备战2025年中考数学 方程与不等式（综合压轴题分类专题）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练

备战2025中考——方程与不等式（综合压轴题分类专题）（2） 篇一：综合部分 【考点1】解一元一次方程......................................................1 【考点2】一元一次方程的应用..................................................2 【考点3】解二元一次方程组....................................................3 【考点4】列二元一次方程组....................................................3 【考点5】解一元二次方程......................................................4 【考点6】降次思想与整体思想求代数式的值......................................4 【考点7】根的判别式与根与系数关系............................................4 【考点8】一元二次方程的应用..................................................5 【考点9】解分式方程..........................................................5 【考点10】增根与无解.........................................................6 【考点11】列分式方程.........................................................6 【考点12】解一元一次不等式（组）.............................................7 【考点13】一元一次不等式（组）含参问题.......................................7 【考点14】一元一次不等式（组）的应用.........................................7 篇二：压轴部分 【考点1】一元一次方程........................................................8 【考点2】二元一次方程........................................................9 【考点3】一元二次方程.......................................................10 【考点4】分式方程...........................................................11 【考点5】不等式与不等式组...................................................11 篇一：综合部分 【考点1】解一元一次方程 1．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… （1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． （2）写出你的解答过程． 2．（24-25七年级下·重庆·开学考试）根据流程图中的程序，当输出数值为1时，输入数值为（   ）． A．2 B．2或 C．或 D．2或 3．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【考点2】一元一次方程的应用 1．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． （1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 2．（2025·湖北十堰·模拟预测）小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了10分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）甲、乙两人在一条直线道路上分别从A，两地同时骑摩托车出发，相向而行．当两人相遇后，甲继续向地前进甲到达地时停止运动，乙也立即调头返回地．在整个运动过程中，甲、乙均保持各自的速度匀速行驶．若甲、乙两人之间的距离米与乙运动的时间秒之间的关系如图所示，则A，两地之间的距离为 米． 【考点3】解二元一次方程组 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·广东·模拟预测）解方程组： （1） （2） 3．（2023·四川达州·模拟预测）已知方程组则代数式的值是 ． 【考点4】列二元一次方程组 1．（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： （1）求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ （2）若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有 两，每只燕有 两． 【考点5】解一元二次方程 1．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 2．（2024·云南曲靖·一模）菱形的一条对角线长为8，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．32 3．（2025·广东广州·一模）点既在反比例函数的图象上，又在一次函数的图象上，则以为根的一元二次方程为 ． 【考点6】降次思想与整体思想求代数式的值 1．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 2．（2018·广东深圳·一模）已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【考点7】根的判别式与根与系数关系 1．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 2．（22-23九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 3．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 【考点8】一元二次方程的应用 1．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 2．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 【考点9】解分式方程 1． （2024·江苏南通·中考真题） （1）计算：； （2）解方程． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 3．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【考点10】增根与无解 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于的分式方程无解，则实数的取值是（    ） A．0或2 B．2或4 C．2 D．4或8 3．（2019·四川巴中·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【考点11】列分式方程 1．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度． 2．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．    3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【考点12】解一元一次不等式（组） 8．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：；     （2）解不等式组： 1．（2025·湖南郴州·模拟预测）若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·上海·模拟预测）函数的取值范围为 【考点13】一元一次不等式（组）含参问题 2．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（　　） A．0 B． C．1 D．2023 6．（2023·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【考点14】一元一次不等式（组）的应用 9．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． （1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 7．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 4．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 篇二：压轴部分 【考点1】一元一次方程 1．（2024·江苏苏州·中考真题）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟； （2）记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为． ①______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值． 2．（2020·四川乐山·中考真题）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表： 车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆） 商务车 6 300 轿  车 4 （1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？ （2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 【考点2】二元一次方程 1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人． （1）每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ （2）若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ （3）在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 2．（2022·江苏苏州·中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 （1）求甲、乙两种水果的进价； （2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 【考点3】一元二次方程 1．（2021·湖南怀化·中考真题）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 （1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ （3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？ 2．（2024·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 【考点4】分式方程 1．（2024·重庆长寿·模拟预测）若关于y的不等式组有解，且关于x的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 2．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． （1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； （2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： （3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【考点5】不等式与不等式组 1．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，当取最小值时，S的取值范围是 ． 2．（2020·甘肃天水·中考真题）天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元． （1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025中考——方程与不等式（综合压轴题分类专题）（2） 篇一：综合部分 【考点1】解一元一次方程......................................................1 【考点2】一元一次方程的应用..................................................3 【考点3】解二元一次方程组....................................................5 【考点4】列二元一次方程组....................................................7 【考点5】解一元二次方程......................................................9 【考点6】降次思想与整体思想求代数式的值.....................................11 【考点7】根的判别式与根与系数关系...........................................13 【考点8】一元二次方程的应用.................................................15 【考点9】解分式方程.........................................................17 【考点10】增根与无解........................................................18 【考点11】列分式方程........................................................20 【考点12】解一元一次不等式（组）............................................22 【考点13】一元一次不等式（组）含参问题......................................23 【考点14】一元一次不等式（组）的应用........................................25 篇二：压轴部分 【考点1】一元一次方程.......................................................28 【考点2】二元一次方程.......................................................32 【考点3】一元二次方程.......................................................35 【考点4】分式方程...........................................................37 【考点5】不等式与不等式组...................................................40 篇一：综合部分 【考点1】解一元一次方程 1．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… （1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． （2）写出你的解答过程． 【答案】（1）见分析；（2）. 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解 （1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解． 解：（1） （2）解：， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 2．（24-25七年级下·重庆·开学考试）根据流程图中的程序，当输出数值为1时，输入数值为（   ）． A．2 B．2或 C．或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了已知函数值求自变量值，注意分两种情况代入求解．根据题意，分两种情况：（1）时，（2）时，判断出当输出数值y为1时，输入的x为多少即可． 解：（1）当时，， 解得或（不符合题意，舍去）；、 （2）当时，， 解得， 综上，当输出数值为1时，输入数值为2或， 故选：D． 3．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 【考点2】一元一次方程的应用 1．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． （1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． （1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 2．（2025·湖北十堰·模拟预测）小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了10分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据“以4米/秒的速度跑了米的时间以3米/秒的速度跑了米的时间秒”建立方程即可得． 解：由题意，可列方程为， 故选：D． 3．（2024·安徽·模拟预测）甲、乙两人在一条直线道路上分别从A，两地同时骑摩托车出发，相向而行．当两人相遇后，甲继续向地前进甲到达地时停止运动，乙也立即调头返回地．在整个运动过程中，甲、乙均保持各自的速度匀速行驶．若甲、乙两人之间的距离米与乙运动的时间秒之间的关系如图所示，则A，两地之间的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象可以得到甲乙相遇时行驶的时间，然后根据函数图象中的数据可以列出相应的方程，即可求得A，两地之间的距离． 解：由题意和图象可得， 甲从A地到地用的时间为秒，乙从开始到回到地用的时间为秒， 甲乙相遇的时，甲乙都行驶了秒， 设，两地的路程为米， ， 解得，， 故答案为：． 【考点3】解二元一次方程组 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 解：解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 2．（2024·广东·模拟预测）解方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算即可； （2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得． （1）解：， ，， 解得， 把代入①，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 化简方程组可得，， 得，， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为． 3．（2023·四川达州·模拟预测）已知方程组则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组中两个方程组相加可得：，再把方程两同时乘以即可得到答案． 解： 得：， 方程两同时乘以得：． 故答案为： ． 【考点4】列二元一次方程组 1．（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键． 解：设绳长x尺，井深y尺， 依题意，得：． 故选：C． 2．（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： （1）求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ （2）若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】（1）甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元；（2）有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 解：（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元； （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型， 根据题意得， ， ，均为正整数， 当时，； 当时，， 有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有 两，每只燕有 两． 【答案】 / / 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组求解即可． 解：设每只雀有x两，每只燕有y两， 由题意得，，整理得：， 解得：， 则每只雀有两，每只燕有两． 故答案为：，． 【考点5】解一元二次方程 1．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或；（2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 2．（2024·云南曲靖·一模）菱形的一条对角线长为8，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程等知识，先解方程得，，再根据菱形的性质和三角形三边关系得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：由题意可知，边的长是方程的一个根， 解方程：， ∴ 解得：，， ∵菱形的一条对角线长为8， ∴当时，，不能构成三角形， 当时，，能构成三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：B． 3．（2025·广东广州·一模）点既在反比例函数的图象上，又在一次函数的图象上，则以为根的一元二次方程为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次函数与反比例函数图象上的点的坐标特征．将P点代入反比例函数解析式中，可得出m、n的乘积；将P点坐标代入一次函数的解析式中，可得出m、n的和；根据韦达定理即可求出以为根的一元二次方程． 解：点在反比例函数的图象上， ， ； 点在一次函数的图象上， ， ， 以为根的一元二次方程可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【考点6】降次思想与整体思想求代数式的值 1．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 2．（2018·广东深圳·一模）已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 3．（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4049 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为． 根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得． 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：4049． 【考点7】根的判别式与根与系数关系 1．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1）证明见分析；（2）或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 解：（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 2．（22-23九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．注意，方程有实数根，判别式大于等于零． 由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，然后代入计算即可． 解：∵是方程的两实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）或； 故选A． 3．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 【答案】3 【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴ 故答案为：3 【点拨】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 【考点8】一元二次方程的应用 1．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为；（2）购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 解：（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 2．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：D． 3．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应定为元，按每件元销售，每天可卖出件，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件列出等式解答即可． 解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为元． 故答案为：． 【考点9】解分式方程 1．（2024·江苏南通·中考真题）（1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案； （2）根据解分式方程的步骤进行计算即可． 解：（1） ； （2） ， ， ∴ 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 【考点10】增根与无解 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于的分式方程无解，则实数的取值是（    ） A．0或2 B．2或4 C．2 D．4或8 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，去分母，把分式方程化为整式方程是解题的关键． 先用a表示方程的解，再把方程无解时的取值代入运算即可． 解： 整理得： 去分母得： 解得： ∵， ∴当或时，此方程无解， ∴或， 解得：或， 故选：D． 3．（2019·四川巴中·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 解：方程两边都乘，得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时， 故m的值是1， 故答案为：1 【点拨】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【考点11】列分式方程 1．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题． 解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是， 根据题意可得，， 整理得，， 解得， 经检验是该方程的解， 答：型车的平均速度为． 2．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．    【答案】 【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案． 解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的． ∴， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， ∴两图象交点的纵坐标是． 故答案为： 【点拨】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．先求出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得． 解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元， 由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等， 则可列方程为， 故选：B． 【考点12】解一元一次不等式（组） 8．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：；     （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握它们的解法是解题的关键． （1）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出其公共部分即可． （1）解：方程两边同时乘以， 得． ． 检验：当时，， 所以是原方程的解； （2）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集是． 1．（2025·湖南郴州·模拟预测）若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，由点在第四象限内可得，解不等式组求出的取值范围，再把解集在数轴上表示出来即可求解，掌握点的坐标特征是解题的关键． 解：∵点在第四象限内， ∴， 解得， ∴的取值范围在数轴上可表示为： 故选：． 5．（2024·上海·模拟预测）函数的取值范围为 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出关于的不等式组，求解即可获得答案． 解：根据题意，可得且， 解得且， 故答案为：且． 【考点13】一元一次不等式（组）含参问题 2．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 【点拨】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键． 3．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（　　） A．0 B． C．1 D．2023 【答案】B 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集是， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2023·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】4 【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案． 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式的解集为， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：； ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴ 解得：， 即且， 解得：且 ∴a的取值范围是，且 ∴a可以取：1，3， ∴， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键． 【考点14】一元一次不等式（组）的应用 9．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． （1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】（1）纪念品A、B的单价分别是元和元；（2）A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 解：（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 7．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 解： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 4．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键． 解：由题意可知，解得：， ∴销售单价不可能是90元，故①不正确； 利润与销售价的函数关系式： ， ， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，（元）． 当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确； 综上，正确的结论只有1个， 故选：B． 篇二：压轴部分 【考点1】一元一次方程 1．（2024·江苏苏州·中考真题）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟； （2）记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为． ①______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值． 【答案】（1）90，60；（2）①；②或125 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）直接根据表中数据解答即可； （2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可； ②先求出， A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可． 解：（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟， 故答案为：90，60； （2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟， G1002次列车从A站到C站共需分钟， ∴， ∴， 故答案为：； ②（千米/分钟），， （千米/分钟）． ， A与B站之间的路程为360． ， 当时，G1002次列车经过B站． 由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车． ⅰ．当时，， ，，（分钟）； ⅱ．当时，， ，，（分钟），不合题意，舍去； ⅲ．当时，， ，，（分钟），不合题意，舍去； ⅳ．当时，， ，，（分钟）． 综上所述，当或125时，． 2．（2020·四川乐山·中考真题）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表： 车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆） 商务车 6 300 轿  车 4 （1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？ （2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 【答案】（1）租用一辆轿车的租金为元；（2）租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元． 【分析】（1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题意列方程求解即可． （2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求解本题． 解：（1）设租用一辆轿车的租金为元． 由题意得：． 解得  ， 答：租用一辆轿车的租金为元． （2）方法1：①若只租用商务车，∵， ∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）； ②若只租用轿车，∵， ∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）； ③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元． 由题意，得   由，得 ， ∴， ∵，∴， ∴，且为整数， ∵随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时， 综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元． 方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元． 由题意，得   由，得 ，∴， ∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有： 不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）； 租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）； 租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）； 租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）； 租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金为（元）； 租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）； 由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆， 此时所付租金最少，为元． 【点拨】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题． 【考点2】二元一次方程 1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人． （1）每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ （2）若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ （3）在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 【答案】（1）每辆型车、型车坐满后各载客人、人；（2）共有种租车方案，租辆型车，辆型车最省钱；（3）在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距千米 【分析】（1）设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出的值，设总租金为元，根据一次函数的性质即可求解； （3）设，，由题意可知，甲车的函数图像经过；乙车的函数图像经过，两点．求出函数解析式，进而即可求解． 解：（1）解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得      解得     答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人 （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得   解得：     取正整数， ，，， 共有种租车方案     设总租金为元，则 随着的增大而减小 时，最小 租辆型车，辆型车最省钱 （3）设，． 由题意可知，甲车的函数图象经过；乙车的函数图象经过，两点． ∴，     ，即 解得     或 解得 所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距25千米． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键． 2．（2022·江苏苏州·中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 （1）求甲、乙两种水果的进价； （2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 【答案】（1）甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元；（2）正整数m的最大值为22 【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可； （2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可． 解：（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元． 根据题意，得 解方程组，得 答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元． （2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进千克乙种水果， 根据题意，得． 解这个不等式，得． 设获得的利润为w元， 根据题意，得 ． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w的最大值为． 根据题意，得． 解这个不等式，得． ∴正整数m的最大值为22． 【点拨】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 【考点3】一元二次方程 1．（2021·湖南怀化·中考真题）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 （1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ （3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？ 【答案】（1）A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元；（2）超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元． 【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A型号水杯为x元，B型号水杯为y元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A、B型号水杯的单价； （2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w，每个水杯的利润为元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案； （3）根据（1）A型号水杯为20元，B型号水杯为30元．设10000元购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b，W． 解：（1）解：设A型号水杯进价为x元，B型号水杯进价为y元， 根据题意可得：， 解得：， ∴A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元． （2）设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w， 根据题意可得：， 化简得：， 当时， ， ∴超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元． （3）设购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元， 根据题意可得： 将①代入②可得：， 化简得：， 使得A，B两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变， 则，得， 当时，， ∴A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元． 【点拨】题目主要考查二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用． 2．（2024·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两点间距离公式，根的判别式，完全平方公式，二次函数的性质，利用根和系数的关系可得，，进而得到，再利用根的判别式可得，得到，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系及根的判别式是解题的关键． 解：∵是关于的方程的两实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为，即之间距离的最小值为， 故答案为：． 【考点4】分式方程 1．（2024·重庆长寿·模拟预测）若关于y的不等式组有解，且关于x的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 解出分式方程，根据题意确定的范围，解不等式组，根据题意确定m的范围，根据分式不为0的条件得到，根据题意计算即可． 解：， 方程两边同乘，得， 整理得，， 由题意得，，且， 解得，且， 解不等式组得，， 不等式组有解， ， 则且， 所有满足条件的整数m的值之和为：， 故答案为：． 2．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． （1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； （2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： （3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【答案】（1）甲、乙的报告成绩分别为76，92分；（2）125；（3）①130；② 【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分； （2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，①时和②时均不符合题意，③时，，，解得； （3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②当时，则，解得，故不成立，舍；当时，则，解得，符合题意，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：． 解：（1）解：当时，甲的报告成绩为：分， 乙的报告成绩为：分； （2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分， ①时，，， 由①②得， ∴， ∴，故不成立，舍； ②时，，， 由③④得：， ∴， ∴， ∴， ∴，故不成立，舍； ③时，， ， 联立⑤⑥解得： ，且符合题意， 综上所述； （3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好， ∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数， 由表格得第50，51名员工成绩都是130分， ∴中位数为130； ②当时，则，解得，故不成立，舍； 当时，则，解得，符合题意， ∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为， ∴合格率为：． 【点拨】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键． 【考点5】不等式与不等式组 1．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，当取最小值时，S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质及完全平方公式，解决本题的关键是熟练掌握运用不等式的性质解决问题，先求出，，求得，再求得当时，取最小值，再求得，再求解即可． 解：， ， ， ， ， ， 当时，取最小值， ， ， ， 故答案为： 2．（2020·甘肃天水·中考真题）天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元． （1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】（1）种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；（2）该商店有5种进货方案；（3）①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【分析】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，然后根据“用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同”的等量关系列分式方程解答即可； （2）设购进种商品件，购进种商品件，再根据“商店计划用不超过1560元的资金半”和“种商品的数量不低于种商品数量的一半”两个等量关系，列不等式组确定出a的整数值即可； （3）设销售、两种商品总获利元，然后列出y与a和m的关系式，然后分m=15、10＜m＜15、15＜m＜20三种情况分别解答，最后再进行比较即可． 解：（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元． 依题意得，解得， 经检验是原方程的解且符合题意 当时，． 答：种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元； （2）设购进种商品件，购进种商品件， 依题意得 解得， ∵为整数∴． ∴该商店有5种进货方案； （3）设销售、两种商品总获利元， 则． ①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元； ②当时，，随的增大而增大， ∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大； ③当时，，随的增大而减小， ∴当时，获利最大， ∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【点拨】本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，熟练应用所学知识解决实际问题是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$