精品解析：辽宁省沈阳市皇姑区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度八年级（上）期末质量检测 数学 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. π C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，“无限不循环小数叫做无理数”．根据无理数的定义即可求解． 【详解】解：是整数，不是无理数；是有限小数，不是无理数；是分数，不是无理数； π是无理数， 故选：B． 2. 电影院中5排6号记为，则6排5号记为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有序数对与排号对应规律即可得． 【详解】解：由题意得：6排5号记为， 故选：A． 【点睛】本题考查了有序数对．解题关键是熟练掌握利用有序数对表示位置的方法． 3. 下列式子中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平方根及算术平方根．根据平方根及算术平方根的意义，逐一判断即可得． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、没有意义，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：C． 4. 在△ABC中，AB=8，BC=15，AC=17，则下列结论正确的是( ) A. △ABC是直角三角形，且∠A=900 B. △ABC是直角三角形，且∠B=900 C. △ABC是直角三角形，且∠C=900 D. △ABC不是直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】, ∴△ABC是直角三角形，∵AC是斜边, ∴∠B=900,故B正确; 故选B. 5. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算．根据二次根式的性质以及二次根式运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、3与不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a，b所夹锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，邻补角，解题的关键是正确作出辅助线．延伸直线a，b交于点，根据，，可求出，，最后根据三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：如图，延长直线a，b相交于点， ，， ，， ， 直线a，b所夹锐角的度数为， 故选：B． 7. 商场对上周末某品牌运动服的销售情况进行了统计，并绘制成下面的表格．根据表格中的数据，经理决定本周进货时多进一些红色的运动服，经理依据的是这组数据的（ ） 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量/件 120 150 230 75 430 A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是众数、中位数、平均数、极差．根据众数的概念解答即可． 【详解】解：∵红色的运动服销售最多，即这组数据的众数是430， ∴经理决定本周进货时多进一些红色的运动服，经理依据的是这组数据的众数， 故选：A． 8. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可知其图象y随x的增大而减小，且与y轴交于点，即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象y随x的增大而减小，且与y轴交于点， 故答案为：D． 【点睛】本题考查一次函数图象，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 9. 已知A、B两地相距12km,甲、乙两人沿同一条公路分别从A、B两地出发相向而行,甲, 乙两人离B地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图所示, 则两人在甲出发后相遇所需的时间是（） A. 1.2h B. 1.5h C. 1.6h D. 1.8h 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象求出甲、乙两人的s与t的函数关系式，再联立求出交点坐标即可得出答案． 【详解】设甲的s与t的函数关系式为 由图象可知，点、在的图象上 则，解得 故甲的s与t的函数关系式为 设乙的s与t的函数关系式为 由图象可知，点、在的图象上 则，解得 故乙的s与t的函数关系式为 联立，解得 即两人在甲出发后相遇所需的时间为 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，依据图象求出甲、乙两人的s与t的函数关系式是解题关键． 10. 被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：”今有只雀、只燕，分别将它们放在天平两侧，只雀比只燕重，将只雀、只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕总重量为斤．问雀、燕只各重多少斤？”若设每只雀、燕的重量分别为斤，斤，则根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设每只雀、燕的重量分别为斤，斤，五只雀和六只燕，共总1斤，将只雀、只燕交换位置而放，重量相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设每只雀、燕的重量分别为斤，斤 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的实际应用，读懂题目意思，正确的列出方程是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 命题“若则”是______．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【解析】 【分析】本题主要考查对命题真假的判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题， 举出一个符合条件，而不符合结论的例子即可． 【详解】解：命题“若则”是假命题，举例如下： ， ， 但， 满足，但不满足， 命题“若则”是假命题． 故答案为：假命题． 12. 如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先用夹逼法估算，再根据点M，N表示两个连续整数即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵点M，N表示两个连续整数， ∴点N表示的数是4， 故答案为：4． 13. 将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图，设甲、乙两组数据的方差分别为、，则______．（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、方差的意义等知识，理解数据波动小的方差小是解题的关键．根据折线统计图可得甲的数据波动较小，进而根据方差的意义即可求解． 【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较小， 则 故答案：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．根据题意，可知当时，，即可关于x的方程的解为． 【详解】解：∵直线经过点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：4． 15. 如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是________． 【答案】6或2 【解析】 【分析】分两种情况讨论，一是，则，求得，得到；二是，则，所以，由折叠得，则，所以，根据勾股定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴； 如图2，，设垂足为点H，则， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为6或2， 故答案为：6或2． 【点睛】此题重点考查勾股定理、平行线的判定与性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正解地进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）10；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （2）利用加减消元法进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）， ①+②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 17. 近年来网约车十分流行，初二某班学生对“花小猪”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 “花小猪” 6 6 a “滴滴” b c 4 （1）直接填空： ， ； （2）求b的值； （3）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司？请说明理由． 【答案】（1）6； （2）； （3）选“花小猪”，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了统计的有关知识． （1）利用中位数、众数的定义分别计算即可求解； （2）利用平均数的定义计算即可； （3）根据平均数一样，中位数及众数的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：从扇形统计图知，“花小猪”网约车司机的收入人数最多的是6千元， 则； 从条形统计图知，“滴滴”网约车司机的收入的中位是千元， 则； 故答案为：6；； 【小问2详解】 解：“滴滴”网约车司机的收入的平均数为： ； 【小问3详解】 解：选“花小猪”，因为平均数一样，中位数、众数“花小猪”大于“滴滴”． 18. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： （1）在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点O； （2）若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点C，并连接，，，得到，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，割补法求三角形的面积． （1）点A和B的坐标确定原点O并建立平面直角坐标系即可； （2）利用割补法计算即可． 【小问1详解】 解：根据和，确定原点O并建立平面直角坐标系如图所示： 【小问2详解】 解：如图， ． 19. 小明家果园种植水果，去年收支相抵后，结余1200元．今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加，支出比去年减少，今年比去年多结余1140元．如果设小明家去年收入为x元，支出为y元，那么： （1）小明家今年收入为 元，支出为 元（用含x或y的代数式表示）； （2）列方程组求出x和y的值． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据收入比去年增加，支出比去年减少即可求解； （2）根据等量关系：收入支出结余，结合去年结余1200元，今年比去年多结余1140元，列出方程组；接下来利用代入消元法求解上面的方程组，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小明家今年收入为元，支出为元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， 解得． 20. 如图，已知一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，与过点的直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）点E为直线上任意一点，过点E作轴，交于点F，过点E作轴，垂足为G，当时，求点E的横坐标． 【答案】（1）； （2）点E的横坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）对点E的位置进行分类讨论，再结合一次函数图象上点的坐标特征即可解决问题． 【小问1详解】 解：令直线的函数解析式为， 则， 解得， 所以直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：令点E的横坐标为m， 则E点坐标可表示为， 因为轴， 所以． 因为点F在直线上， 所以． 当时， ，， 由得， ， 解得（舍去）． 当时， ，， 由得， ， 解得． 当时， ，， 由得， ， 解得， 综上所述，点E的横坐标为或． 21. 【阅读材料】 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，且，则． 并给出了证明：和为相邻的两个整数，， ， ， ， 请利用小明的结论和方法解决以下问题： （1）若和为两个相邻整数，求a的值； （2）若和为相差4的两个整数，求a的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，等式的性质，完全平方公式，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并正确应用是解题的关键． （1）结论列式解答即可； （2）利用材料的解答方法解答即可． 【小问1详解】 解：∵和为两个相邻整数， ∴由材料的结论可知：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵和为相差4的两个整数， ∴， 等式两边同时平方得：， ∴， ∴． 22. 【提出问题】学习了平行线后，老师提出了这样一个问题：如图①，已知直线和直线外的一点B，如何利用尺规过点B作直线的平行线？ 【解决问题】某学习小组经过合作、交流、实践，给出了如图②所示的解决方案： ①连接； ②以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点M，N； ③分别以M，N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线； ④以B为圆心，长为半径画弧，交射线于点C； ⑤作直线，则． （1）求证：； 【拓展应用】在中，，，点D是直线上一动点，将沿翻折得到，连接； （2）如图③，当点D在线段的延长线上时，求证：； （3）是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）可得出，，从而，进而得出，从而； （2）可求得，从而得出，从而得出，从而得出，从而； （3）先证得点在与定线段成夹角是的直线上运动，作点关于的对称点，连接，则，，可推出，在直角三角形中，根据勾股定理得出结果． 【详解】（1）证明：由作图可知， ，， ， ， ； （2）证明：，， ， ， 沿翻折得到， ， ， ， ； （3）解：如图， 由（2）知，当点在的延长线上时，点在与定线段成夹角是的直线上运动， 当点在线段上时，设点在的延长线上的点， ，， ， ∴， 沿翻折得到， ， ， ， ； 当点在线段上时，点在与定线段成夹角是的直线上运动， 同理当点在的延长线上时，点在与定线段成夹角是的直线上运动， 综上可知，当点D在直线上运动时时，点在与定线段成夹角是的直线上运动， 作点关于的对称点，连接， 则，， ， 此时最小， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图①，在中，，于点D．在线段上，动点E以每秒个单位长度的速度从点A出发向终点D运动．连接，以为边作等边（点C，E，F按逆时针顺序排列），连接．设点E的运动时间为t秒，的面积为S，S与t的函数图象如图②所示（S，t均可为0），其中线段所在直线表达式为． （1）当时，点E与点A重合，为等边三角形，如图③， 此时的面积 （直接填空）； （2）当时，连接，如图④． ①此时 （直接填空） ②求线段的长； （3）在点E运动的过程中，若存在两个时刻和，对应的的面积分别为和，当，且时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据函数解析式求值，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是实际运动和函数图象的对应结合． （1）将代入函数的解析式求得结果； （2）①可推出是等边三角形，此时点在处，，代入函数解析式求得结果； ②当是等边三角形时，可证得，从而得出，进一步得出结果； （3）根据前文得出，，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图1， ，于点， ，即垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， 此时点运动到点处，， ， ， 故答案为：2； ②如图1， 当是等边三角形时， ，， ， ， ， ， ， 当时，, ， ， ； 小问3详解】 解：当时，， 当，可得， ，， 当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度八年级（上）期末质量检测 数学 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. π C. D. 2. 电影院中5排6号记为，则6排5号记为（　　） A. B. C. D. 3. 下列式子中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，AB=8，BC=15，AC=17，则下列结论正确的是( ) A. △ABC是直角三角形，且∠A=900 B. △ABC是直角三角形，且∠B=900 C. △ABC是直角三角形，且∠C=900 D. △ABC不是直角三角形 5. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a，b所夹锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 商场对上周末某品牌运动服的销售情况进行了统计，并绘制成下面的表格．根据表格中的数据，经理决定本周进货时多进一些红色的运动服，经理依据的是这组数据的（ ） 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量/件 120 150 230 75 430 A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 极差 8. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 已知A、B两地相距12km,甲、乙两人沿同一条公路分别从A、B两地出发相向而行,甲, 乙两人离B地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图所示, 则两人在甲出发后相遇所需的时间是（） A. 1.2h B. 1.5h C. 1.6h D. 1.8h 10. 被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：”今有只雀、只燕，分别将它们放在天平两侧，只雀比只燕重，将只雀、只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕总重量为斤．问雀、燕只各重多少斤？”若设每只雀、燕的重量分别为斤，斤，则根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 命题“若则”是______．（填“真命题”或“假命题”） 12. 如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示数是，则点N表示的数是______． 13. 将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图，设甲、乙两组数据的方差分别为、，则______．（填“”“”或“”）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为________． 15. 如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17 近年来网约车十分流行，初二某班学生对“花小猪”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 “花小猪” 6 6 a “滴滴” b c 4 （1）直接填空： ， ； （2）求b的值； （3）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司？请说明理由． 18. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： （1）在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点O； （2）若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点C，并连接，，，得到，求的面积． 19. 小明家果园种植水果，去年收支相抵后，结余1200元．今年因改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加，支出比去年减少，今年比去年多结余1140元．如果设小明家去年收入为x元，支出为y元，那么： （1）小明家今年收入为 元，支出为 元（用含x或y的代数式表示）； （2）列方程组求出x和y的值． 20. 如图，已知一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，与过点的直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）点E为直线上任意一点，过点E作轴，交于点F，过点E作轴，垂足为G，当时，求点E的横坐标． 21. 【阅读材料】 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，且，则． 并给出了证明：和为相邻的两个整数，， ， ， ， 请利用小明的结论和方法解决以下问题： （1）若和为两个相邻整数，求a值； （2）若和为相差4的两个整数，求a的值． 22. 【提出问题】学习了平行线后，老师提出了这样一个问题：如图①，已知直线和直线外的一点B，如何利用尺规过点B作直线的平行线？ 【解决问题】某学习小组经过合作、交流、实践，给出了如图②所示的解决方案： ①连接； ②以A圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点M，N； ③分别以M，N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线； ④以B为圆心，长为半径画弧，交射线于点C； ⑤作直线，则． （1）求证：； 【拓展应用】在中，，，点D是直线上一动点，将沿翻折得到，连接； （2）如图③，当点D在线段的延长线上时，求证：； （3）是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 23. 如图①，在中，，于点D．在线段上，动点E以每秒个单位长度的速度从点A出发向终点D运动．连接，以为边作等边（点C，E，F按逆时针顺序排列），连接．设点E的运动时间为t秒，的面积为S，S与t的函数图象如图②所示（S，t均可为0），其中线段所在直线表达式为． （1）当时，点E与点A重合，为等边三角形，如图③， 此时的面积 （直接填空）； （2）当时，连接，如图④． ①此时 （直接填空） ②求线段的长； （3）在点E运动的过程中，若存在两个时刻和，对应的的面积分别为和，当，且时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $