②． （3）运用类比法得出平移规律，即可作答． 【详解】（1）解：①把代入， 得 把代入， 得； 故答案为：， ②描点：如图所示； ③如图所示： （2）解：①当时，随的增大而减小； ②函数的图象的对称中心是， 故答案为：增大，； （3）解：①结合图象，得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的； ②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的， ∵与的分母差值为， ∴函数的图象经平移可以得到函数的图象向右平移个单位得到的 【变式1】如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点． (1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围． (2)若，求自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式、由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式 【分析】（1）先根据已知点的坐标利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据图像的位置确定自变量的取值范围即可． （2）先求出时对应的的值，再根据反比例函数图像特征写出时，自变量x的相应的取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴该曲线所表示的函数的解析式； （2）把代入得，， 由图像得，当时，． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，以及从点入手思考自变量的取值范围． 【变式2】在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：    (1)画出函数的图象； ①由分式有意义可知，函数中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）． (2)画出函数的图象； (3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、判断（画）反比例函数图象、根据反比例函数的定义求参数、画一次函数图象 【分析】本题考查了画反比例函数图象以及一次函数与反比例函数交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答． （2）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答． （3）观察（2）的图象，易得两个函数交于点，运用数形结合思想得x的取值范围为或． 【详解】（1）解：①由分式有意义可知，函数中自变量x取除0以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象，如图所示：    （2）解：关于函数，先列表： x 1 2 4 y 3 6 如图所示：    （3）解：由（2）得出，两个函数交于点，当函数的值大于函数的值，则x的取值范围为或． 【变式3】已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】判断（画）反比例函数图象、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法： （1）将，代入解析式求解． （2）根据函数解析式及表格作图． 【详解】（1）解：把，代入得，， 解得； （2）解：由（1）知反比例函数的解析式为， ∴当时，， 描点，连线，则该函数图象如图所示． 考点3：反比例函数的增减性 典例3：已知反比例函数，当时，随的增大而减小，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．与的值有关，无法确定 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例的增减性，一元二次方程根的判别式，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．据此可得，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而减小， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B. 【变式1】对于反比例函数，下列说法中错误的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．图象经过点 C．图象与坐标轴无交点 D．图象分布在第一、三象限 【答案】A 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法即可解题． 【详解】解：对于反比例函数， A、y随x的增大而减小，错误，应注意其，增减性应给定自变量范围，符合题意； B、图象经过点，正确，不符合题意； C、图象与坐标轴无交点，正确，不符合题意； D、图象分布在第一、三象限，正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】当时，反比例函数随x的减小而增大，则m的值为 ，图象在第 象限． 【答案】 一、三 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、判断反比例函数图象所在象限、求反比例函数解析式、因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了反比例函数的定义、解一元二次方程、反比例函数的图象和性质等知识． 根据定义得到，解得，，再根据当时，反比例函数随x的减小而增大得到，图象分别在第一、三象限． 【详解】解：根据题意，得， ∴ 解得， ∵当时，反比例函数随x的减小而增大， ∴， ∴ ∴， 此时图象分别在第一、三象限． 故答案为：，一、三 【变式3】已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 考点4：反比例函数图像性质——比较大小 典例4：若点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先判断出反比例函数的图象所在的象限，再根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限随的增大而减小， 点，，均在第三象限， ， ． 故选：B． 【变式1】已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，反比例函数的性质；先根据题意得出的值，进而根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得： ∴反比例数解析式为 ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】已知点，，都在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系是 ．（用“>”连接） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查的是比较反比例函数值的大小，解题的关键是掌握反比例函数的性质．先判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大． ， ∴，在第四象限，在第二象限， ∴的大小关系是． 故答案为：． 【变式3】已知反比例函数与，当时，的最小值为，的最小值为，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出k与a的关系是解题关键．根据反比例函数在上的增减性，可得，，即可求得，的值． 【详解】对于反比例函数，当时，的最小值为， 当时，， 即， 对于反比例函数，当时，的最小值为， 当时，， ， 解得， ． 故答案为：3． 考点5：反比例函数k的几何意义 典例5：如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数n的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，    ∵，， ∴． ∴． ∴ ． ∵点在第二象限， ∴． 故选：A． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，A、B是函数图象上两点，坐标分别是、．若的面积为16，则k值为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】此题考查了反比例函数图象和性质，涉及了割补法求解三角形面积，熟练掌握反比例函数的有关性质是解题的关键． 过点作轴，过点作轴，反向延长交于点，利用割补法表示出的面积，即可求解． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，反向延长交于点，如下图： 则四边形为矩形， 点的横坐标分别为，， 则、， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点A的坐标为， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的平行线交的图像于点，连接交于点，若点是的中点，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，过点B作于点E，根据反比例函数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点B作于点E， ∵点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点B是反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， 故选：B． ． 【变式3】如图，点，都是双曲线上的点，连接并延长交轴于点，已知，的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点，过点作于点，证明，则，设，则，，点，然后通过三角形面积即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式4】如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可，求出，即可得解． 【详解】解：如图：令交轴于， ∵点在反比例函数上，且轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是7，则k的值为 ． 【答案】12 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段，交y轴于点E，由于轴，所以轴，故四边形是矩形，由于点A在双曲线上，所以，同理可得，由即可得出k的值． 【详解】解：∵双曲线在第一象限， ∴， 延长线段，交y轴于点E， ∵轴 ∴轴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴． 故答案为：12． 【变式6】如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3， ， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 即 故答案为：． 【变式7】如图，过坐标原点O的直线与两函数，的图象分别交于A，B两点，作轴于H，连接交x轴于点C，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，相似三角形的判定与性质，由反比例函数的的几何意义即可判断①；由相似三角形的判定与性质即可判断②③④，从而得解． 【详解】解：由反比例函数的几何意义可得：，故①正确，符合题意； 如图，作轴于， ， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故③错误，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 考点6：求反比例函数解析式 典例6：已知y与x成反比例，且当时，． (1)求函数的关系式； (2)当时，y的值是多少？ 【答案】(1) (2)8 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题考查的是反比例的含义，求解反比例函数解析式； （1）设解析式，然后把一组对应值代入求出k即可； （2）把x的值代入（1）中解析式即可得到对应的函数值． 【详解】（1）解：设解析式为：， 把，代入得， 所以函数解析式为； （2）当时，． 【变式1】已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运用，反比例函数增减性是解题的关键． （1） 把代入，运用待定系数法计算即可求解； （2）由解析式可得函数图象位于第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：， 函数图象位于第二、四象限， 点，，都在反比例函数的图象上，， ， ． 【变式2】已知与成反比例，当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的关系式． （1）根据与成反比例关系，且当时，求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式； （2）把代入求出x的值即可 【详解】（1）解：∵与成反比例关系， ∴， ∵当时，，即， 解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：∵由（1）知y与x的关系式为， ∴当时，， 解得：． 【变式3】反比例函数（部分）与一次函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B是反比例函数图像上的一点，过点B作x轴的平行线，交y轴于点D，交一次函数图像于点C．当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出反比例函数解析式． （1）先把代入，求出m的值，然后再将点A代入求出反比例函数解析式即可； （2）先根据题意求出，，然后再求出的值即可． 【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于点， ， ， 即， 反比例函数为； （2）解：根据题意得：轴， ∴轴于点， ， 、的纵坐标为1， 把代入，得，把代入，得， ，， ． 考点7：反比例函数与一次函数 典例7：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，若已知．      (1)分别求一次函数与反比例函数的关系式； (2)点为y轴负半轴上一点，若的面积为16，求a的值； (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题考查求一次函数与反比例函数的解析式，根据函数图象解不等式，反比例函数图象上点与y轴上点围成图形面积问题，解题的关键是求出解析式，并学会看图象． （1）将代入 求出m，再将代入求出n，最后将、代入一次函数即可得到答案； （2）解出一次函数图象与y轴的交点，根据，求出，即可得到答案； （3）根据函数图像直接求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入得； ∴反比例函数解析式为， 把代，得， ∴， 把，分别代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：设一次函数图象与y轴交点为C，    在中，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点C的坐标为， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵点为y轴负半轴上一点， ∴a的值为； （3）解：由图象可得，当反比例函数图像在一次函数下方时， ∴的解为：或． 【变式1】如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足时的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据值的几何意义，得到，进而求出，设出点坐标，列出方程进行求解即可； （3）找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴； （2）设点， ∵点在双曲线上，轴， ∴， ∴， ∴，解得：或， ∴或； （3）由图象可知：当时，直线在双曲线的上方， ∴的取值范围为：． 【变式2】已知双曲线与直线交于点， (1)当，时，求的值； (2)用，表示； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，把函数转化为方程是解题的关键． （1）把，代入得，再联立方程，整理后运用根与系数的关系求解即可； （2）方法同（1）可得； （3）由题意可知，是方程的两个根，方程整理得，利用根与系数的关系，由求得，则是正比例函数，利用正比例函数与反比例函数的中心对称性即可求得． 【详解】（1）解：把，代入得， 联立方程， 整理得， ∵是方程的两个根， ∴； （2）解：∵反比例函数与直线交于点，， ∴是方程的两个根， 方程整理得， ∴； （3）解：∵反比例函数与直线交于点，， ∴是方程的两个根， 方程整理得， ∵， ∴， ∴， ∴一次函数为（是常数）， ∴点，关于原点对称， ∴． 【变式3】如图，直线：与双曲线相交于点，将直线向上平移个单位得到，直线与双曲线相交于、两点（点在第一象限），交轴于点，连接． (1)求双曲线和线段所在直线的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，线段所在直线的解析式； (2)． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数和反比例函数是解题的关键． （1）由点在直线上可知，再代入 中求的值可得双曲线，将向上平移了个单位得到的解析式为，联立与双曲线解析式求交点坐标，根据、的坐标，即可求得线段所在直线的解析式； （2）由（1）得：，当时，，得，过作轴于，过作轴于，利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵是与的交点， ∴， ∴． 把代入，得． ∴双曲线的解析式为， ∵直线：， ∴将直线向上平移个单位得到：， 联立与得， 解得或（舍去）， ∴， 设线段所在直线的解析式， 把，代入得 解得， ∴线段所在直线的解析式； （2）解：由（1）得：， 当时，， ∴， 如图，过作轴于，过作轴于， ∵，，，， ∴ ． 【变式4】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．    (1)求一次函数及反比例的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，当S的值最小时，求出点P的坐标及S的最小值． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)点P的坐标为或，S的最小值为． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、二次函数的应用等知识． （1）将代入得b，即得一次函数的解析式，将代入得k，将代入一次函数解析式得m； （2）由图象可得，一次函数与反比例函数的图象交于点和，根据直线在双曲线下方的部分的自变量的范围即可求解； （3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是， 把代入得到 ， 解得， ∴反比例函数解析为； ∵在一次函数的图象上， ， ； （2）由图象可得，一次函数与反比例函数的图象交于点和， 则得解集为：或； （3）∵点P是线段上一点，设， ∴， ∴， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴当或时，有最小值，且最小值是． 此时点P的坐标是或 【变式5】如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接并延长与反比例函数的图象交于另一点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，解题的关键是根据相似三角形的性质进行分类讨论． （1）将点的坐标代入关系式,，即可求出答案； （2）分点在轴的正半轴和负半轴两种情况讨论。点在轴的正半轴时，不可能相似；点落在轴的负半轴时，分,两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， ， 反比例函数的解析式为：； 将代入一次函数中， ， ， 直线的解析式为：． （2）解：， ， 当点落在轴的正半轴上， 则， 与不可能相似． 当点落在轴的负半轴上， 若，则． ， ， ． 若，则． ， ． ， ， ． 综上所述：点的坐标为，． 【变式6】如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，． (1)______，______，______． (2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式． (3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8；；3 (2)当时，；当时，； (3)或 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线的解析式求解，即可求出一次函数解析式； （2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案； （3）先求出，，再分两种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案． 【详解】（1）反比例函数的图象经过，两点， ，， ，，反比例函数解析式是， 把，分别代入得， ， 解得：， 故答案为：，，； （2）由（1）知，一次函数解析式为， 由题意得，，， ，， 当时，； 当时，； （3）在第二象限内存在点Q，使得是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点；理由如下： 由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 令，则， ∴， ∴，， ∴，，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴①当时，， 过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当时，同①的方法得，； 即满足条件的点Q的坐标为或． 【变式7】如图，已知直线与双曲线交于、两点，且点的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点，过点作轴交直线于点． (1)直接写出的值及点的坐标； (2)求线段的长； (3)如果在直线上有一点，且满足的面积等于，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求一次函数与正比例函数解析式，三角形面积； （1）先求得点坐标，再代入直线解析式可求得的值，根据对称性可求得点坐标； （2）由反比例函数解析式可求得点坐标，由直线解析式可求得点坐标，可求得的长； （3）可设坐标为，分点在线段的延长线上和线段的延长线上两种情况，分别表示出的面积，可求得的值，可求得的坐标． 【详解】（1）解：在双曲线上，且的纵坐标为， 坐标为， 代入直线，可得，解得， 又、关于原点对称， 点的坐标为． （2）点在双曲线上，代入，得 ，解得： 轴，且点在直线上， 可设点的坐标为．代入，得 解得： 点的坐标为． ． （3）∵点在上，设点的坐标为，． ①当点在的延长线上时，， 解得： 点的坐标为． ②当点在的延长线上时，， 解得： 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为，． 考点8：反比例函数的实际应用 典例8：【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂，如图1，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体． 10 20 30 40 50 … … 8 2 … (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是________________． ②完成表格：______________；________________． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，；③见解析 (3)或 【知识点】实际问题与反比例函数、坐标与图形综合、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）根据题意，直接根据求解即可； （2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （3）由题意，设，利用坐标与图形性质得 ，进而由解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴重物所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①由得，则， ∴关于的函数解析式为； ②当时，； 当时，； ③列表： 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … 描点，连线，可得该函数的图象： （3）解：如图， 由题意，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴ , 由得， 解得，， 经检验，和是所列方程的解， 当时，，当时，， ∴点C的坐标为或． 【变式1】在物理实验室小红设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长且质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处挂一个重的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点O距离，看弹簧测力计的示数的变化情况．在做此实验后，得到的数据如表所示． 第1组 第2组 第3组 第4组 L/cm a 30 32 37.5 F/N 4.8 4 b 3.2 (1)在已学过的函数中选择合适的模型，求与的函数表达式； (2)补充表中数据：______，______； (3)在实验中发现，在弹簧测力计承受范围内，为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就______ A．变大    B．变小    C．不变 (4)若弹簧测力计的最大量程是，求L的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)A (4) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，理解题目中数量关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键． （1）由表格中第2组和第4组的数据可得，从而可得结论； （2）根据（1）中关系式可得结论； （3）根据实验可得为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就变大； （4）根据弹簧秤的最大量程是5牛，即可得到结论． 【详解】（1）解：表格数据知． F与L的函数关系式为：； （2）解：在中， 当时，，所以，； 当时，, 故答案为：25；； （3）解：根据实验可得为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就变大； 故选：A； （4）解：当时，由得． 由题意可知，， ∴根据反比例函数的图象与性质可得，L的取值范围为． 【变式2】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 【变式3】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数上课时间（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数是时间的一次函数．10分钟以后注意力指数是的反比例函数． (1)当时，求关于的函数关系式； (2)当时，求关于的函数关系式； (3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲完这道题？ 【答案】(1) (2) (3)在第至第分钟讲完这道题 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （）根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式； （）根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式； （）分别令一次函数和反比例函数值大于等于求得的取值范围后相减即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，设， 将、两点代入得：， 解得：，， ∴关于的函数关系式是； （2）解：当时，设， 将代入得：， ∴关于的函数关系式是； （3）解：当时，，解得：， 当时，； 解得：， ∴老师本节课应该在第至第分钟讲完这道题． 【变式4】【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2 … (1)______，______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______． 【答案】(1)2； (2)①见解析；②逐渐减小 (3) 【知识点】实际问题与反比例函数、一次函数与反比例函数的交点问题、用描点法画函数图象、判断反比例函数的增减性 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，由得， 当时，； （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：    ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小； （3）解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，    由图知，当时，， 即当时，的解集为． 【点睛】本题主要考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 【变式5】心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分，注意力指标数越大，学生的注意力越集中）． (1)分别求出线段和曲线的函数解析式； (2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？ (3)为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标--探究思考，归纳新知—辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请写出如何安排此环节的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)第35分钟时学生的注意力更集中，见解析 (3)要求能够实现，见解析 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用． （1）从图象上看，表示的函数为一次函数 ，为反比例函数的一部分，设出解析式，代入数值可以解答； （2）把和的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出； （3）求出40相对应的自变量的取值范围，与30相比较，得出答案． 安排时间具体方案答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：设，把代入函数解析式得 ， 解得： ∴， 设，把代入函数解析式解得； （2）解：把代入，得， 把代入， 得， 因为，所以第35分钟时学生的注意力更集中； （3）解：由题意知，注意力指数不低于40 当即；同时，即 即当开始上课分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40． 而 ∴要求能够实现． 具体方案答案不唯一，合理即可． 例1：探究思考，归纳性质环节不早于分钟开始，不早于分钟结束． 例2：探究思考，归纳性质环节不晚于分钟开始，不晚于分钟结束． 考点9：反比例函数与几何综合 典例9：如图1，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象交于另一点，射线与y轴交于点C，，轴于点D． (1)填空： ①k的值为__________． ②_________；直线的函数解析式为__________． (2)如图2，M是线段上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线轴，与交于点N，连接．求面积的最大值． 【答案】(1)①；②； (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了待定系数法确定反比例函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函数的最大值，锐角三角函数，坐标与图形等知识点．综合性比较强．掌握待定系数法及二次函数最大值的求法是关键． （1）①由点在反比例函数图象上，用待定系数法确定反比例函数的解析式； ②由反比例函数解析式先求出点的坐标，过作于，可得到、间的长度关系，从而得到的度数，再根据的度数求出，从而得到的值，根据的值及线段的和差关系，求得点的坐标，从而确定一次函数的解析式； （2）设的横坐标为，可知道、点的坐标，利用三角形的面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质，得到的最大面积． 【详解】（1）①解：∵反比例函数的图象经过点， ， ． 故答案为：． ②解：∵，所以反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， 过作于， 则． ， 又， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：；． （2）解：设， 则， 则， ∴ ， ∵，， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． 【变式1】如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接、、记、的面积分别为、． (1)①点坐标为______； ② ______（填“”、“”、“”）； (2)当点为线段的中点时，求的值及点坐标； (3)当时，试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1)①；② (2)，点坐标为： (3)是直角三角形，的面积为 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理逆定理的应用以及反比函数系数k的几何意义，图形与坐标，求出的长是解题的关键． （1）①根据矩形的性质得故可得点B的坐标；②由三角形面积公式可得结论； （2）由点为中点可得点的坐标，代入求出，即可得反比例函数解析式为，求出当时即可得出点的坐标； （3）由且可求出，得，分别求出，，，再根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，求出的长，再根据面积公式可得结论． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴， 则点坐标为， 反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点， ∴、的面积分别为，，，得出， ，， ； 故答案为：；； （2）解：当点为中点时，， 的坐标是， 把代入得：， ． 点坐标为， 点横坐标为：， ， ， 点坐标为：； （3）解：当时，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 的面积为：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． (1)求反比例函数的表达式及点、的坐标； (2)观察图象，当时，写出关于的不等式的解集； (3)若点在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、矩形性质理解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据点B的坐标，矩形的性质可求点M的纵坐标，点N的横坐标，把点M的纵坐标、点N的横坐标代入直线解析式可求点M的横坐标、点N的纵坐标，把点M的坐标代入反比例函数解析式即可求出k，即可求解； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据割补法求出四边形面积，然后根据“的面积是四边形面积的3倍”可求点P的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， 把的坐标代入得： 解得， ∴反比例函数的表达式是． 将代入得：， ∴． （2）解：当时，的解集为或． （3）解：由题意可得： ， ∵的面积是四边形面积的3倍， ∴， 即，解得， ∴． 【变式3】已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为6，轴，垂足为点，点为双曲线上点右侧的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，过点作于点，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是射线上一点，若的面积为3，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图像和性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数表达式． （1）首先求出点的坐标为，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先由，设，则，然后得到，然后代入求解即可； （3）法一：如图所示，过点作轴交的延长线于点，首先求出的表达式为，设点坐标，则点坐标为，然后根据的面积为3，求出，进而求解即可； 法二：如图所示，过点作的平行线，过点作轴的平行线，两直线交于点，首先推出的面积为3，得到，求出，然后求出的表达式为，表达式为，然后联立求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 点的坐标为． 将代入得，解得， 反比例函数表达式为； （2） 设，则， ， 将代入得： ， 解得：（舍），， ； （3）法一：如图所示，过点作轴交的延长线于点， 设的表达式为， 代入、得 ，解得：， 的表达式为； 设点坐标，则点坐标， ， 的面积为3， ， ， 解得：； 将代入得：， 所以点坐标为：； 由中点坐标公式可得另外一个点坐标为； 法二：如图所示，过点作的平行线，过点作轴的平行线，两直线交于点， 与同底等高， 的面积为3， ，    ， ，   ， ， 设的表达式为， 代入、得， 解得， 的表达式为， 设表达式为， 将代入得：， 表达式为， 联立得，解得， ∴点坐标为：； 由中点坐标公式可得另外一个点坐标为． 【变式4】如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，求出点D坐标，然后确定点C、E的坐标，最后根据点C的坐标确定反比例函数解析式即可； （2）求出平移后E，B，C的对应点的坐标，求出直线的解析式，再构建方程组求出点F的坐标即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点D作于点H． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：对于反比例函数， 当时，， ∴平移后点E恰好在反比例函数的图象上时，点E的对应点， ∴菱形向右平移了4个单位， ∴B，C的对应点， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， 由，解得：或， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴点F的坐标为， ∴点F到x轴的距离为． 【变式5】如图，已知在矩形中，，，点P从点B出发，沿射线方向一直运动．连接、，过点D作的高，设的长为x，的长为y．请解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； (2)根据函数表达式，在坐标系中画出函数图象，并写一条该函数的性质：________； (3)若，在图2中画出该图象，并直接写出当时x的取值范围________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质． （1）由矩形的性质可得，，即，再由即可得解； （2）画出函数图象，由函数图象即可得解； （3）画出函数图象，由函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵设的长为x，的长为y． ∴， ∴； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出函数图象如下： 由图象可得：该函数随着的增大而增大； （3）解：联立，解得：或， ∴与的公共交点为和， 画出函数图象如图： 由图象可得：当时x的取值范围或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 反比例函数及其应用 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：y=，y=，xy=k.（其中k为常数，且k≠0） （二）反比例函数图像性质 反比例函数 的符号 所在象限 一、三象限 二、四象限 大致图像 增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。 对称性 图像关于原点对称；关于y=x、y=-x对称 （三）待定系数发生求解析式 ①设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）； ②把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出解析式 （四）反比例函数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|. （2）常见的面积类型：（基础） （五）反比例函数与一次函数综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（－a,－b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. （六）反比例函数实际应用 （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 模块三 考点一遍过 考点1：反比例函数定义 典例1：下列关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若为关于的反比例函数，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】若是反比例函数，则的值为 ． 【变式3】已知函数是反比例函数，则 考点2：反比例函数图像 典例2：小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 【变式1】如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点． (1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围． (2)若，求自变量t的取值范围． 【变式2】在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：    (1)画出函数的图象； ①由分式有意义可知，函数中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空． x 1 1.5 2 3 4 6 y 6 4 3 2 1.5 1 ②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）． (2)画出函数的图象； (3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出x的取值范围． 【变式3】已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 考点3：反比例函数的增减性 典例3：已知反比例函数，当时，随的增大而减小，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．与的值有关，无法确定 【变式1】对于反比例函数，下列说法中错误的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．图象经过点 C．图象与坐标轴无交点 D．图象分布在第一、三象限 【变式2】当时，反比例函数随x的减小而增大，则m的值为 ，图象在第 象限． 【变式3】已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 考点4：反比例函数图像性质——比较大小 典例4：若点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知点，，都在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系是 ．（用“>”连接） 【变式3】已知反比例函数与，当时，的最小值为，的最小值为，则的值是 ． 考点5：反比例函数k的几何意义 典例5：如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数n的值为（   ） A． B． C． D．3 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，A、B是函数图象上两点，坐标分别是、．若的面积为16，则k值为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式2】如图，点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的平行线交的图像于点，连接交于点，若点是的中点，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】如图，点，都是双曲线上的点，连接并延长交轴于点，已知，的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式4】如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为 ． 【变式5】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是7，则k的值为 ． 【变式6】如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【变式7】如图，过坐标原点O的直线与两函数，的图象分别交于A，B两点，作轴于H，连接交x轴于点C，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 考点6：求反比例函数解析式 典例6：已知y与x成反比例，且当时，． (1)求函数的关系式； (2)当时，y的值是多少？ 【变式1】已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 【变式2】已知与成反比例，当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【变式3】反比例函数（部分）与一次函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B是反比例函数图像上的一点，过点B作x轴的平行线，交y轴于点D，交一次函数图像于点C．当时，求线段的长． 考点7：反比例函数与一次函数 典例7：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，若已知．      (1)分别求一次函数与反比例函数的关系式； (2)点为y轴负半轴上一点，若的面积为16，求a的值； (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 【变式1】如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足时的取值范围． 【变式2】已知双曲线与直线交于点， (1)当，时，求的值； (2)用，表示； (3)若，求的值． 【变式3】如图，直线：与双曲线相交于点，将直线向上平移个单位得到，直线与双曲线相交于、两点（点在第一象限），交轴于点，连接． (1)求双曲线和线段所在直线的解析式； (2)求四边形的面积． 【变式4】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．    (1)求一次函数及反比例的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，当S的值最小时，求出点P的坐标及S的最小值． 【变式5】如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接并延长与反比例函数的图象交于另一点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【变式6】如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，． (1)______，______，______． (2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式． (3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7】如图，已知直线与双曲线交于、两点，且点的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点，过点作轴交直线于点． (1)直接写出的值及点的坐标； (2)求线段的长； (3)如果在直线上有一点，且满足的面积等于，求点的坐标． 考点8：反比例函数的实际应用 典例8：【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂，如图1，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体． 10 20 30 40 50 … … 8 2 … (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是________________． ②完成表格：______________；________________． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【变式1】在物理实验室小红设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长且质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处挂一个重的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点O距离，看弹簧测力计的示数的变化情况．在做此实验后，得到的数据如表所示． 第1组 第2组 第3组 第4组 L/cm a 30 32 37.5 F/N 4.8 4 b 3.2 (1)在已学过的函数中选择合适的模型，求与的函数表达式； (2)补充表中数据：______，______； (3)在实验中发现，在弹簧测力计承受范围内，为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就______ A．变大    B．变小    C．不变 (4)若弹簧测力计的最大量程是，求L的取值范围． 【变式2】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【变式3】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数上课时间（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数是时间的一次函数．10分钟以后注意力指数是的反比例函数． (1)当时，求关于的函数关系式； (2)当时，求关于的函数关系式； (3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲完这道题？ 【变式4】【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2 … (1)______，______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______． 【变式5】心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分，注意力指标数越大，学生的注意力越集中）． (1)分别求出线段和曲线的函数解析式； (2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？ (3)为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标--探究思考，归纳新知—辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请写出如何安排此环节的时间；如果不能，请说明理由． 考点9：反比例函数与几何综合 典例9：如图1，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象交于另一点，射线与y轴交于点C，，轴于点D． (1)填空： ①k的值为__________． ②_________；直线的函数解析式为__________． (2)如图2，M是线段上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线轴，与交于点N，连接．求面积的最大值． 【变式1】如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接、、记、的面积分别为、． (1)①点坐标为______； ② ______（填“”、“”、“”）； (2)当点为线段的中点时，求的值及点坐标； (3)当时，试判断的形状，并求的面积． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． (1)求反比例函数的表达式及点、的坐标； (2)观察图象，当时，写出关于的不等式的解集； (3)若点在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的3倍，求点的坐标． 【变式3】已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为6，轴，垂足为点，点为双曲线上点右侧的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，过点作于点，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是射线上一点，若的面积为3，求点的坐标． 【变式4】如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离． 【变式5】如图，已知在矩形中，，，点P从点B出发，沿射线方向一直运动．连接、，过点D作的高，设的长为x，的长为y．请解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； (2)根据函数表达式，在坐标系中画出函数图象，并写一条该函数的性质：________； (3)若，在图2中画出该图象，并直接写出当时x的取值范围________． 学科网（北京）股份有限公司 $$