精品解析：山东省淄博市桓台县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

初四数学练习题 （时间：120分钟） 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡规定位置，并核对条形码． 2．第一题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第二、三题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，若，则值为（ ） A. B. C. D. 1 3. 如图，正六边形的边长为12，连接，以点为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的母线长为（ ） A B. C. 12 D. 4. 将二次函数图象向左平移1个单位，所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 7. 某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B. 水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C. 水温从加热到需要 D. 水温不低于的时间为 8. 下列投影是平行投影的是(　　) A. 太阳光下窗户的影子 B. 台灯下书本的影子 C. 在手电筒照射下纸片的影子 D. 路灯下行人的影子 9. 如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在“探索二次函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（ ） A. B. 2 C. D. 5 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果 11. 已知点都在反比例函数的图象上，则的值为_____． 12. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的值是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 14. 如图，有一个马戏帐篷，它的底面是圆形，其半径是，从到有一笔直的栅栏，其长为．观众在阴影区域里看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，并且阴影区域里坐满了人，那么大约有_____名观众在看马戏． 15. 如图，小树在路灯的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为_____． 三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 观察如图所示的几何体，在方格中分别画出你所看到的几何体的形状图．画出此几何体的主视图、左视图、俯视图； 17. 如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关． （1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是　 ； （2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析． 18. 如图，在中，已知，，，求的长． 19. 如图，，是⊙的直径，，与相交于点．试判断与的大小关系，并说明理由． 20. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． （1）求一次函数解析式； （2）求的面积； （3）直接写出使成立的的值． 21. 贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度．如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量公馆桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，C的俯角为37°（A，在桥面上） 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达处，测得点的俯角为37° （1）根据以上数据判断，方案_____不能求公馆桥的高度； （2）利用以上可行方案求公馆桥的高度．（参考数据） 22. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 23. 已知在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别在轴和轴的正半轴上．现将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点和． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学练习题 （时间：120分钟） 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡规定位置，并核对条形码． 2．第一题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第二、三题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分式的分母不为0，即可求得自变量x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 故选：C． 2. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数值．根据互余两个角的三角函数值的关系进行解答即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故选C． 3. 如图，正六边形的边长为12，连接，以点为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的母线长为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，三角函数，圆锥的侧面展开：如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，据此进行解答即可． 【详解】解：过B作于点P，连接， ∵正六边形的每个内角都是，每条边都相等， ∴， ∴， 即圆锥的母线长为， 故选：D． 4. 将二次函数的图象向左平移1个单位，所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 根据函数图象的平移规律“左加右减”解答即可． 【详解】将抛物线的图象向左平移1个单位得到的新抛物线的表达式为， 故选B． 5. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， 当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率， 故选D． 【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0， ∴k＞﹣1， ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数， ∴k≠0， 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0， 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0. 7. 某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B. 水温下降过程中，与之间函数关系式是 C. 水温从加热到需要 D. 水温不低于的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 8. 下列投影是平行投影的是(　　) A. 太阳光下窗户的影子 B. 台灯下书本的影子 C. 在手电筒照射下纸片的影子 D. 路灯下行人的影子 【答案】A 【解析】 【分析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案即可． 【详解】解：A、太阳光下窗户的影子，是平行投影，故本选项正确； B、台灯下书本的影子是中心投影，故本选项错误； C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影，故本选项错误； D、路灯下行人的影子是中心投影，故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查了平行投影特点：解题的关键是根据平行投影和中心投影的区别进行解答即可． 9. 如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 10. 在“探索二次函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，根据坐标系中的四个点画出二次函数的图象，根据图象判断经过A、D、C三点的抛物线当时，y的值最大，利用待定系数法求得二次函数的系数即可求解． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会经过A、B、C三点， ∴抛物线经过可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大， 把，，代入得 ，解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为， 当时，， 故的最大值等于， 故选：C． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果 11. 已知点都在反比例函数的图象上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和求函数值，解题关键是熟练运用待定系数法求反比例函数解析式． 把点代入反比例函数解析式，用待定系数法求解得到，再把代入即可求出答案． 【详解】解：把点代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数， 把代入得到， 故答案为： 12. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、余弦的定义，由勾股定理计算出，，，再由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，，最后由余弦的定义即可得解． 【详解】解：由勾股定理可得：，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 14. 如图，有一个马戏帐篷，它的底面是圆形，其半径是，从到有一笔直的栅栏，其长为．观众在阴影区域里看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，并且阴影区域里坐满了人，那么大约有_____名观众在看马戏． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及弓形面积的计算，掌握扇形的面积计算公式，求出弓形面积是解题的关键．过O作，D为垂足，得到，则，由得到，则，求出，即可求出答案． 【详解】解：过O作，D为垂足， ∵． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（人）． 故答案为： 15. 如图，小树在路灯的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由已知可得，进而根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 观察如图所示的几何体，在方格中分别画出你所看到的几何体的形状图．画出此几何体的主视图、左视图、俯视图； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．根据三视图的定义进行解答即可． 【详解】解：如图即为所求， 17. 如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关． （1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是　 ； （2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）用列表法或树状图列举所有可能，再利用概率公式解答即可． 【详解】（1）由题意得：王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为， 故答案为：； （2）画出树状图如下： 所有出现的等可能性结果有12种，其中满足条件的结果有2种，则两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是． 【点睛】本题考查了求概率，较复杂的可以用列表法或树状图法，关键是求得所有可能的结果数及事件发生的结果数，后者与前者的比便是所求的概率． 18. 如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 过点A作于点D，根据锐角三角函数关系求出，然后根据，进而利用锐角三角函数关系，即可得出答案． 【详解】解：解：过点A作于点D， ， ∵，， 在中 ∴， 在中，， ， ∵， ∴． 19. 如图，，是⊙的直径，，与相交于点．试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理．连接，证明，是⊙的直径，则垂直平分，即可得到结论． 【详解】解：，理由如下： 如图，连接， ∵是⊙的直径， ∴，即 ∵， ∴， ∵是⊙的直径， ∴垂直平分， ∴ 20. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出使成立的的值． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出两交点坐标是解题的关键． （1）先求出A、B坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点M坐标，再根据进行求解即可； （3）利用图象法求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点A的坐标为； 当，则，解得：， ∴点B的坐标为． ∵一次函数过A、B两点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与x轴交于M， ∴点M的坐标为， ∴； 小问3详解】 解：观察函数图象发现： 当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴当或时，． 21. 贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度．如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量公馆桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，C的俯角为37°（A，在桥面上） 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达处，测得点的俯角为37° （1）根据以上数据判断，方案_____不能求公馆桥的高度； （2）利用以上可行方案求公馆桥的高度．（参考数据） 【答案】（1）一 （2）23米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）方案一中延长交P所在水平线于点D，过点C作于点E，设，则，得出，根据，得出，由于的值不知，故无法求解，即可得出结论； （2）利用方案二求公馆桥的高度，延长交于点C， 设米，则米，则，，列出方程求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 解：方案一： 延长交P所在水平线于点D，过点C作于点E， 根据题意可得：，， ∴， 由题意可得四边形为矩形，则， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由于的值不知，故无法求解， ∴方案一不能求公馆桥的高度， 故答案为：一； 【小问2详解】 解：利用方案二求公馆桥的高度 延长交于点C，如图 由题意得 设米，则米 在中 ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ 解得： ∴米，米 答：公馆桥的高度为23米． 22. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查圆的综合应用，考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题关键是找到等角证明等边，使用勾股定理求边长，然后找出相似三角形，利用相似比求出边长． （1）利用切线性质得到，然后等量代换求出等角推出等边即可． （2）先利用勾股定理求出边长，然后利用相似三角形的相似比代换出边长求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 是切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ∵D是的中点， ∴， ∴， ， ，， ， ， ． 23. 已知在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别在轴和轴的正半轴上．现将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点和． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—角度问题、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）过点作轴，证明得出， （2）利用待定系数法求解即可； （3）设，分两种情况：当点在轴上方时，作轴于，则，；当点在轴上方时，作轴于，则，，分别利用正切的定义列方程求解即可； 【小问1详解】 解：①如图：过点作轴， ∵，， ，， 由旋转知，，， ， ∵过点作轴， ， ， ， ，， ， 【小问2详解】 ∵抛物线经过点和， ∴把，，代入得 解得 ∴； 【小问3详解】 存在， 设， 如图，当点在轴上方时，作轴于，则，， ∵， ∴， 由①可得：，， ∵，， ∴， 解得：， 此时，即； 如图，当点在轴上方时，作轴于，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $