辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期期初质量监测数学试题

高二数学 第 1 页，共 4 页 秘密★启用前 2024-2025（下）期初质量监测 高 二 数 学 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共 58 分） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且 只有一项是符合题目要求的） 1.经过两点𝐴(−1,3)，𝐵(−1,0)的直线的倾斜角为 A. 𝜋 6 B. 𝜋 4 C. 𝜋 2 D. 不存在 2.已知𝑃1(3,2)，𝑃2(9,11)，点𝑃(5, 𝑦)分𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 所成的比为𝜆，则𝑦与𝜆的值分别为 A. 𝑦 = 8，𝜆 = 2 B. 𝑦 = 13 2 , 𝜆 = 1 2 C. 𝑦 = 15 4 , 𝜆 = 1 2 D. 𝑦 = 5, 𝜆 = 1 2 3.已知向量?⃗? = (1, √ 3)，?⃗? = (−√ 3, 𝑥)，且𝑎 与?⃗? 的夹角为60∘，则𝑥等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.命题“∃𝑥 ∈ 𝑅，𝑙𝑛𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑥 > 0”的否定是 A. ∃𝑥 ∈ 𝑅，𝑙𝑛𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑥 ≤ 0 B. ∀𝑥 ∈ 𝑅，𝑙𝑛𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑥 ≤ 0 C. ∀𝑥 ∉ 𝑅，𝑙𝑛𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑥 ≤ 0 D. ∃𝑥 ∉ 𝑅，𝑙𝑛𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑥 < 0 5.设函数𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 2，且𝑓(1 + 𝑥) + 𝑓(1 − 𝑥) = 2，则𝑎𝑏 = __________. A. −1 B. 2 C. −3 D. 4 6.5.等差数列{𝑎𝑛}中，前𝑛项和为𝑆𝑛，公差𝑑 < 0，且𝑆7 = 𝑆11，若𝑎9 = 6，则𝑎10 =_____. A. 0 B. −6 C.不能确定 D. 6 7.由伦敦著名建筑事务所𝑆𝑡𝑒𝑦𝑛𝑆𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与 建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 𝑦2 𝑎2 − 𝑥2 𝑏2 = 1(𝑎 > 0, 𝑏 > 0)下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°，则该双曲 线的离心率为 高二数学 第 2 页，共 4 页 A. √ 3 3 B. √ 3 C. √ 3 2 D. 2√ 3 3 8.已知𝑚 ∈ 𝑅，直线𝑙1：𝑚𝑥 + 𝑦 + 2𝑚 = 0与𝑙2：𝑥 − 𝑚𝑦 + 2𝑚 = 0的交点𝑃在圆𝐶： (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 𝑟2(𝑟 > 0)上，则𝑟的最大值是 A. 4√ 2 B. 3√ 2 C. 2√ 2 D. √ 2 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9.下列排列组合数中，正确的是 A. 𝐴4 1 + 𝐴4 2 + 𝐴4 3 + 𝐴4 4 = 84 B. 𝐶3 3 + 𝐶4 3 + 𝐶5 3 + ⋯+ 𝐶2023 3 = 𝐶2024 4 C. 𝐴𝑛 𝑚 + 𝑚𝐴𝑛 𝑚−1 = 𝐴𝑛+1 𝑚 D. 𝑚𝐶𝑛 𝑚 = 𝑛𝐶𝑛−1 𝑚−1 10.已知圆𝑀: ( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑎 − 1)2 = 1(𝑎 ∈ 𝑅)，则 A. 圆𝑀可能过原点 B. 圆心𝑀在直线𝑥 − 𝑦 + 1 = 0上 C. 圆𝑀与直线𝑥 − 𝑦 − 1 = 0相切 D. 圆𝑀被直线𝑥 − 𝑦 = 0截得的弦长等于√ 2 11.如图，△ 𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，斜边上的中线𝐴𝐷 = 2，𝐸为线段𝐵𝐷中点，将△ 𝐴𝐵𝐶沿 𝐴𝐷折成大小为 𝜋 2 的二面角，连接𝐵𝐶，形成四面体𝐶 − 𝐴𝐵𝐷，若𝑃是该四面体表面或内部一 点，则下列说法正确的是 A. 若点𝑃为𝐶𝐷中点，则过𝐴，𝐸，𝑃的平面将三棱锥𝐴 − 𝐵𝐶𝐷分成两部分的体 积比为1：4 B. 若直线𝑃𝐸与平面𝐴𝐵𝐶没有交点，则点𝑃的轨迹与平面𝐴𝐷𝐶的交线长度为√ 2 C. 若点𝑃在平面𝐴𝐶𝐷上，且满足𝑃𝐴 = 2𝑃𝐷，则点𝑃的轨迹长度为 4𝜋 9 D. 若点𝑃在平面𝐴𝐶𝐷上，且满足𝑃𝐴 = 2𝑃𝐷，则线段𝑃𝐸长度的取值范围是( √ 13 3 , √ 21 3 ) 第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分） 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.若对任意正数𝑥，不等式 2 𝑥2+4 ≤ 2𝑎+1 𝑥 都成立，则实数𝑎的取值范围为______． 13.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚 动，并且始终保持与两平面都接触(如图).勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为 球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体.若构成勒洛四面体 𝐴𝐵𝐶𝐷的正四面体𝐴𝐵𝐶𝐷的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体𝐴𝐵𝐶𝐷内放入一个球，则该球的 球半径最大值是______． 高二数学 第 3 页，共 4 页 14.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方 法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实 一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是𝑆 = √ 1 4 [𝑎2𝑐2 − ( 𝑎2+𝑐2−𝑏2 2 )2]，共 中𝑎、𝑏、𝑐是△ 𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边．若𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵，且𝑏2，2，𝑐2成等差数 列，则△ 𝐴𝐵𝐶面积𝑆的最大值为______． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 15．如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90 ∘，𝐴𝐴1 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 2，𝐷，𝐸分别 为𝐶𝐶1，𝐴1𝐵的中点． (1)证明：𝐸𝐷//平面𝐴𝐵𝐶； (2)求直线𝐶𝐶1与平面𝐴1𝐵𝐷所成角的余弦值. 16．设𝑒1⃗⃗ ⃗，𝑒2⃗⃗ ⃗是不共线的非零向量，且?⃗? = 𝑒1⃗⃗ ⃗ + 2 𝑒2⃗⃗ ⃗，?⃗? = 𝑒1⃗⃗ ⃗ − 𝑒2⃗⃗ ⃗． (1)证明：{𝑎 , ?⃗? }可以作为一个基底； (2)若向量?⃗? = 𝑒1⃗⃗ ⃗ + 3 𝑒2⃗⃗ ⃗，试用基底{𝑎 , ?⃗? }表示𝑐 ． 17．对于函数𝑦 = 𝑓(𝑥)，记𝑓(1)(𝑥) = 𝑓(𝑥)，𝑓(2)(𝑥) = 𝑓(𝑓(1)(𝑥))，𝑓(3)(𝑥) = 𝑓(𝑓(2)(𝑥))， …，𝑓(𝑛+1)(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑛)(𝑥))，其中𝑛 ∈ 𝑁+． (1)若函数𝑓(𝑥)是一次函数，且𝑓(3)(𝑥) = 𝑥 + 3，求𝑔(𝑥) = 𝑥2 𝑓(𝑥) (𝑥 > −1)的最小值； (2)若𝑓(𝑓(𝑥)) = 4𝑥 + 9，且𝑓(4) = 11，求𝑓(1789)； (3)设函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)，记𝐴 = {𝑥|𝑓(𝑥) = 𝑥}，𝐵 = {𝑥|𝑓(𝑛)(𝑥) = 𝑥}，若𝐴 = ⌀，证明：𝐵 = ⌀． 高二数学 第 4 页，共 4 页 18．在多面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，已知𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 4，𝐸𝐴 = 𝐸𝐵 = 𝐷𝐴 = 𝐷𝐶 = 2√ 3，𝐷𝐸 = 1 2 𝐵𝐶且 𝐷𝐸//𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐶 = 90°． (1)证明：平面𝐴𝐵𝐸 ⊥平面𝐴𝐵𝐶； (2)求直线𝐴𝐸与平面𝐵𝐶𝐷所成角的正弦值． 19．已知𝑃(2,1)为椭圆𝛤： 𝑥2 8 + 𝑦2 2 = 1上一点，对于𝛤上任意两点𝐴，𝐵，我们定义𝐴，𝐵关 于𝑃的生成点的形成过程：过𝑃作平行于𝐴𝐵的直线交𝛤于异于𝑃的一个点(若𝐴与𝐵重合，则 𝐴𝐵为𝛤在𝐴处的切线；若𝐴𝐵与𝑃处切线平行，则交点为𝑃)，记为[𝐴, 𝐵]𝑃，且对∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗，记 (𝑛 + 1)𝐴 = [𝑛𝐴, 𝐴]𝑃，称{2𝐴⋯𝑛𝐴⋯}为𝐴关于𝑃的生成点列． (1)已知𝐴(2√ 2, 0)，𝐵(0,−√ 2)，直接写出[𝐴, 𝐵]𝑃和3𝐴的坐标； (2)若𝐴，𝐵，𝐶 ∈ 𝛤，且𝐴，𝐵，𝐶均在第一象限，证明：[[𝐴, 𝐵]𝑃，𝐶]𝑃 = [𝐴，[𝐵, 𝐶]𝑃]𝑃； (3)已知𝑄为𝛤上异于𝑃的一点，且𝑄在第一象限内，若𝑄关于𝑃的生成点列中至少有一点是 𝑃，求出所有满足题意的点𝑄的坐标. 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2024-2025（下）期初质量监测 高 二 数 学 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 留痕迹。 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 4．在草稿纸、试题卷上答题无效。 5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 单选题 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 多选题 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 第15题图 第1页 共4页 16. 17. 第2页 共4页 18. 第18题图 19. 第3页 共4页 请勿在此区域作答或 者做任何标记 接19题 第4页 共4页