第94天 搞定基本不等式（含权方和不等式）（10考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第94天- 搞定基本不等式（含权方和不等式） （10考点） 第94天寄语： 这一笔落下，不是终点，而是通往星辰大海的起点。 识·必备知识 1. ，，（积定和最小） 2. ，，（和定积最大） 3. ，， 4. 推广公式： 5. 权方和不等式：若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀) 明·直击考点 序号 考点 考点01 巧用“1”或常数关系求最值 考点02 拼凑法求最值 考点03 换元法求最值 考点04 二次与二次（一次）的商式求最值 考点05 条件等式变形求最值 考点06 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 考点07 权方和不等式秒解 考点08 基本不等式多选题 考点09 基本不等式在三角函数、三角恒等、解三角形中的应用 考点10 基本不等式在解析几何中的应用 考点01 巧用“1”或常数关系求最值 通·模考通透 1．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 2．（23-24高二下·云南大理·期中）已知曲线关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 3．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．13 B． C．14 D． 考点02 拼凑法求最值 通·模考通透 4．（2024·河南信阳·模拟预测），则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 5．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 考点03 换元法求最值 通·模考通透 7．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 8．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 考点04 二次与二次（一次）的商式求最值 通·模考通透 10．函数的最小值为 ． 11．函数在上的最大值为 ． 12．已知，则函数的最小值是 ． 考点05 条件等式变形求最值 通·模考通透 13．（2024·山西·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z满足，则的最大值是 ． 15．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点06 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 通·模考通透 16．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 18．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点07 权方和不等式秒解 通·模考通透 19．已知为锐角，则的最小值为 . 20．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 21．已知正数，，满足，则的最小值为 考点08 基本不等式多选题 通·模考通透 22．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 23．（2024·重庆·模拟预测）若 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·安徽宣城·阶段练习）已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 考点09 基本不等式在三角函数、三角恒等、解三角形中的应用 通·模考通透 25．（2024·江西·二模）在中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·安徽合肥·二模）记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·江苏泰州·模拟预测）设的内角的对边分别为若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点10 基本不等式在解析几何中的应用 通·模考通透 28．（2024·四川·一模）双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为 ． 29．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知分别为椭圆的左右焦点，过点的一条直线与交于，两点，，则椭圆的长轴的最小值为 . 30．（2024·全国·模拟预测）抛物线的焦点为，为其准线上任意一点，过点作的两条切线，切点为（点与在抛物线同侧），则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 练·抢分演练 一、单选题 1．（2024·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 3．（2024·河南·模拟预测）设正实数a，b，c满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 4．（2024·四川·一模）在锐角三角形中，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·模拟预测）已知正数满足，则当取得最大值时，（    ） A． B．4 C． D． 6．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 7．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（2024·江西·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . 10．（2025·福建·模拟预测）已知，则的最小值为 . 11．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且，若当取最小值时有，则的取值范围是 . 12．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，则的最大值为 . 13．（2025·河南郑州·一模）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为 . 14．（2025·重庆·一模）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则的最小值为 . 15．（2025·山东青岛·一模）已知公比不为的等比数列中，存在，满足，则的最小值为 ． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第94天- 搞定基本不等式（含权方和不等式） （10考点） 第94天寄语： 这一笔落下，不是终点，而是通往星辰大海的起点。 识·必备知识 1. ，，（积定和最小） 2. ，，（和定积最大） 3. ，， 4. 推广公式： 5. 权方和不等式：若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀) 明·直击考点 序号 考点 考点01 巧用“1”或常数关系求最值 考点02 拼凑法求最值 考点03 换元法求最值 考点04 二次与二次（一次）的商式求最值 考点05 条件等式变形求最值 考点06 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 考点07 权方和不等式秒解 考点08 基本不等式多选题 考点09 基本不等式在三角函数、三角恒等、解三角形中的应用 考点10 基本不等式在解析几何中的应用 考点01 巧用“1”或常数关系求最值 通·模考通透 1．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值． 【详解】由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：A 2．（23-24高二下·云南大理·期中）已知曲线关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】利用圆的对称性和基本不等式求解. 【详解】曲线 表示一个圆,则圆心为(2,1)圆， 因为曲线关于直线对称， 圆心(2,1)在直线 上,则 ,即 , 又 . 当且仅当 时,即 时取等. 故选:D. 3．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．13 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】由，利用基本不等式即可求. 【详解】，，又，且， ， 当且仅当，解得时等号成立，故的最小值为13. 故选：A 考点02 拼凑法求最值 通·模考通透 4．（2024·河南信阳·模拟预测），则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】由已知可得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，则，且, 整理得到， 所以，当且仅当，即时取等号. 即的最小值为. 故选：C. 5．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由正数满足，可得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为x≥1，所以 (当且仅当x＝2时取等号)； ，但是等号取不到； 因为函数在[1，＋∞)上单调递增，所以≥2，当x＝1时取等号； 因为x≥1，所以 (当且仅当x＝1时取等号). 故选：ACD. 考点03 换元法求最值 通·模考通透 7．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】首先利用条件变形为，再利用基本不等式求的取值范围，再构造函数，利用函数的单调性，即可求解. 【详解】， ， 因为，且，所以， 设，， 函数在区间单调递减，所以函数的最小值为. 故选：D 8．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值. 【详解】， ， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 9．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】令，，从而可得，，再根据，结合基本不等式求解即可. 【详解】令，，则，，且，， 所以，． 又，所以 ， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故答案为：12 考点04 二次与二次（一次）的商式求最值 通·模考通透 10．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 11．函数在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 12．已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 考点05 条件等式变形求最值 通·模考通透 13．（2024·山西·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件得到，再由结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 14．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z满足，则的最大值是 ． 【答案】/0.75 【分析】根据给定条件，消去并变形，借助二次函数最值求解即得. 【详解】实数x，y，z满足，则， 于是 ， 当且仅当且时取等号，所以当时，. 故答案为： 15．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合和运算求解. 【详解】因为，即， 且， 即，解得， 当且仅当，时，， 当且仅当时，， 所以的取值范围是. 故选：C. 考点06 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 通·模考通透 16．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 17．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解. 18．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 考点07 权方和不等式秒解 通·模考通透 19．已知为锐角，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用权方和不等式：求解. 【详解】 当且仅当即，时取“”. 故答案为： 20．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 21．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 考点08 基本不等式多选题 通·模考通透 22．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由条件结合基本不等式证明，由此可判断ABD，由条件，展开结合基本不等式求其范围判断C.. 【详解】因为，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 又， 所以，当且仅当时等号成立，A正确； 所以，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立， 所以，D错误； 因为，，所以，， 故，， 所以，C正确.. 故选：ABC. 23．（2024·重庆·模拟预测）若 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式，结合对勾函数单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，由，得，，则，B正确； 对于C，，则， 当且仅当时取等号，因此，C错误； 对于D，， 令，对勾函数在上递减，在上递增， 因此，D正确. 故选：ABD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 24．（24-25高一上·安徽宣城·阶段练习）已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可 【详解】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为8，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确. 故选：AD. 考点09 基本不等式在三角函数、三角恒等、解三角形中的应用 通·模考通透 25．（2024·江西·二模）在中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由已知条件结合整理得，，，再对进行弦化切，结合换元法、基本不等式、对勾函数性质即可求解取值范围. 【详解】由以及得 ， 又由得， 所以，且B，C均为锐角，即，， 所以， 因为， 所以， 设， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，故由对勾函数性质， 则. 故选：B. 【点睛】思路点睛：解三角形取值范围问题通常结合使用辅助角利用三角函数有界性、一元二次函数单调性、基本不等式等求解. 26．（2024·安徽合肥·二模）记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角的大小，再由余弦定理及基本不等式可得的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值． 【详解】因为，可得， 即， 整理可得， 即， 在三角形中，， 即，,可得； 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 而， 所以， 所以． 即该三角形的面积的最大值为． 故选：A． 27．（2024·江苏泰州·模拟预测）设的内角的对边分别为若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法1：根据题意，得到，设，，结合两角和的正切公式，利用方程求得，得到，结合基本不等式求得的最大值，进而求得三角形的最大面积，得到答案. 解法2：根据题意，求得，过点作，求得，取的中点，得到，求得在以为直径的圆上，进而求得面积的最大值. 【详解】解法1：由， 可得， 所以，所以， 又由，所以， 可得，所以，可得为钝角，为锐角， 设， 可得，即 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：D. 解法2、由， 可得，可得， 则角为钝角，为锐角， 过点作，如图所示， 在直角中，可得， 在直角 中，可得， 由，可得，即为的中点， 取的中点，则，可得， 可得点在以为直径的圆上，此圆的半径为，所以最大面积为. 故选：D. 考点10 基本不等式在解析几何中的应用 通·模考通透 28．（2024·四川·一模）双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】结合双曲线定义可得，结合平面几何知识求其最小值，列方程求，由此可得双曲线方程及其渐近线方程，设，表示。结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为动点在双曲线右支上， 所以， 所以， 不妨设点在渐近线上， 过点作，则， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时等号成立， 因为的坐标为，故， 所以的最小值为，由已知， 因为双曲线的焦距为， 所以，又， 所以（舍去），或， 所以双曲线的方程为， 其渐近线方程为和 设点的坐标为，则，， 故，， 所以， 当且仅当，时等号成立; 所以的最小值为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值. 29．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知分别为椭圆的左右焦点，过点的一条直线与交于，两点，，则椭圆的长轴的最小值为 . 【答案】 【分析】设，则，在中，根据余弦定理，得，再利用基本不等式求最值. 【详解】根据题意，如图，， 设，则， 根据椭圆定义，可得，， 在中，根据余弦定理，， 即， 得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以椭圆的长轴的最小值为. 故答案为：. 30．（2024·全国·模拟预测）抛物线的焦点为，为其准线上任意一点，过点作的两条切线，切点为（点与在抛物线同侧），则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据过点的直线与抛物线相切，得到，利用抛物线对称性设不妨设切点为在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得，得，最后利用基本不等式求最值. 【详解】    由，可知抛物线焦点，准线方程为， 因为为其准线上任意一点，设， 设过点且与抛物线相切的直线为：，① 由得：， 所以，整理得，，② 所以，是方程②的两根， 所以，故， 所以， 利用抛物线对称性，不妨设切点为在第一象限，坐标为， 由得，所以， 所以直线的斜率， 代入①可得切线的方程为：， 又因为点在直线上， 所以，所以， 所以点的坐标为， 所以，， 所以 . 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D 练·抢分演练 一、单选题 1．（2024·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】解法（1）采用三角换元，令，再结合余弦函数的值域求解即可；解法（2）采用基本不等式求解即可； 【详解】解法（1）：由， 令，即，， ，即最大值为2； 解法（2）： 当且仅当，即时取等号， ，即最大值为2， 故选：A. 2．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 【答案】C 【分析】对A，利用偶函数定义判断；对B，利用函数对称性的定义判断；对C，根据周期函数的定义判断；对D，令，则 ，利用基本不等式求出最小值. 【详解】对于A，的定义域为 R ， 因为 ， 所以是 R 上的偶函数，所以函数的图象关于 y 轴对称，故A正确； 对于B，对于任意的， ， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为 ， 所以 为函数的一个周期，故不是函数的最小正周期，故C错误； 对于D，因为，设 ， 则 ，因为 ，当且仅当 ，即时等号成立， 所以函数 的最小值为2，故 D 正确. 故选：C. 3．（2024·河南·模拟预测）设正实数a，b，c满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意得，从而利用基本不等式求得的最大值及成立的条件，从而化为，最后利用二次函数性质求解即可. 【详解】依题意，由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则代入中，得，所以， 因此， 当且仅当时取等号，所以当，，，时，取得最大值. 故选：B. 4．（2024·四川·一模）在锐角三角形中，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可求出，进而得出，借助诱导公式，正切的和角公式以及重要不等式即可求. 【详解】因为三角形为锐角三角形，且， 所以，解得， 所以， 又， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A 5．（2025·河南·模拟预测）已知正数满足，则当取得最大值时，（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得得，代入可得，设对右侧进行换元，再结合基本不等式求目标函数的最值，并确定取最值的条件. 【详解】由，得， ， ，， 令， 则， 当且仅当，即时取等号，此时． 故选：D． 6．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】设，得，两次应用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件即可． 【详解】设，则，，， ∴，当且仅当时取等号， 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以的最小值是2， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，，相加后基本不等式求得最小值． 7．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，结合余弦定理可得，利用两角差的正切公式可得，利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为成等差数列，即， 则，， 所以，即，且， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：关键在于利用余弦定理得到，进而利用两角差的正切公式结合基本不等式求解. 二、多选题 8．（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：利用基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：例如，则，可得， 所以的最小值不为4，故A错误； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 9．（2024·江西·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】将目标代数式通过1的代换变形为积为定值的形式，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为， 当且仅当时，即等号成立. 故答案为：1． 10．（2025·福建·模拟预测）已知，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】先设，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】设， 则． （当且仅当,即时，即取“＝”） 故答案为：9 11．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且，若当取最小值时有，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断，当且仅当时等号成立，根据对勾函数的单调性可得，解不等式即可得答案. 【详解】由于，当且仅当时等号成立. . 由于对勾函数在上单调递减，上单调递增， 若取最小值时有，则，即. 解得， 又由于，所以的取值范围是. 故答案为:. 12．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由条件可得，然后化为，利用均值不等式可得出答案. 【详解】因为 所以， 即； 即， 故， 因为，所以， 令，， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值为. 故答案为：. 13．（2025·河南郑州·一模）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，，根据已知有，再应用基本不等式求的最大值，即可求面积的最大值. 【详解】设，，，则， 因为的周长为4，所以， 因为，当且仅当时取等号， 故，则，则面积满足 故面积的最大值为 故答案为：. 14．（2025·重庆·一模）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据等比数列的性质整理可得公比，再利用通项公式代入中，可得出与的关系，最后结合基本不等式即可求解。 【详解】由题，因为，， 所以， 因为各项均为正数，所以，则，解得或（舍去）， 又，则， 所以，即，则， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为. 故答案为： 15．（2025·山东青岛·一模）已知公比不为的等比数列中，存在，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质可得，再根据基本不等式结合对勾函数性质求解即可. 【详解】设的公比为，因为，则，故，. 则， 当且仅当，即时等号成立，此时，但. 结合对勾函数的性质，当时，； 当时，， 因为，故的最小值为，此时. 故答案为： 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$