专题2.9 相交线与平行线几何模型（6大模型9类题型）（全章几何模型梳理与分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.9 相交线与平行线几何模型（6大模型9类题型）（全章几何模型梳理与分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 【模型1】猪蹄型 已知：如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E. 证明：如图，过点E作MN//AB. ∵MN//AB（作辅助线）. ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知） ∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠2=∠BED（等式性质） ∴∠B+∠D=∠BED（等量代换） 拓展与延伸： 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 【模型2】铅笔型 解：（1）∵AB∥CD（已知） ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） （2）过点E作一条直线EF平行于AB， ∵AB∥EF，AB∥CD（已知） ∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换） （3）过点E、F作EG、FH平行于AB， ∵AB∥CD（已知） ∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换） 结论：根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°． 【模型3】前扬角型 ∠B=∠E+∠C 过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质） ∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换） 结论：∠B=∠BEC+∠C 【模型4】后仰角模型 结论：∠C=∠E+∠B 证明：过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质） ∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换） 结论：∠C=∠B+∠CEB 【模型5】潜望镜与光线反射模型 如下图： 【模型6】等面积法最值模型（垂线段最短） 利用同一个三角形面积不变，即底与高乘积的不变性求高（垂线段最短） 【模型7】模型综合提高 ∠B+∠E-∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC 综上所述：几个几何模型共同点：都是通过作辅导线达到角度大小转化目的。 题型目录 【考点一】基本模型巩固 【题型1】猪蹄型模型.........................................................5 【题型2】铅笔型模型........................................................10 【题型3】前扬角型模型......................................................12 【题型4】后仰角型模型......................................................15 【题型5】潜望镜模型........................................................18 【题型6】等面积求最值模型..................................................21 【考点二】模型拓展培优 【题型7】模型综合提高......................................................23 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接..........................................................27 【题型9】拓展延伸..........................................................30 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】猪蹄型模型 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质得到角的关系是解题的关键． 如图所示，分别过点作，，得到，，，由，即可求解． 解：如图所示，分别过点作，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过作，过作，得到，推出，，，求出，得到，即可求出． 解：过作，过作，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【题型2】铅笔型模型 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 【答案】（1），理由见详解；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线之后，将分散的角集中起来，是解决问题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质即可求出得，，问题得解； （2）根据（1）中的结论，即可得到结果． 解：（1），理由如下： 过点作， ． 又， ， ， ， 即， （2）根据（1）中的结论， 可得出． 过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 即． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则 ． 【答案】/540度 【分析】本题考查了平行线的性质，注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系． 分别过作或的平行线，运用平行线的性质求解． 解：作， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，则（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，分别过点作，可得，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，即可解答． 解：如图，分别过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【题型3】前扬角型模型 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明在王老师的启发下，用4根木棒摆放成如图所示的“钩子”形状，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点E作，则，再证明，即可得到． 解：如图所示，过点E作， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，，直线平分，直线平分，直线，相交于点F，则与的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．过点F作，过点E作，易证，推出，，根据题意得，再利用角度之间的和差即可解答． 解：过点F作，过点E作， ， ， ，， 直线平分，直线平分， ， ， ，， ，即， 故答案为：． 【题型4】后翻角型模型 【例4】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图，将为的直角三角板ABC的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的性质，平行线的判定和性质，过点作直线，进而得到，根据平行线的性质结合对顶角相等，进行求解即可． 解：如图，过点作直线， 由题意，得：， 则：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B 【变式1】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见分析），先求出，再根据平行线的性质求解即可得． 解：如图，由题意可知，， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（2023·上海·模拟预测）如图，，，，那么 度． 【答案】100 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过点作，设，，证明，根据“两直线平行，内错角相等”可得，，结合求得的值，进而可得的值，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 解：如下图，过点作， 根据题意，，， ∴可设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：100． 【题型5】潜望镜模型 【例5】（2024·四川凉山·模拟预测）如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，．若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，，则 °． 【答案】 【分析】此题主要是综合考查了平行线的性质，先根据等量代换得到，然后根据平行线的性质得到即可解题． 解：∵，， ∴， ∵潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，，，若要保证光线经过镜子反射两次后能与起始光线平行射出，那么 ． 【答案】/30度 【分析】根据由光的反射定律以及平行线的判定与性质进行说明即可． 本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解答本题的关键． 解：由光的反射定律得：，， ∵， ， ， ，， ， ． 故答案为： 【变式2】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【答案】 /36度 /72度 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 【变式3】（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，如图，过点作，得，根据平行公理的推论得，得出，最后根据对项角相等得出．掌握平行公理的推论及平行线的性质是解题的关键． 解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【题型6】等面积求最值模型 【例6】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，有三条两两相交的公路，从A地测得公路的走向是北偏东，从B地测得公路的走向是北偏西，若的长分别为c千米、a千米、b千米，点P是直线上任意一点，则线段的最小值为 千米（用含a、b、c的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查方向角问题，三角形内角和定理．过点作于，再在利用等积法即可得到本题答案． 解：过点作于， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴， 即线段的最小值为， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，，点是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键； 根据垂线段最短得出当时，的长度最小，再运用等面积法求解即可； 解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图． ， ， ， ． 【题型7】综合模型 【例7】（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 【答案】/度 【分析】过G点作，过E点作．如图设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 解：如图，过G点作，过E点作． ， ． 设，，则，，． ∵平分， ， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，直线，点分别在直线上，点为之间一点，且点在线段的左侧，．若与的平分线相交于点与的平分线相交于点与的平分线相交于点，…，则 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行公理的应用，探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键． 作则，根据平行线的性质得出，进而得到,同理，可归纳规律即可解答． 解：如图：作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵若与的平分线相交于点， ∴， ∴, 同理：作可证明：, 同理可得：， … 归纳可得：，即． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 解：过点、、分别作， ∵ ， ， 平分，平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】中考链接 【例1】（2023·山东济南·中考真题）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数． 解：如下图进行标注，   ， ， ， 故选：． 【点拨】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键． 【例2】（2021·四川达州·中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作，过点C作，与相交于点E；根据余角性质计算得；根据平行线性质，得，结合角平分线性质，计算得；再根据余角性质计算，即可得到答案． 解：如下图，过点B作，过点C作，与相交于点E ∵， ∴ ∴ ∵与平行 ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 【点拨】本题考查了平行线、角平分线、垂线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解． 【例3】（2021·山东东营·中考真题）如图，，于点F，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作EH∥CD，由此求出，得到，根据平行线的推论得到AB∥EH，利用平行线的性质求出答案． 解：过点E作EH∥CD，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵EH∥CD，， ∴AB∥EH， ∴， 故选：D． 【点拨】此题考查平行线的推论，平行线的性质，正确引出辅助线、熟记定理是解题的关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则 . 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义．根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果． 解：当点F在下方时， 过点F作，过点E作，如图1所示： 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当点F在上方时，过点E作，如图2所示： 设， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所示：的值为或， 故答案为：或． 【例2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，平分，，已知，则 度． 【答案】115 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，．如图所示，连接，过点C作，先根据角平分线的定义和平行线的性质证明，再由平行线的性质证明，同理可得，，由此推出，再由，推出，根据，推出，再由，推出，即． 解：如图所示，连接，过点C作， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 相交线与平行线几何模型（6大模型9类题型）（全章几何模型梳理与分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 【模型1】猪蹄型 已知：如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E. 证明：如图，过点E作MN//AB. ∵MN//AB（作辅助线）. ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知） ∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠2=∠BED（等式性质） ∴∠B+∠D=∠BED（等量代换） 拓展与延伸： 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 【模型2】铅笔型 解：（1）∵AB∥CD（已知） ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） （2）过点E作一条直线EF平行于AB， ∵AB∥EF，AB∥CD（已知） ∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换） （3）过点E、F作EG、FH平行于AB， ∵AB∥CD（已知） ∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换） 结论：根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°． 【模型3】前扬角型 ∠B=∠E+∠C 过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质） ∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换） 结论：∠B=∠BEC+∠C 【模型4】后仰角模型 结论：∠C=∠E+∠B 证明：过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质） ∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换） 结论：∠C=∠B+∠CEB 【模型5】潜望镜与光线反射模型 如下图： 【模型6】等面积法最值模型（垂线段最短） 利用同一个三角形面积不变，即底与高乘积的不变性求高（垂线段最短） 【模型7】模型综合提高 ∠B+∠E-∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC 综上所述：几个几何模型共同点：都是通过作辅导线达到角度大小转化目的。 题型目录 【考点一】基本模型巩固 【题型1】猪蹄型模型.........................................................5 【题型2】铅笔型模型.........................................................6 【题型3】前扬角型模型.......................................................6 【题型4】后仰角型模型.......................................................7 【题型5】潜望镜模型.........................................................8 【题型6】等面积求最值模型...................................................9 【考点二】模型拓展培优 【题型7】模型综合提高......................................................10 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接..........................................................11 【题型9】拓展延伸..........................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】猪蹄型模型 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，，，，求的度数． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【题型2】铅笔型模型 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，则（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 【题型3】前扬角型模型 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明在王老师的启发下，用4根木棒摆放成如图所示的“钩子”形状，已知，，求的度数． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，，直线平分，直线平分，直线，相交于点F，则与的数量关系 ． 【题型4】后翻角型模型 【例4】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图，将为的直角三角板ABC的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D．不确定 【变式1】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·上海·模拟预测）如图，，，，那么 度． 【题型5】潜望镜模型 【例5】（2024·四川凉山·模拟预测）如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，．若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，，则 °． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，，，若要保证光线经过镜子反射两次后能与起始光线平行射出，那么 ． 【变式2】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【变式3】（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点，若，，则的值为 ． 【题型6】等面积求最值模型 【例6】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，有三条两两相交的公路，从A地测得公路的走向是北偏东，从B地测得公路的走向是北偏西，若的长分别为c千米、a千米、b千米，点P是直线上任意一点，则线段的最小值为 千米（用含a、b、c的式子表示）． 【变式1】（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【变式2】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，，点是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【题型7】综合模型 【例7】（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 【变式1】（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，直线，点分别在直线上，点为之间一点，且点在线段的左侧，．若与的平分线相交于点与的平分线相交于点与的平分线相交于点，…，则 ．（用含的代数式表示） 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】中考链接 【例1】（2023·山东济南·中考真题）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【例2】（2021·四川达州·中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【例3】（2021·山东东营·中考真题）如图，，于点F，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则 . 【例2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，平分，，已知，则 度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$