第96天 搞定平面向量（11考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第96天-搞定平面向量（11考点） 第96天寄语： 这一年，你挑灯夜战、披星戴月，每一次与困倦斗争的深夜，都是在为梦想添砖加瓦。高考倒计时已开启，最后的冲刺，就是把这些积累的能量全部释放，去拥抱更广阔的人生。 识·必备知识 1. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2. 向量的运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 （2） 向量的加减法 ， ， （3） 向量的数乘运算 ，则： （4） 向量的模 ，则的模 （5） 相反向量 已知，则；已知 （6） 单位向量 （7） 向量的数量积 （8） 向量的夹角 （9） 投影向量 向量在上的投影向量为 （10） 向量的平行关系 （11） 向量的垂直关系 （12） 向量模的运算 明·直击考点 序号 考点 考点01 平行（共线）的综合运算 考点02 垂直的综合运算 考点03 数量积的综合运算 考点04 投影的综合运算 考点05 模长的综合运算 考点06 夹角的综合运算 考点07 平面向量基本定理及爪子定理的应用 考点08 系数和（等和线） 考点09 极化恒等式 考点10 平面向量奔驰定理与三角形四心问题 考点11 平面向量中的范围与最值问题 考点01 平行（共线）的综合运算 通·模考通透 1．（2025·广东肇庆·二模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标运算求得向量的坐标，利用向量共线的条件的坐标表示得到方程，求解可得. 【详解】因，，故， 又，故得 故选：A. 2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由条件可得 因为， 所以 所以 故选：B 3．（2024·广东·二模）已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】引入参数，由平面向量基本定理建立方程组即可求解. 【详解】若与共线，则设， 因为向量与能作为平面向量的一组基底， 所以，所以，解得. 故选：B. 考点02 垂直的综合运算 通·模考通透 4．（2025·浙江·一模）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由，，，， 由得，解得. 故选：C. 5．（2024·广东韶关·一模）已知向量，若与垂直.则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用向量的坐标运算，得到，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，向量，可得， 因为，所以，解得， 所以当时，与垂直， 故选：A. 6．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量加减法及向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】由题， 由得，即，. 故选：D． 考点03 数量积的综合运算 通·模考通透 7．（2024·湖北·二模）已知正方形的边长为2，若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 由可得为的中点，所以， 易知，可得， 所以. 故选：B 8．（2024·四川达州·二模）已知向量，若，且，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先应用线性运算得出,再根据向量的数量积公式计算求参. 【详解】因为， 所以, , 所以. 故选:A. 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 考点04 投影的综合运算 通·模考通透 10．（2025·江西九江·一模）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得， 在上的投影向量为. 故选：B． 11．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义，结合数量积的运算律求解即得. 【详解】由向量与的夹角为，得， 由在方向上的投影向量为，得，则， 整理得，所以. 故选：A 12．（2025·广西柳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在直线上，若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先依据条件设定点的坐标，接着根据投影向量概念公式直接计算即可求解. 【详解】由题可设，则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A 考点05 模长的综合运算 通·模考通透 13．（2025·广东·一模）已知向量满足，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及向量数量积运算律计算得解. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：C 14．（2024·河北·一模）已知向量的夹角为30°，且，则 【答案】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 15．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 . 【答案】/ 【分析】结合数量积的定义和性质求出、和，利用即可求出答案. 【详解】因为，所以， 因为，，， ， 所以， ， 因为， ， 所以. 故答案为：. 考点06 夹角的综合运算 通·模考通透 16．（2024·广东·一模）已知向量，，且，则向量与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量垂直则数量积为零，可求出t，再由利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可. 【详解】由，，得， 由，得，解得，则， 则，，， 因此，而， 所以. 故选：D 17．（2025·陕西榆林·二模）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法1，由，得，化简后结合数量积的定义可求得结果；解法2，由已知条件可得，，，则，，从而可求得结果. 【详解】解法1：因为，，， 所以， 所以， 因为，所以. 解法2：由，，，， 可知， 令，，则，， ， 因为， 所以. 故选：D 18．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积公式计算得到，从而得到与的夹角. 【详解】 ， ，且，，， ， ， ， ，且 ， ，即与的夹角为 故选: 考点07 平面向量基本定理及爪子定理的应用 通·模考通透 19．（2024·新疆·模拟预测）在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理及三点共线即可求解. 【详解】    由题意可得：， ， 设， 则, 又三点共线，所以， 解得， 所以， 故选：A 20．（2024·广东·模拟预测）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】在中，取为基底， 因为点分别为的中点，， 所以， 所以. 故选：A. 21．（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C. 考点08 系数和（等和线） 通·模考通透 22．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可． 【详解】由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 结合已知得，，， 半圆弧的方程为：， 设，则，，， 由得：， 解得：， 所以， 因为在上，所以， 又， 则可设，，， 将，代入整理得： ， 由得， 所以，， 故的取值范围是. 故选：D. 23．（2024·广东深圳·一模）设点，若动点满足，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，根据向量的坐标表示和模的概念可得，由题意和相等向量可得，进而，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 整理，得， 又， 代入， 有，所以， 由，得，当且仅当时等号成立， 所以，得， 所以. 即的最大值为. 故答案为： 24．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可. 【详解】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设， 又， 则， ，即 ， 解得， , 因为，则， 所以当时，取得最大值1， 则的最大值为. 故答案为：. 考点09 极化恒等式 通·模考通透 25．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 26．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，计算可得结论. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又，所以， 所以， 因为，所以. 故选：A. 27．（2024·湖北·一模）如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可. 【详解】由，解得. 设， 则. 故选：C 考点10 平面向量奔驰定理与三角形四心问题 通·模考通透 28．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足abc，则G是△ABC中的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】用表示出，结合图形即可得出G在∠BAC的角平分线上． 【详解】解：∵abc， ∴ab（）+c（）， ∴（a+b+c）bc， 即， ∴G在∠BAC的角平分线上， 同理可得：G在∠ABC的角平分线上， ∴G是△ABC的内心． 故选：A． 29．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案. 【详解】如图，因为， 所以，同理，， 所以为的垂心。 因为四边形的对角互补，所以， ． 同理，， ， ． ， ． 又 ． 由奔驰定理得. 故选C． 【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题. 30．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值； 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确；    对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误；    对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD.    【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断. 考点11 平面向量中的范围与最值问题 通·模考通透 31．已知向量，向量的模长均为2，且.若向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意首先得，然后，结合约束条件可得，进一步利用三角换元、三角函数性质以及三角恒等变换即可求解. 【详解】因为向量，向量的模长均为2，且，所以， 解得， 不妨设， 所以， 因为， 所以，整理得， 设， 所以 ，其中， 所以，等号成立当且仅当， 综上所述，的最大值是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于适当转换约束条件得出，结合向量的模长公式即可求解. 32．（2024·江西·模拟预测）已知向量，其中，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直，可得数量积为零，然后结合二倍角公式、弦化切、正切的两角和公式化简，再用换元，结合基本不等式即可求出结果. 【详解】由题知，， 则， 即， 因为，所以，则， 所以，则， 整理得， 令，因为，所以，，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题决的关键是利用三角恒等变换将转化为关于的表达式，从而得解. 33．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得. 【详解】 如图，设，，，点在圆上， 点在圆上，则，，由可得：， 作矩形, 则. 下证： . 设交于点，连接,因则 ， 同理可得：，两式左右分别相加得： ， . 即，故. 又，因， 即，故有． 故选:C． 【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题. 处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得； （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得； （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直. 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·云南昭通·一模）已知向量，是单位向量，且，则为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由，两边平方可得，再将平方即可得答案. 【详解】因为向量，是单位向量，所以 由则， 所以， 故选：B. 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知向量、满足，，若，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的值，利用投影向量的定义可求得向量在上的投影向量的坐标. 【详解】由，得，所以，， 向量在上的投影向量为. 故选：C. 3．（2025·福建·模拟预测）已知为平面内夹角为的单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对等式两边平方得到，进而求出结果. 【详解】两边平方可得，， 所以，故， 故选：C． 4．（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ）. A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 5．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线，则可设，由三点共线，则可设，然后根据题意都用表示，从而可求出的值，进而可求得答案 【详解】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 6．（2025·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标表示，结合基本不等式求出最大值及最小值即得. 【详解】在中，，则，即， 以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，， 由点P，Q是线段AB上的动点，设， 于是， 因此，当且仅当时取等号， 而，则当，即时，， 又，当且仅当或时取等号， 所以的取值范围是. 故选：D 7．（2025·河南郑州·模拟预测）已知是单位圆上的三个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设出，，，表达出，结合，求出最小值. 【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，，， 则， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 由于，故当时，最小，故最小值为， 此时，满足要求， 故选：B. 8．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，，为的中点，为上一点，且，，则（   ） A．0或 B． C． D．0或 【答案】A 【分析】根据求出，令，求出的表达式，在中使用余弦定理求出. 【详解】因为， 所以，令， 则， 即，在中，由余弦定理得，即，解得或. 故选：A. 9．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意，，由得，进而可得. 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 10．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（    ） A．8 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出、，利用余弦定理确定，利用面积得到，由此推断最大时，最大，取最小值，利用坐标运算得到：，由二次函数性质求最值即可. 【详解】 设为轴正半轴上的单位向量， 令，，， 如图所示，设与的夹角为，若， 在中，由余弦定理有：则， 而， 所以，所以， 因为，所以， 有根据正弦定理有：，即， 整理有：，所以， 当与的夹角最大时，最大，取最小值， 因为， 当且仅当时，取等号，所以当与的夹角最大时，. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于建立适当的平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，结合二次函数性质求值. 二、多选题 11．（2025·福建厦门·一模）已知平面向量，，则（   ） A．，不可能垂直 B．，不可能共线 C．不可能为5 D．若，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据向量数量积的坐标运算及模长公式结合正弦函数值域计算判断A，C，再应用平行向量坐标运算判断B，应用投影向量公式计算判断D. 【详解】，A选项正确； 若向量，共线，则，解得，所以向量，可能共线，B选项错误； ，所以，C选项正确； 若，则，，所以在方向上的投影向量为，D选项正确； 故选：ACD． 12．（2025·陕西·一模）若向量，，，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量是 【答案】CD 【分析】利用向量模长公式判断A；根据向量平行的性质判断B；根据向量垂直数量积为零判断C；利用投影向量的定义判断D. 【详解】因为向量，，， 对于A，，故 A 错误； 对于B，，与不平行，故B错误； 对于C，因为，则，，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确． 故选：CD. 13．（2025·广东佛山·一模）在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 【答案】AC 【分析】A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解. 【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，， 即，即，由正弦定理，， 即，则为锐角，由， 解得，，A选项正确， B选项：由A选项和题干可知，， ，故，B选项错误. C选项：在方向上的投影向量为， 由B知，，，且，解得， 由正弦定理，，则，C选项正确. D选项：由正弦定理，，即，解得， 于是，，D选项错误. 故选：AC 三、填空题 14．（2025·江西新余·一模）已知向量，若与是共线向量，则实数 . 【答案】/0.5 【分析】由向量线性关系的坐标运算及共线的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，，且两向量共线， 所以，则. 故答案为： 15．（2025·江西景德镇·二模）已知向量，满足，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解. 【详解】由，得，， ． 故答案为： $$第96天-搞定平面向量（11考点） 第96天寄语： 这一年，你挑灯夜战、披星戴月，每一次与困倦斗争的深夜，都是在为梦想添砖加瓦。高考倒计时已开启，最后的冲刺，就是把这些积累的能量全部释放，去拥抱更广阔的人生。 识·必备知识 1. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 2. 向量的运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 （2） 向量的加减法 ， ， （3） 向量的数乘运算 ，则： （4） 向量的模 ，则的模 （5） 相反向量 已知，则；已知 （6） 单位向量 （7） 向量的数量积 （8） 向量的夹角 （9） 投影向量 向量在上的投影向量为 （10） 向量的平行关系 （11） 向量的垂直关系 （12） 向量模的运算 明·直击考点 序号 考点 考点01 平行（共线）的综合运算 考点02 垂直的综合运算 考点03 数量积的综合运算 考点04 投影的综合运算 考点05 模长的综合运算 考点06 夹角的综合运算 考点07 平面向量基本定理及爪子定理的应用 考点08 系数和（等和线） 考点09 极化恒等式 考点10 平面向量奔驰定理与三角形四心问题 考点11 平面向量中的范围与最值问题 考点01 平行（共线）的综合运算 通·模考通透 1．（2025·广东肇庆·二模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．（2024·广东·二模）已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（    ） A． B． C． D． 考点02 垂直的综合运算 通·模考通透 4．（2025·浙江·一模）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2024·广东韶关·一模）已知向量，若与垂直.则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 考点03 数量积的综合运算 通·模考通透 7．（2024·湖北·二模）已知正方形的边长为2，若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 8．（2024·四川达州·二模）已知向量，若，且，则实数（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 考点04 投影的综合运算 通·模考通透 10．（2025·江西九江·一模）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 12．（2025·广西柳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在直线上，若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 考点05 模长的综合运算 通·模考通透 13．（2025·广东·一模）已知向量满足，则（    ） A．2 B． C． D．3 14．（2024·河北·一模）已知向量的夹角为30°，且，则 15．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 . 考点06 夹角的综合运算 通·模考通透 16．（2024·广东·一模）已知向量，，且，则向量与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 17．（2025·陕西榆林·二模）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 考点07 平面向量基本定理及爪子定理的应用 通·模考通透 19．（2024·新疆·模拟预测）在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（   ） A． B． C． D． 20．（2024·广东·模拟预测）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 考点08 系数和（等和线） 通·模考通透 22．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·广东深圳·一模）设点，若动点满足，且，则的最大值为 ． 24．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ． 考点09 极化恒等式 通·模考通透 25．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·湖北·一模）如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 考点10 平面向量奔驰定理与三角形四心问题 通·模考通透 28．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足abc，则G是△ABC中的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 29．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（    ） A． B． C． D． 30．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 考点11 平面向量中的范围与最值问题 通·模考通透 31．已知向量，向量的模长均为2，且.若向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·江西·模拟预测）已知向量，其中，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 33．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·云南昭通·一模）已知向量，是单位向量，且，则为（    ） A． B． C．3 D．5 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知向量、满足，，若，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·模拟预测）已知为平面内夹角为的单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ）. A． B． C． D．2 5．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南郑州·模拟预测）已知是单位圆上的三个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D．0 8．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，，为的中点，为上一点，且，，则（   ） A．0或 B． C． D．0或 9．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 10．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（    ） A．8 B．5 C． D． 二、多选题 11．（2025·福建厦门·一模）已知平面向量，，则（   ） A．，不可能垂直 B．，不可能共线 C．不可能为5 D．若，则在方向上的投影向量为 12．（2025·陕西·一模）若向量，，，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量是 13．（2025·广东佛山·一模）在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 三、填空题 14．（2025·江西新余·一模）已知向量，若与是共线向量，则实数 . 15．（2025·江西景德镇·二模）已知向量，满足，，，则 ． $$