黄金卷03（北京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷03 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B B A B D B 二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．x≥﹣3 10． 11． 12． 2 13． 13.600 14． 14.80 15. 16. ① 1380 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17.【详解】解： （3分） （5分） 18.【详解】解：解不等式得：，（2分） 解不等式得：，（4分） 不等式组的解集为：．（5分） 19．【详解】解： ．（2分） ， ． 原式．（5分） 20．【详解】（1）证明：∵点D是的中点，点E是的中点， ∴是的中位线，则且， ，分别是，的中点， ∴是的中位线， 且， 且， 四边形是平行四边形．（2分） （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴点O是的中点， ， 点分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 点D是的中点， ， ．（6分） 21．【详解】解：设每台机器每天可以生产件衣服，则 （3分） 解得： （5分） 答：每台机器每天可以生产件衣服．（6分） 22．【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式；（2分） （2）解：由（1）得：一次函数的解析式， 当时，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 把代入得：， ∴， 解得：． 当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值， ∴（5分） 23．【详解】（1）解：由题意得，； 把丙的五次成绩按照从低到高排列为：， ∴丙成绩的中位数为分，即； 故答案为：；；（2分） （2）解：由统计图可知，甲的成绩的波动比丙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好， 故答案为：甲；（3分） （3）解：应该推荐甲选手，理由如下： 甲的中位数和平均数都比丙的大，且甲的成绩稳定性比丙好，甲的中位数比乙的大， ∴应该推荐甲选手．（5分） 24.【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴；（2分） （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵过点作的切线，交的延长线于点， ∴， ∴．（6分） 25.【详解】解：验证关系：将代入得：， 即， 解得：； ；（2分） 深入探究：根据图象近似一条直线， 设斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为：， 将代入得：， 解得：， 斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为：， 斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为正比例函数：； 综合应用：由题意得：， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， 小车下滑所需时间为s．（5分） 26.【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为．（2分） （2）将代入得， 将代入得，∴．（4分） （3）∵抛物线对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称点为， ∵抛物线开口向上，， ∴， ∵ ∴， 解得．（6分） 27.【详解】解：（1）EF＝CF， 理由：∵DE⊥AB， ∴∠ACB＝∠DEB＝90°， ∵F是BD的中点， ∴EF＝CF＝BD； 故答案为：EF＝CF；（2分） （2）EF＝CF， 理由：∵∠AED＝∠ACB＝90°，CM和EN是△ABC和△ADE斜边上的中线， ∴CM＝BM＝AM＝AB，AN＝EN＝DN＝AD， ∵点F是BD的中点， ∴BF＝FD， ∴AN+BF＝DN+DF＝FN＝AB， ∴FN＝CM＝AM， ∵FM＝FN﹣MN，AN＝AM﹣MN， ∴FM＝AN， ∴FM＝EN， ∵△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上， ∴∠EAD＝∠CAB， ∵∠EAN＝∠AEN，∠MAC＝∠ACM， ∴∠ENF＝∠EAN+∠AEN＝2∠EAN，∠CMF＝∠CAM+∠ACM＝2∠CAM， ∴∠ENF＝∠CMF， 在△EFN与△FCM中，， ∴△EFN≌△FCM（SAS）， ∴EF＝CF； 故答案为：EF＝CF；（4分） （3）猜想，EF＝CF， 理由：如图3中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN． ∵BM＝MA，BF＝FD， ∴MF∥AD，MF＝AD， ∵AN＝ND， ∴MF＝AN，MF∥AN， ∴四边形MFNA是平行四边形， ∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF， 在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°， ∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB， 在△AEN和△ACM中， ∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC， ∵∠MAC＝∠EAN， ∴∠AMC＝∠ANE， 又∵∠FMA＝∠ANF， ∴∠ENF＝∠FMC， ∵AM＝FN，AM＝CM， ∴CM＝NF， 在△MFC和△NEF中，， ∴△MFC≌△NEF（SAS）， ∴FE＝FC．（7分）    28.【详解】（1）连接，即为半径， ∴MH⊥LP， ∴∠LOP＝∠MHP＝90°， , ∴△LOP ∽△MHP， ∴， ∵直线 ∴，，即LO＝、PO＝5， 在Rt△LOP中，由勾股定理可得：，即， 解得：， ∵，， ∴MP＝4， ∴，解得：， 即．（2分） （2）连接，． ∵，， ∴， ∴， ∵在Rt△MHP中，MD＝MH＝2＝， ∴DH是△MHP斜边中线，DH＝2， ∴ ∴．（4分） （3）连接 ∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 若，不妨设， ∴， ∴或－4（舍） ∴， ∴， 联立解得： ∴．（7分） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（  ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，点O在直线上，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，先根据垂直的定义求出，再根据平角的定义即可得到．求出是解题的关键． 【详解】解：， ． ， ． ， 故选：A． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴．有理数减法，绝对值的计算，根据数轴可得，，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，，，， ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意； 故选：B． 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．－4 【答案】B 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于n的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 5．某班体育委员的抽屉里有5个乒乓球，其中有三个是白色的，两个是黄色的，上体育课的时候，他随手从抽屉里同时拿了两个乒乓球，则他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，先列表得到所有等可能的结果数有20种，所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的情况有：种，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：用，，表示三个白色乒乓球， ，表示两个黄色的乒乓球， 列表如下： 所有等可能的结果数有20种，他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的情况有：种， ∴恰好一个白色一个黄色的概率为． 故选A 6．2024年元旦假期，全国文化和旅游市场平稳有序．经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游亿人次，同比增长．则这3天全国国内旅游平均每天出游人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将1.35亿写成科学记数法的形式，再除以3即可得出平均每天出游人数． 本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【详解】亿人=人， 则平均每天出游人数为人． 故选：B． 7．如图，用尺规作图完成下列作图步骤： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线、于点C、D； ②以点B为圆心，以长为半径画，交射线于点，点F与点C在的异侧）； ③以点E为圆心，以长为半径画，交于点N，作射线即可得到，连接、． 则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．， D．的依据是 【答案】D 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键． 由作图可知，，可证，进而可得，，则，，进而可判断各选项的正误． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 8．如图，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中点；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证，根据，可得，根据三角形的内角和可得，即DE平分∠HDC，所以①正确； 利用，得到四边形是矩形，有，，由①有DE平分∠HDC，得，可得,，可证，利用 易证，则有，，所以②正确； 过作于，并延长交于点，得，是的中点，是的中点，是的中点，所以③正确； 根据是等腰直角三角形，，∵是的中点，是的中点，得到，，，易证，所以④正确； 利用AAS证明，则有，，易的，，则不是直角三角形，并 ，即有：，所以⑤不正确； 【详解】解：∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE， ∴ 又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD， ∴，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形， ∴， ，， ∴ ∴， ∴ ∴，∴, 又∵ ∴ ∴由三角形的内角和可得， 即：DE平分∠HDC，所以①正确； ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 由①有DE平分∠HDC，∴ ∵， ∴, ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴，所以②正确； 过作于，并延长交于点， ∵ ∴ 又∵是等腰直角三角形， ∴是的中点， ∵四边形是矩形， ∴是的中点， ∴是的中点，所以③正确； ∵是等腰直角三角形， ∴ 又∵是的中点，是的中点， ∴，，， ∴ 即有：，所以④正确； 在和中， ， ∴， ，， ∵ ∴， ∴ ∴不是直角三角形，并 即有：，所以⑤不正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】x≥﹣3 【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可． 【详解】解：由题意可得2x+6≥0， 解得：x≥﹣3， 故答案为：x≥﹣3． 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义被开方数非负性是解题关键． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 11．方程的解是 ． 【答案】 【分析】将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可得出结果． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并，得：； 经检验，是原方程的解； 故答案为：． 【点睛】本题考查解分式方程，注意解分式方程需要验根． 12．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴，， 又∵， ∴， 即； 即的值为． 故答案为：． 13．某校为了解九年级1000名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取50名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下： 跳绳的个数/个 人数/人 2 5 13 24 6 根据以上数据，估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为 人． 【答案】600 【分析】本题考查了样本估计总体，先求出样本中学生中跳绳的个数不低于175个的人数的百分比，再乘以总数，即可求解；理解样本于总体之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得： （人）， 即估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为600人． 14．如图所示，点A、B、C是上不同的三点，点O在的内部，连接、，并延长线段交线段于点D．若，则 度．    【答案】 【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果． 【详解】解：在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键． 15．如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为 ． 【答案】16 【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明，利用相似的性质即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∵绕点逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．车间里有五台车床同时出现故障． 已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 16 6 30 5 9 若每台车床停产一分钟造成经济损失 10 元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号），最少为 元． 【答案】 ① 1380 【分析】本题考查了有理数的混合运算，要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可，找出方案是解题的关键． 【详解】解：要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，然先修复时间短的，即按5、6、9、16、30分钟顺序修复，即线路①； 此时经济损失为元， 故答案为：①；1380． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：． 【答案】3 【分析】此题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质和特殊角的三角函数值及相关的运算法则． 根据实数的运算法则及绝对值的性质和特殊角的三角函数值化简求解即可． 【详解】解： 18．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：． 19．已知 ， 求代数式 的值． 【答案】1 【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出的值，整体代入计算即可求出值； 【详解】解： ． ， ． 原式． 20．如图，在中，，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由是的中位线，则且，由是的中位线，则且，推出且，由一组对边相等且平行的四边形是平行四边形即可证； （2）由（1）可得点O是的中点，点分别是的中点，结合，可得，根据，易得，则，由勾股定理求出，最后利用勾股定理可求得的长． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点，点E是的中点， ∴是的中位线，则且， ，分别是，的中点， ∴是的中位线， 且， 且， 四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴点O是的中点， ， 点分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 点D是的中点， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形判定与性质、勾股定理的应用、三角形中位线性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用这些知识点． 21．随着毕业季的到来，众多学校开始定制班服．某制衣厂接到一批班服的生产任务，学校要求6天内完成．若工厂安排12台机器开工，则6天后还有800件衣服未完成；若安排16台机器开工，则恰好提前一天完成任务，假设每台机器的工作效率相同，求每台机器每天可以生产多少件衣服． 【答案】每台机器每天可以生产件衣服 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设每台机器每天可以生产件衣服，根据生产的衣服数量关系列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每台机器每天可以生产件衣服，则 解得： 答：每台机器每天可以生产件衣服． 22．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出关于m的不等式，结合图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式； （2）解：由（1）得：一次函数的解析式， 当时，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 把代入得：， ∴， 解得：． 当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值， ∴ 23．在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、丙两位选手的得分折线图： 信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是； 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下： 选手统计量 甲 乙 丙 平均数 m 中位数 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值：_______，_______； (2)从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）； (3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 【答案】(1)； (2)甲 (3)应该推荐甲选手，理由见解析 【分析】本题主要考查了平均数，众数，方差与稳定性之间的关系： （1）根据平均数与众数的定义求解即可； （2）根据统计图可知，甲的成绩的波动比丙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好； （3）从平均成绩，中位数和稳定性等角度出发进行描述即可． 【详解】（1）解：由题意得，； 把丙的五次成绩按照从低到高排列为：， ∴丙成绩的中位数为分，即； 故答案为：；； （2）解：由统计图可知，甲的成绩的波动比丙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好， 故答案为：甲； （3）解：应该推荐甲选手，理由如下： 甲的中位数和平均数都比丙的大，且甲的成绩稳定性比丙好，甲的中位数比乙的大， ∴应该推荐甲选手． 24．如图，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）等弧所对的圆周角相等，得到，直径，得到，根据等角的余角相等，即可得证； （2）证明，求出的长，勾股定理求出的长，三角函数，推出，切线得到，解直角三角形，求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵过点作的切线，交的延长线于点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 25．几百年前，伽利略通过推理与实验验证得到：当小车从斜坡上向下自由滑行时，滑行距离与时间的函数关系为：，其中是初始速度，是滑行时的加速度．小明重返伽利略斜坡实验继续探索． 【实验准备】光滑的斜坡、打点计时器、计算器、直尺等． 【验证关系】将小车从斜坡上向下滑行，得到与的函数关系如下表： （秒） 0.1 0.2 0.3 0.4 （米） 0.06 0.16 0.3 0.48 求出与的值． 【深入探索】在不改变斜坡长度的前提下，小明发现初速度一定时，斜坡角度越大，小车下滑的时间越小．经过反复试验与推理计算，小明得到斜坡角的正弦值与加速度的函数关系，如图所示： 请选择适合的函数模型表示关于的关系． 【综合运用】小车从坡角为，坡长为1.5米的光滑斜坡上下滑，初速度为每秒0.35米，求小车下滑所需时间． 【答案】验证关系：；深入探究：斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为正比例函数：；综合应用：小车下滑所需时间为s 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正比例函数的实际应用，正弦值，读懂并正确理解题意是解题的关键． 验证关系：利用待定系数法求解即可； 深入探究：根据图象近似一条直线，即可解答； 综合应用：根据深入探究所得结论，代入数值计算即可． 【详解】解：验证关系：将代入得：， 即， 解得：； ； 深入探究：根据图象近似一条直线， 设斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为：， 将代入得：， 解得：， 斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为：， 斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为正比例函数：； 综合应用：由题意得：， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， 小车下滑所需时间为s． 26．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若，，比较与的大小，并说明理由； (3)若对于，，都有，则的取值范围为______． 【答案】(1)抛物线顶点坐标为 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）将解析式化为顶点式，即可求解； （2）将，，分别代入解析式，即可求解； （3）根据对称性得出点关于对称轴对称点为，进而根据抛物线的对称性可得，根据已知，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为． （2）将代入得， 将代入得，∴． （3）∵抛物线对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称点为， ∵抛物线开口向上，， ∴， ∵ ∴， 解得． 27．如图1，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF． （1）EF和CF的数量关系为　 　； （2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系　 　； （3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明．    【答案】（1）EF=CF；（2）EF=CF；（3）EF=CF，证明详见解析． 【分析】（1）根据DE⊥AB，可得∠ACB＝∠DEB＝90°，再根据中点平分线段长度可得EF＝CF＝BD，即可证明EF＝CF； （2）根据三角形斜边中线定理可得CM＝BM＝AM＝AB，AN＝EN＝DN＝AD，即可推出FM＝EN，再根据旋转的性质得ENF＝∠CMF，即可证明△EFN≌△FCM（SAS），得证EF＝CF； （3）取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN，通过证明四边形MFNA是平行四边形，可得NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，再通过三角形斜边中线定理和角的和差关系可得CM＝NF，即可证明△MFC≌△NEF（SAS），从而得证FE＝FC． 【详解】解：（1）EF＝CF， 理由：∵DE⊥AB， ∴∠ACB＝∠DEB＝90°， ∵F是BD的中点， ∴EF＝CF＝BD； 故答案为：EF＝CF； （2）EF＝CF， 理由：∵∠AED＝∠ACB＝90°，CM和EN是△ABC和△ADE斜边上的中线， ∴CM＝BM＝AM＝AB，AN＝EN＝DN＝AD， ∵点F是BD的中点， ∴BF＝FD， ∴AN+BF＝DN+DF＝FN＝AB， ∴FN＝CM＝AM， ∵FM＝FN﹣MN，AN＝AM﹣MN， ∴FM＝AN， ∴FM＝EN， ∵△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上， ∴∠EAD＝∠CAB， ∵∠EAN＝∠AEN，∠MAC＝∠ACM， ∴∠ENF＝∠EAN+∠AEN＝2∠EAN，∠CMF＝∠CAM+∠ACM＝2∠CAM， ∴∠ENF＝∠CMF， 在△EFN与△FCM中，， ∴△EFN≌△FCM（SAS）， ∴EF＝CF； 故答案为：EF＝CF； （3）猜想，EF＝CF， 理由：如图3中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN． ∵BM＝MA，BF＝FD， ∴MF∥AD，MF＝AD， ∵AN＝ND， ∴MF＝AN，MF∥AN， ∴四边形MFNA是平行四边形， ∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF， 在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°， ∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB， 在△AEN和△ACM中， ∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC， ∵∠MAC＝∠EAN， ∴∠AMC＝∠ANE， 又∵∠FMA＝∠ANF， ∴∠ENF＝∠FMC， ∵AM＝FN，AM＝CM， ∴CM＝NF， 在△MFC和△NEF中，， ∴△MFC≌△NEF（SAS）， ∴FE＝FC．    【点睛】本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、直角三角形斜边中线定理、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 28．如图所示，以点为圆心的圆与轴，轴分别交于点、、、直线与相切于点，分别交轴，轴于点、． （1）如图1，求半径； （2）如图2，连接，弦交轴于点，若，求的值； （3）如图3，在射线上取一点，连接交于，连接交轴于，若，求点坐标． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）连接HM，先求出点P、L的坐标，再求出LO、PO的长度，继而由勾股定理求得LP，再通过证明△LOP ∽△MHP，根据相似三角形对应边成比例求出HM，即r的长度； （2）连接DE、CE，通过证明，再利用相似比求出DH，CE的长度，继而即可求出cos∠EHD的值； （3）连接，根据圆周角可得进而可得，易证，根据相似三角形对应边成比例性质得，若，不妨设，代入解方程求得x，联立方程即可求解． 【详解】（1）连接，即为半径， ∴MH⊥LP， ∴∠LOP＝∠MHP＝90°， , ∴△LOP ∽△MHP， ∴， ∵直线 ∴，，即LO＝、PO＝5， 在Rt△LOP中，由勾股定理可得：，即， 解得：， ∵，， ∴MP＝4， ∴，解得：， 即． （2）连接，． ∵，， ∴， ∴， ∵在Rt△MHP中，MD＝MH＝2＝， ∴DH是△MHP斜边中线，DH＝2， ∴ ∴． （3）连接 ∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 若，不妨设， ∴， ∴或－4（舍） ∴， ∴， 联立解得： ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握一次函数的性质、圆的性质、余弦的性质、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（  ） A．B．C．D． 2．如图，点O在直线上，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．－4 5．某班体育委员的抽屉里有5个乒乓球，其中有三个是白色的，两个是黄色的，上体育课的时候，他随手从抽屉里同时拿了两个乒乓球，则他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的概率为（    ）． A． B． C． D． 6．2024年元旦假期，全国文化和旅游市场平稳有序．经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游亿人次，同比增长．则这3天全国国内旅游平均每天出游人数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，用尺规作图完成下列作图步骤： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线、于点C、D； ②以点B为圆心，以长为半径画，交射线于点，点F与点C在的异侧）； ③以点E为圆心，以长为半径画，交于点N，作射线即可得到，连接、． 则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．， D．的依据是 8．如图，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中点；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 10．因式分解： ． 11．方程的解是 ． 12．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ． 13．某校为了解九年级1000名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取50名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下： 跳绳的个数/个 人数/人 2 5 13 24 6 根据以上数据，估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为 人． 14．如图所示，点A、B、C是上不同的三点，点O在的内部，连接、，并延长线段交线段于点D．若，则 度．    15．如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为 ． 16．车间里有五台车床同时出现故障． 已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 16 6 30 5 9 若每台车床停产一分钟造成经济损失 10 元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号），最少为 元． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．已知 ， 求代数式 的值． 20．如图，在中，，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当，时，求的长． 21．随着毕业季的到来，众多学校开始定制班服．某制衣厂接到一批班服的生产任务，学校要求6天内完成．若工厂安排12台机器开工，则6天后还有800件衣服未完成；若安排16台机器开工，则恰好提前一天完成任务，假设每台机器的工作效率相同，求每台机器每天可以生产多少件衣服． 22．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23．在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、丙两位选手的得分折线图： 信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是； 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下： 选手统计量 甲 乙 丙 平均数 m 中位数 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值：_______，_______； (2)从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）； (3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 24．如图，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．几百年前，伽利略通过推理与实验验证得到：当小车从斜坡上向下自由滑行时，滑行距离与时间的函数关系为：，其中是初始速度，是滑行时的加速度．小明重返伽利略斜坡实验继续探索． 【实验准备】光滑的斜坡、打点计时器、计算器、直尺等． 【验证关系】将小车从斜坡上向下滑行，得到与的函数关系如下表： （秒） 0.1 0.2 0.3 0.4 （米） 0.06 0.16 0.3 0.48 求出与的值． 【深入探索】在不改变斜坡长度的前提下，小明发现初速度一定时，斜坡角度越大，小车下滑的时间越小．经过反复试验与推理计算，小明得到斜坡角的正弦值与加速度的函数关系，如图所示： 请选择适合的函数模型表示关于的关系． 【综合运用】小车从坡角为，坡长为1.5米的光滑斜坡上下滑，初速度为每秒0.35米，求小车下滑所需时间． 26．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若，，比较与的大小，并说明理由； (3)若对于，，都有，则的取值范围为______． 27．如图1，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF． （1）EF和CF的数量关系为　 　； （2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系　 　； （3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明．    28．如图所示，以点为圆心的圆与轴，轴分别交于点、、、直线与相切于点，分别交轴，轴于点、． （1）如图1，求半径； （2）如图2，连接，弦交轴于点，若，求的值； （3）如图3，在射线上取一点，连接交于，连接交轴于，若，求点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$