专题11 一次函数、二次函数与反比例函数之间的综合（解析版+原卷版）-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题11 一次函数、二次函数与反比例函数之间的综合（解析版） 第一部分 典例剖析 类型一 反比例函数与一次函数的综合运用 1．（2024秋•丰润区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（n，﹣2）两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1 【思路引领】将A（2，1）代入，求出m的值可得反比例函数的解析式．将B（﹣1，n）代入反比例函数的解析式，求出n的值，结合图象可直接得出答案． 【完整解答】解：将A（﹣2，1）代入， 得m＝﹣2， ∴反比例函数的表达式为y， 将B（n，﹣2）代入y， 得n＝1， ∴B（1，﹣2）， ∴当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1， 故选：D． 【总结提升】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2025•越秀区开学）如图，一次函数yx+1分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为反比例函数y（x＜0）图象上一动点，过点P作y轴的垂线交直线AB于点C，过点A作AD⊥x轴，与反比例函数y交于点D．若PC＝2AD，则点C的坐标为　（4，3）或（0，1）　． 【思路引领】先求出点D的坐标，得AD＝3，进而得PC＝6，设，，由点P在反比例函数上，PC＝6，得关于b、m的方程组，解方程组得m的值，进而可得点C的坐标． 【完整解答】解：由条件可设，则A（a，0）， ∴， 解得a＝﹣2， ∴D（﹣2，3）， ∴AD＝3， ∵PC＝2AD， ∴PC＝6， ∵PC⊥y轴，点C在一次函数图象上， ∴可设，， ∵点P在反比例函数上，PC＝6， ∴， 解得：或， ∴点C的坐标为（4，3）或（0，1）． 故答案为：（4，3）或（0，1）． 【总结提升】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2024秋•洛阳期末）如图，一次函数y＝2x﹣4与x轴、y轴交于A、B两点，P是反比例函数第二象限部分的动点，连接PA、PB，C是PA中点，CD平行AB交PB于D．则CD长度为（　　） A．2 B． C．2.5 D．无法确定 【思路引领】求出A，B两点坐标，利用两点间距离公式求出AB，再利用三角形中位线定理求解． 【完整解答】解：∵一次函数y＝2x﹣4与x轴、y轴交于A、B两点， ∴A（2，0），B（0，﹣4）， ∴AB2， ∵PC＝CA，CD∥AB， ∴PD＝DB， ∴CDAB． 故选：B． 【总结提升】本题考查反比例函数与一次函数的交点，三角形中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 类型二 反比例函数与二次函数的综合运用 4．（2024秋•玉环市期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）与反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】直接利用二次函数图象经过的图象得出a、b的值的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案，逐项判断即可． 【完整解答】解：A、抛物线y＝ax2+bx（a≠0）开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故选项不符合题意； B、抛物线y＝ax2+bx（a≠0）开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意； C、抛物线y＝ax2+bx（a≠0）开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意； D、抛物线y＝ax2+bx（a≠0）开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项符合题意； 故选：D． 【总结提升】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解题的关键． 5．（2024秋•蓬江区期末）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【思路引领】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＞0、b＜0、c＜0，由此即可得出0，即可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【完整解答】解：∵二次函数开口向上， ∴a＞0； ∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异， ∴b符号与a相异，b＜0； ∵反比例函数图象经过二、四象限， ∴c＜0， ∴0， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：B． 【总结提升】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，找出a、b、c的符号是解题的关键． 6．（2025•奉贤区一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点A（3，4），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【思路引领】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，求出反比例函数图象上的三倍点可得结论． 【完整解答】解：设反比例函数的解析式为y， ∵反比例函数的图象经过点A（3，4）， ∴k＝12， ∴反比例函数的解析式为y， ∴反比例函数图象上的三倍点为（2，6）或（﹣2，﹣6）， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x3x+4． 【总结提升】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．（2024•庐阳区模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）的图象如图所示，P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数图象上的两点． （1）m＝　2　，n＝　﹣1　； （2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为PQ，若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是　2k≤12　． 【思路引领】（1）把P（m，﹣6），Q（12，n）代入反比例函数解析式即可求得； （2）把P、Q分别代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数），求得k的值，根据图象即可求得． 【完整解答】解：（1）∵P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数图象上的两点， ∴﹣6m＝12n＝﹣12， 解得m＝2，n＝﹣1， 故答案为：2，﹣1； （2）∵二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2， ∵Δ＝（2k）2﹣4×（﹣1）×（1﹣k2）＝4＞0， ∴抛物线y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）与x轴有两个交点， 把Q（12，﹣1）代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）得．﹣144+24k+1﹣k2＝﹣1， 解得，k＝12或k＝12（较大值舍去）， 把P（2，﹣6）代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）得．﹣4+4k+1﹣k2＝﹣6， 解得k＝2或k＝2（较小值，舍去）， ∴二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是2k≤12． 故答案为：2k≤12． 【总结提升】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 8．（2023秋•无锡期末）如图，曲线AB是二次函数y＝﹣x2+6x+3图象的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线BC是反比例函数y（k≠0）图象的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“A—B一C”的过程，形成一组波浪线．若点P（2，a）是波浪线上的点，则a＝　18　；若点P（2024，m）和Q（x，n）是波浪线上的点，则m+n的最大值为 　　． 【思路引领】依据题意，由抛物线求出点A，点B，由点B求出双曲线k，再求出C，得到12个单位一循环，求出m、n的最大值即可求解． 【完整解答】解：∵点A在抛物线y＝﹣x2+6x+3上， ∴令x＝0，则y＝3， ∴A（0，3）． 又∵点B是抛物线y＝﹣x2+6x+3的顶点， ∴y＝﹣（x﹣3）2+12． ∴B（3，12）． ∵点B在双曲线y上， ∴k＝xy＝3×12＝36． ∴双曲线解析式为y． 又A、C纵坐标相等， ∴令y＝3，即有3． ∴x＝12． ∴点C（12，3）． ∴P（2，a）在AB之间， ∴a＝﹣22+6×2+3＝11； ∵点C（12，3），P（2024，m）， 且2024＝168×12+8， ∴点P的纵坐标和x＝8时的纵坐标相等． 又B（3，12）， ∴当x＝8时，y． ∴m． ∵波浪线的最高点为二次函数顶点， ∴n的最大值为12． ∴m+n最大值为：12． 故答案为：11；． 【总结提升】本题考查反比例函数的性质，二次函数的性质，明确题意，利用数形结合是解决本题的关键． 9．（2022•新华区一模）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数y4和反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围是　1＜k≤2　． 【思路引领】根据二次函数的解析式判断在第一象限内在二次函数图象下方或图象上的整点的个数，并写出它们的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与反比例函数图象围成的部分（包括边界）的整点个数为5，即可得出k的取值范围． 【完整解答】解：∵当x＝1时，y43；当x＝2时，y42；当x＝3时，y＝﹣3+4＝1． ∴在第一象限内在二次函数y4的图象上和图象下方的整点有6个，坐标为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2），（3，1）． ∵1×1＝1，1×2＝2，1×3＝3，2×1＝2，2×2＝4，3×1＝3，且在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上和上方的整点有5个， ∴整点（1，1）不在阴影区域内， ∴1＜k≤2． 故答案为1＜k≤2． 【总结提升】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出整点的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合二次函数与反比例函数图象上点的坐标特征找出整点的坐标是关键． 类型三 反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用 10．（2024秋•庐江县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y与一次函数y＝ax+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】首先根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴可知c＞0，由反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【完整解答】解：根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴， ∴c＞0， ∴反比例函数y的图象在第一、三象限，一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限． 故选：B． 【总结提升】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号． 11．（2024秋•蓬莱区期中）一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【完整解答】解：观察一次函数y＝ax+b和反比例函数的图象可知：a＜0，b＞0，c＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象开口向下，对称轴，与y轴的交点在y轴正半轴． 故选：B． 【总结提升】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＜0是解题的关键． 12．（2024秋•沙河口区月考）（1）反比例函数与一次函数y＝2x﹣4的图象都过A（m，2）．求反比例函数解析式； （2）二次函数图象的顶点在y轴上，点（1，﹣1）和（﹣2，5）在这个二次函数的图象上，求这个二次函数的表达式． 【思路引领】（1）先利用一次函数解析式求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）设这个二次函数解析式为y＝ax2+c（a≠0），再利用待定系数法求解即可． 【完整解答】解：（1）把A（m，2）代入y＝2x﹣4中，得2＝2m﹣4， 解得m＝3， ∴A（3，2）， 把A（3，2）代入得， 解得k＝6， ∴反比例函数解析式为； （2）设这个二次函数解析式为y＝ax2+c（a≠0）， ∵点（1，﹣1）和（﹣2，5）在这个二次函数的图象上， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为y＝2x2﹣3． 【总结提升】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 13．（2024•长沙模拟）定义：如果实数m，n满足m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，且m≠n，t为常数，那么称点P（m，n）为“改革创新点”，例如点（﹣2，0）是“改革创新点”． （1）（1，1），（5，﹣3），（﹣3，1）三个点中，点 　（﹣3，1）　是“改革创新点”； （2）设函数（x＜0），y＝x﹣b（b＞0）的图象的“改革创新点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值； （3）若点Q（a，b）是“改革创新点”，用含t的表达式表示ab，并求二次函数y＝t2﹣3t+3的函数值y的取值范围． 【思路引领】（1）依据题意，根据“改革创新点”的意义，分别进行判断可以得解； （2）依据题意，由m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，从而可得m+n+2＝0，从而可得“改革创新点”（m，n）在直线y＝﹣x﹣2（x≠﹣1）上．故A、B分别为y＝﹣x﹣2与函数y及y＝x﹣b的交点，可得A、B的坐标，再过点A作AM⊥直线BC于M，故AM＝|xB﹣xA|＝|b+2|b+2，从而yBb﹣1＜﹣1＜1，故CB＝|yB|＝﹣yBb+1，则S△ABCCB•AM（b+1）（b+2）＝3，进而计算可以得解； （3）依据题意可得，a+b＝﹣2，从而（a+b）2＝4，可得2t＝t+t＝a2﹣2b+b2﹣2a＝a2+b2﹣2（a+b）＝a2+b2+4，故a2+b2＝2t﹣4，又（a+b）2＝a2+2ab+b2＝4，从而2ab＝4﹣（a2+b2）＝4﹣（2t﹣4）＝8﹣2t，从而ab＝4﹣t，又ab＝a（﹣2﹣a）＝﹣（a2+2a）＝﹣（a+1）2+1＜1，从而t＞3，最后可得y＝t2﹣3t+3＝t2﹣3t（t）2，结合二次函数的性质即可判断得解． 【完整解答】解：（1）由题意，对于（1，1），12﹣2×1＝﹣1，12﹣2×1＝﹣1，1＝1， ∴（1，1）不是“改革创新点”． 对于（5，﹣3），52﹣2×（﹣3）＝31，（﹣3）2﹣2×5＝﹣1，31≠﹣1，5≠﹣3， ∴（5，﹣3）不是“改革创新点”． 对于（﹣3，1），（﹣3）2﹣2×1＝7，12﹣2×（﹣3）＝7，﹣3≠1， ∴（﹣3，1）是“改革创新点”． 故答案为：（﹣3，1）． （2）由题意，∵m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t， ∴m2﹣2n＝n2﹣2m． ∴m2﹣n2+2m﹣2n＝0． ∴（m﹣n）（m+n+2）＝0． ∵m≠n， ∴m﹣n≠0． ∴m+n+2＝0． ∴n＝﹣m﹣2． 又m≠n， ∴m≠﹣1，n≠﹣1． ∴“改革创新点”（m，n）在直线y＝﹣x﹣2（x≠﹣1）上． ∴A、B分别为y＝﹣x﹣2与函数y及y＝x﹣b的交点． 联列方程组， ∴或（x＜0，舍去）． ∴A（﹣3，1）． 又联列方程组， ∴． ∴B（b﹣1，b﹣1）． 过点A作AM⊥直线BC于M， ∴AM＝|xB﹣xA|＝|b+2|b+2（∵b＞0，∴b+2＞0．） ∵b＞0， ∴b＜0． ∴b﹣1＜﹣1． ∴yBb﹣1＜﹣1＜1． ∴CB＝|yB|＝﹣yBb+1． ∴S△ABCCB•AM（b+1）（b+2）＝3． ∴b＝2或b＝﹣8（舍去）． ∴此时xBb﹣1＝0，B在y轴上． ∴C与O重合，M在y轴上． ∴b＝2． （3）由题意可得，a+b＝﹣2， ∴（a+b）2＝4． 又2t＝t+t＝a2﹣2b+b2﹣2a＝a2+b2﹣2（a+b） ＝a2+b2+4， ∴a2+b2＝2t﹣4． 又∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝4， ∴2ab＝4﹣（a2+b2）＝4﹣（2t﹣4）＝8﹣2t． ∴ab＝4﹣t． ∵a+b＝﹣2， ∴b＝﹣2﹣a． ∴ab＝a（﹣2﹣a）＝﹣（a2+2a）＝﹣（a+1）2+1． ∵s≠b≠﹣1， ∴（a+1）2≠0． ∴（a+1）2＞0． ∴﹣（a+1）2＜0． ∴ab＜1． ∴4﹣t＜1． ∴t＞3． ∴y＝t2﹣3t+3＝t2﹣3t（t）2． ∵t＞3， ∴t． ∴（t）2． ∴y＝（t）23． ∴y＞3． 综上所述，ab＝4﹣t，y＞3． 【总结提升】本题主要考查了反比例函数的应用、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 14．（2024•鼓楼区三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标可视为方程x2+3x＝1的根． （1）函数y＝x+b的图象与函数的图象有两个不同交点，求b取值范围． （2）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣1（m为常数）． ①设直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1有两个不同交点，求m取值范围． ②已知点A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），若抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 【思路引领】（1）根据题意关于x的方程x+b有两个不相等的实数解，则Δ＝b2+4＞0，然后解不等式即可． （2）根据题意关于x的方程﹣2x+1＝﹣x2+2mx﹣1有两个不相等的实数解，则Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+m﹣2﹣b）＞0，然后解不等式即可． （3）确定函数y＝﹣x2+2mx﹣1过定点（﹣1，0），设定点为C（0，﹣1），而A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），即点A、B、C在同一直线上，当m＞0时，如图实线部分，新函数图象与线段AB只有一个公共点，则函数不过点B，即m＞1；当m＜0时，同理可得：m＜﹣1，即可求解． 【完整解答】解：（1）∵函数y＝x+b的图象与函数的图象有两个不同交点， ∴关于x的方程x+b有两个不相等的实数解， 方程整理得x2+bx﹣1＝0， 根据题意得Δ＝b2+4＞0， 解得b为任意数． （2）①直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1有两个不同交点， ∴关于x的方程﹣2x+1＝﹣x2+2mx﹣1有两个不相等的实数解， 整理得x2﹣（2m+2）x+2＝0， 根据题意得Δ＝（2m+2）2﹣4×1×2＞0， 解得m或m． ②∵y＝﹣x2+2mx﹣1， ∴当x＝0时，y＝﹣1， ∴函数过定点（0，﹣1）； 设定点为C（0，﹣1），而A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），即点A、B、C在同一直线上， 而抛物线的对称轴为直线xm， 当m＞0时，如图实线部分，函数图象与线段AB只有一个公共点，则函数不过点B，即m＞1， 当m＜0时，同理可得：m＜﹣1， 从图象看，当m＝0时，也符合题意， 故m的取值范围为：m＞1或m＜﹣1或m＝0． 【总结提升】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，函数与方程的关系，解本题的关键是画出图象，分析抛物线与线段AB只有一个交点是解本题的难点． 第二部分 专题提优训练 1．（2020秋•江干区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c的解是 　﹣1＜x＜0或1＜x＜3　． 【思路引领】利用函数图象，写出抛物线在双曲线上方所对应的自变量的范围即可． 【完整解答】解：当﹣1＜x＜0或1＜x＜3时，抛物线在双曲线上方， 所以不等式ax2+bx+c的解集为﹣1＜x＜0或1＜x＜3． 故答案为﹣1＜x＜0或1＜x＜3． 【总结提升】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，利用交点直观求解． 2．（2022春•新华区月考）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与反比例函数y（k≠0）． （1）点A（4，3）　在　（填“在”或“不在”）二次函数的图象上； （2）反比例函数的图象经过点A和二次函数图象的顶点，则a的值为 　　． 【思路引领】（1）把A的坐标代入入y＝ax2﹣4ax+3即可判断； （2）先求得反比例函数的解析式，然后代入顶点坐标，即可求得a的值． 【完整解答】解：（1）把x＝4代入y＝ax2﹣4ax+3得y＝16a﹣16a+3＝3， ∴点A（4，3）在二次函数的图象上； 故答案为：在； （2）∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2﹣4a+3， ∴二次函数图象的顶点为（2，3﹣4a）， ∵反比例函数的图象经过点A（4，3）， ∴k＝4×3＝12， ∴反比例函数为y， ∵反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点， ∴3﹣4a6， ∴a， 故答案为：． 【总结提升】本题考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 3．（2024•东安县一模）某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下： （1）①x与y的几组对应值如下表，请补全表格； x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 … y … 3 4 6 ﹣2 1 　　 … ②在如图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象； （2）我们知道，函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h＞0，k＞0）的图象是由二次函数y＝ax2的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象； （3）若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接OA、OB，求△AOB的面积． 【思路引领】（1）①将x代入解析式求解即可； ②将表中的点在图中依次标出，用平滑的曲线连接起来即可； （2）根据题干信息进行平移操作即可； （3）联立两个函数的解析式，求解出A，B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【完整解答】解：（1）①x时，y2， 故答案为：； ②图象如下： （2）y22， ∴将y的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，可以得到y2的图象； （3）联立两个函数的解析式：， 解得：x＝2或﹣3， ∴A（2，），B（﹣3，3）， ∵A，B都在直线yx+2上， ∴AB与y轴交点为：（0，2）， ∴△AOB的面积为：2×22×3＝2+3＝5． 【总结提升】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据图象的性质来解答是本题解题的关键． 4．（2023秋•高邮市期末）我们定义：若点A在一个函数的图象上，且点A的横、纵坐标互为相反数，则称点A为这个函数的“反点”． （1）一次函数y＝2x+3的“反点”的坐标为 　（﹣1，1）　； （2）已知反比例函数与一次函数y＝x+1有公共的“反点”，求k的值； （3）若点P为反比例函数的“反点”，则点P到直线y＝﹣x+1上任意一点的最小距离为 　　； （4）已知关于x的二次函数y＝mx2+nx﹣n对于任意的常数n恒有两个“反点”，求m的取值范围． 【思路引领】（1）依据题意，设“反点”的坐标为（x，﹣x），进而可得﹣x＝2x+3，求出x后即可得解； （2）依据题意，一次函数y＝x+1上的“反点”为（x，﹣x），从而可得﹣x＝x+1，求出反点后，代入反比例函数解析式可得k的值； （3）依据题意，设“反点”为（x，﹣x），从而“反点”在y＝﹣x，又y＝﹣x+1可以看作由y＝﹣x向上平移一个单位得到的，从而反比例函数的“反点”P到直线y＝﹣x+1上任意一点的最小距离为y＝﹣x+1与y＝﹣x的距离，由于y＝﹣x+1与y＝﹣x的距离为，最后可以判断得解； （4）依据题意，设“反点”为（x，﹣x），从而mx2+nx﹣n＝﹣x，即mx2+（n+1）x﹣n＝0恒有两个“反点”，故Δ＝（n+1）2+4mn＞0恒成立，即n2+（2+4m）n+1＞0，进而（2+4m）2﹣4＜0，故可得解． 【完整解答】解：（1）由题意，设“反点”的坐标为（x，﹣x）， ∴﹣x＝2x+3． ∴x＝﹣1． ∴“反点”的坐标为（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）． （2）由题意，一次函数y＝x+1上的“反点”为（x，﹣x）， ∴﹣x＝x+1． ∴x． ∴反点为（，）． ∴k． （3）由题意，设“反点”为（x，﹣x）， ∴反点在y＝﹣x． 又y＝﹣x+1可以看作由y＝﹣x向上平移一个单位得到的， ∴反比例函数的“反点”P到直线y＝﹣x+1上任意一点的最小距离为y＝﹣x+1与y＝﹣x的距离． ∵y＝﹣x+1与y＝﹣x的距离为， ∴反比例函数的“反点”P到直线y＝﹣x+1上任意一点的最小距离为． 故答案为：． （4）由题意，设“反点”为（x，﹣x）， ∴mx2+nx﹣n＝﹣x． ∴mx2+（n+1）x﹣n＝0． ∴Δ＝（n+1）2+4mn＞0恒成立，即n2+（2+4m）n+1＞0． ∴（2+4m）2﹣4＜0． ∴﹣2＜2+4m＜2． ∴﹣4＜4m＜0． ∴﹣1＜m＜0． 【总结提升】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用及二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2024秋•鼓楼区月考）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”． （1）在①（﹣2，）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 　②③　（填序号）； （2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则a＝ 　3或﹣1　； （3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为 　n≤1　． 【思路引领】定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数图象的“2阶方点”． （1）在①；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有 ②③②③（填序号）； （2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则a＝3或﹣13或﹣1； （3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可； （2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得； （3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线＝﹣2x+1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点 （n，﹣n）和点（﹣n，n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围． 【完整解答】解：（1）∵点 到x轴的距离为2，大于1， 不是反比例函数 图象的“1阶方点”， ∵点（﹣1，﹣1）和点（1，1）都在反比例函数 的图象上，且到两坐标轴的距离都为1， ∴（﹣1，﹣1）和（1，1）是反比例函数 图象的“1阶方点”， 故答案为：②③； （2）作正方形四个顶点坐标分别为（2，2），（2，﹣2），（﹣2，2），（﹣2，﹣2），如图： 当a＞0时， ∵关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点“有且只有一个， ∴y＝ax﹣3a+1过点（﹣2，2）或（2，﹣2）， 把（﹣2，2）代入y＝ax﹣3a+1得：2＝﹣2a﹣3a+1， 解得a（舍去）； 把（2，﹣2）代入y＝ax﹣3a+1得：﹣2＝2a﹣3a+1， 解得：a＝3； 当a＜0时， ∵关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点“有且只有一个， ∴y＝ax﹣3a+1过点（2，2）或（﹣2，﹣2）， 把（2，2）代入y＝ax﹣3a+1得：2＝2a﹣3a+1， 解得：a＝﹣1； 把 （﹣2，﹣2）代入y＝ax﹣3a+1得：﹣2＝﹣2a﹣3a+1， 解得：a（舍去）； 综上，a的值为3或﹣1； 故答案为：3或﹣1； （3）∵二次函数 y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的顶点坐标为（n，﹣2n+1）， ∴二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的顶点在直线y＝﹣2x+1上移动， ∴y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在， ∴二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1的图象与以顶点坐标为（n，n），（n，﹣n），（﹣n，n），（﹣n，﹣n）的正方形有交点， 如图， 当y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+过点（n，﹣n） 时， 将（n，﹣n）代入y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1得：﹣n﹣（n﹣n）2﹣2n+1， 解得：n＝1， 当y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 过点（﹣n，n）时， 将（﹣n，n）代入y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 得：n＝﹣（﹣n﹣n）2﹣2n+1， 解得：n或n＝﹣1（舍去）， 由图可知，若关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1 图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：n≤1． 故答案为：n≤1． 【总结提升】本题是反比例函数综合题，考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶方点”的概念是解题的关键． 6．（2023•如皋市一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a（a≥0），到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”． 例如，点（2，3）为双曲线y的“3级方点”，点（，）为直线y的“级方点”． （1）下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是 　①③　（只填序号）； ①y＝x；②y；③y＝﹣x2． （2）判断直线y＝kx+k的“2级方点”的个数，并说明理由； （3）已知y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值． 【思路引领】（1）根据定义求得函数的“1级方点”，即可得到答案； （2）函数y＝kx+k过定点（﹣1，），由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点，点（﹣1，）恰好落在该正方形的内部，直线y＝kx+k与该正方形必有两个交点，故y＝kx+k的“2级方点”有两个； （3）若抛物线恰有三个“a级方点”，则抛物线顶点在y＝a时或抛物线经过点（a，a）时两种情况，据此得到关于a的方程，解方程即可． 【完整解答】解：（1）函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点， ①直线y＝x与正方形有两个交点（1，1）和（﹣1，﹣1）； ②反比例函数y与正方形无交点交点； ③抛物线y＝﹣x2与正方形有两个交点（1，）和（﹣1，）． 故答案为：①③； （2）y＝kx+k的“2级方点”有两个， 理由：∵y＝kx+kk（x+1）， ∴函数y＝kx+k过定点（﹣1，）， 由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点， ∵点（﹣1，）恰好落在该正方形的内部，直线y＝kx+k与该正方形必有两个交点， ∴y＝kx+k的“2级方点”有两个； （3）∵二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2， ∴抛物线的开口向下，顶点为（a﹣1，3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2）， ①当抛物线顶点在y＝a时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图， 则3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，解得a1＝2，a2； ②当抛物线经过点（a，a）时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图， 则﹣1+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，解得a1，a2＝1（不合题意，舍去）， ∴a的值为2，，． 【总结提升】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 一次函数、二次函数与反比例函数之间的综合（原卷版） 第一部分 典例剖析 类型一 反比例函数与一次函数的综合运用 1．（2024秋•丰润区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（n，﹣2）两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1 2．（2025•越秀区开学）如图，一次函数yx+1分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为反比例函数y（x＜0）图象上一动点，过点P作y轴的垂线交直线AB于点C，过点A作AD⊥x轴，与反比例函数y交于点D．若PC＝2AD，则点C的坐标为　 　． 3．（2024秋•洛阳期末）如图，一次函数y＝2x﹣4与x轴、y轴交于A、B两点，P是反比例函数第二象限部分的动点，连接PA、PB，C是PA中点，CD平行AB交PB于D．则CD长度为（　　） A．2 B． C．2.5 D．无法确定 类型二 反比例函数与二次函数的综合运用 4．（2024秋•玉环市期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）与反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•蓬江区期末）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 6．（2025•奉贤区一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点A（3，4），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 7．（2024•庐阳区模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）的图象如图所示，P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数图象上的两点． （1）m＝　2　，n＝　﹣1　； （2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为PQ，若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是　2k≤12　． 8．（2023秋•无锡期末）如图，曲线AB是二次函数y＝﹣x2+6x+3图象的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线BC是反比例函数y（k≠0）图象的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“A—B一C”的过程，形成一组波浪线．若点P（2，a）是波浪线上的点，则a＝　18　；若点P（2024，m）和Q（x，n）是波浪线上的点，则m+n的最大值为 　　． 9．（2022•新华区一模）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数y4和反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围是　1＜k≤2　． 类型三 反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用 10．（2024秋•庐江县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y与一次函数y＝ax+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 11．（2024秋•蓬莱区期中）一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 12．（2024秋•沙河口区月考）（1）反比例函数与一次函数y＝2x﹣4的图象都过A（m，2）．求反比例函数解析式； （2）二次函数图象的顶点在y轴上，点（1，﹣1）和（﹣2，5）在这个二次函数的图象上，求这个二次函数的表达式． 13．（2024•长沙模拟）定义：如果实数m，n满足m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，且m≠n，t为常数，那么称点P（m，n）为“改革创新点”，例如点（﹣2，0）是“改革创新点”． （1）（1，1），（5，﹣3），（﹣3，1）三个点中，点 　（﹣3，1）　是“改革创新点”； （2）设函数（x＜0），y＝x﹣b（b＞0）的图象的“改革创新点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值； （3）若点Q（a，b）是“改革创新点”，用含t的表达式表示ab，并求二次函数y＝t2﹣3t+3的函数值y的取值范围． 14．（2024•鼓楼区三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标可视为方程x2+3x＝1的根． （1）函数y＝x+b的图象与函数的图象有两个不同交点，求b取值范围． （2）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣1（m为常数）． ①设直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1有两个不同交点，求m取值范围． ②已知点A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），若抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 第二部分 专题提优训练 1．（2020秋•江干区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c的解是 　﹣1＜x＜0或1＜x＜3　． 2．（2022春•新华区月考）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与反比例函数y（k≠0）． （1）点A（4，3）　在　（填“在”或“不在”）二次函数的图象上； （2）反比例函数的图象经过点A和二次函数图象的顶点，则a的值为 　　． 3．（2024•东安县一模）某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下： （1）①x与y的几组对应值如下表，请补全表格； x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 … y … 3 4 6 ﹣2 1 　　 … ②在如图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象； （2）我们知道，函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h＞0，k＞0）的图象是由二次函数y＝ax2的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象； （3）若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接OA、OB，求△AOB的面积． 4．（2023秋•高邮市期末）我们定义：若点A在一个函数的图象上，且点A的横、纵坐标互为相反数，则称点A为这个函数的“反点”． （1）一次函数y＝2x+3的“反点”的坐标为 　（﹣1，1）　； （2）已知反比例函数与一次函数y＝x+1有公共的“反点”，求k的值； （3）若点P为反比例函数的“反点”，则点P到直线y＝﹣x+1上任意一点的最小距离为 　　； （4）已知关于x的二次函数y＝mx2+nx﹣n对于任意的常数n恒有两个“反点”，求m的取值范围． 5．（2024秋•鼓楼区月考）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”． （1）在①（﹣2，）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 　②③　（填序号）； （2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则a＝ 　3或﹣1　； （3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围为 　n≤1　． 6．（2023•如皋市一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a（a≥0），到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”． 例如，点（2，3）为双曲线y的“3级方点”，点（，）为直线y的“级方点”． （1）下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是 　①③　（只填序号）； ①y＝x；②y；③y＝﹣x2． （2）判断直线y＝kx+k的“2级方点”的个数，并说明理由； （3）已知y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$