内蒙古科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

高二下数学开学初考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．等差数列满足，，则（    ） A．6 B．10 C．24 D．12 2．设直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 4．设，则“直线与直线平行”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知数列满足，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（      ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（     ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（   ） A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为 10. 已知空间中三点，，，则（     ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面ABC的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 11. 已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（    ） A．当与圆相切于点时， B．点到圆上点的距离的最大值为5 C．点到圆上点的距离的最小值为2 D．若点在上，与圆相交于点，则 三、填空题(每题5分，共15分） 12. 已知抛物线上一点，则点到该抛物线的焦点的距离为 ． 13. 设数列的前项和，则 ． 14. 已知，若的周长为6，则的最大值为 ，此时点的坐标为 . 四、解答题（共77分） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式；（6分） （2）求，并求的最小值．（7分） 16. 已知直线，圆 (1)若，求直线l截圆M所得的弦长;（7分） (2)已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程.（8分） 17. 根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）半焦距为，经过点，且焦点在轴上；（5分） （2）两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的 绝对值等于6； （5分） （3）与双曲线有公共焦点，且过点．（5分） 18. 如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 .    (1)求证: 平面；（7分） (2)求平面与平面所成夹角的正弦值.（10分） 19. 已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． (1)求椭圆的方程；（7分） (2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下数学开学初考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．等差数列满足，，则（ D    ） A．6 B．10 C．24 D．12 2．设直线的倾斜角为，则的值为（ A    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（  B   ） A． B． C． D． 4．设，则“直线与直线平行”是“”的（   A  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知数列满足，且，则（C    ） A． B．0 C．1 D．2 6. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（    D   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（ A    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ D    ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（   AB） A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为 10. 已知空间中三点，，，则（    BC  ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面ABC的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 11. 已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（AB     ） A．当与圆相切于点时， B．点到圆上点的距离的最大值为5 C．点到圆上点的距离的最小值为2 D．若点在上，与圆相交于点，则 三、填空题(每题5分，共15分） 12. 已知抛物线上一点，则点到该抛物线的焦点的距离为 ． 13. 设数列的前项和，则 8 ． 14. 已知，若的周长为6，则的最大值为 8 ，此时点的坐标为 . 四、解答题（共77分） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式；（6分） （2）求，并求的最小值．（7分） 解：（1）设的公差为d，由题意得，由 得 所以的通项公式为 （2） 由（1）得 所以当 时 取得最小值，最小值为-16. 16. 已知直线，圆 (1)若，求直线l截圆M所得的弦长;（7分） (2)已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程.（8分） 【详解】（1）当时，直线， 圆M的圆心为，半径为3， 则圆心M到直线l的距离为， 则直线l截圆M所得的弦长为； （2）由得，所以定点， 由题意得切线的斜率存在， 则设切线的方程为，即， 所以， 解得， 故所求切线方程为，即或 17. 根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）半焦距为，经过点，且焦点在轴上；（5分） （2）两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的 绝对值等于6； （5分） （3）与双曲线有公共焦点，且过点．（5分） （1）因为半焦距为，且焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得或（舍去）． 于是双曲线的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 于是双曲线的标准方程为； （3）方法一：设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，故． 又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为（，且）， 将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为． 18. 如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 .    (1)求证: 平面；（7分） (2)求平面与平面所成夹角的正弦值.（10分） 【详解】（1） 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，取， 由得，平面. （2）由题意得，，， 设平面的法向量为， 则，取， ∴， 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． (1)求椭圆的方程；（7分） (2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．（10分） 【详解】（1）右顶点是，离心率为， 所以，， ，则， 椭圆的标准方程为． （2）直线方程与椭圆方程联立， 得， 设，， ，， ， ，， 即， ，则， 即， 整理得， 或， 均满足 直线或， 直线过定点或（与题意矛盾，舍去） 综上知直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $$