第90天 搞定分段函数（6考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第90天-搞定分段函数（6考点） 第90天寄语： 用高考冲刺这段时光，塑造一个坚韧不拔的自己， 这样的你，足以征服未来的任何挑战。 识·必备知识 1.分段函数的定义 如果函数, 根据自变量在 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数，例如就是一个分段函数。 2.分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象。 3.关于分段函数概念的理解 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数. (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围. (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 明·直击考点 序号 考点 考点01 分段函数求值 考点02 由分段函数值求参数值 考点03 分段函数的单调性 考点04 分段函数载体中求解不等式 考点05 分段函数的值域 考点06 分段函数的零点、交点 考点01 分段函数求值 通·模考通透 1．（2025·广东茂名·一模）已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：C 2．（2024·湖南益阳·一模）已知，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】先求，再求，即可求解. 【详解】根据已知， 所以. 故选：. 3．（2024·陕西咸阳·一模）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简得，，根据分段函数自变量范围，代入分段函数解析式求解即可. 【详解】，， 由，得. 故选：A 考点02 由分段函数值求参数值 通·模考通透 4．（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【答案】B 【分析】分和，求解，即可得出答案. 【详解】当时，，则，解得：（舍去）； 当时，，则，解得：. 故选：B. 5．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数，满足，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】将的值依次代入解析式，解出的值即可求解. 【详解】， 即，则. 故选：. 6．（2024·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况解方程即可求解. 【详解】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 考点03 分段函数的单调性 通·模考通透 7．（2025·福建·模拟预测）若且，已知是R上的单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数单调递增得出函数是增函数，再根据对数复合函数的单调性及分段函数列不等式求解即可. 【详解】因为在R上单调，且当时，单调递增， ∴在R上单调递增，则需满足， 解得， 即a的取值范围是， 故选：B． 8．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次函数性质结合题意列出关于的不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以. 故选：A. 9．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】显然在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得. 故选：D 考点04 分段函数载体中求解不等式 通·模考通透 10．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，解不等式，得到不等式解集. 【详解】由题意可知当时，,故，满足题意； 当时，令，即，解得，所以. 综上，. 故选：C 11．（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以，可得； 当时，不等式可化为， 所以，且， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：B. 12．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助导数判断函数单调性，并分段求解不等式即得. 【详解】当时，，求导得，令， 求导得，则函数，即在上单调递增，， 函数在上单调递减，而，当时，不等式，因此； 当时，，由，得，因此， 所以不等式的解集为. 故选：D 考点05 分段函数的值域 通·模考通透 13．（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知当时，的取值范围是，当时，的最大值为，且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷，由此即可列出不等式求解. 【详解】当时，的取值范围是， 注意到，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的最大值为， 且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷， 若函数的值域为， 则当且仅当，解得. 故选：A. 14．（2024·广东佛山·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为，求实数的取值范围. 【详解】若，在上，函数单调递增，所以； 此时，函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值，所以； 因为函数的值域为，所以，结合得. 若，则的值域为； 若，在上，函数单调递减，所以（）； 在上，函数单调递减，在上单调递增，无最大值，所以； 所以函数的值域不可能为； 若，则函数在上，函数单调递减，所以（）； 在上，函数单调递增，， 此时函数的值域不可能为. 综上可知：当时，函数的值域为. 故选：D 15．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】①若， 当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，则解得； ②若， 当时，在上单调递增，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，不合题意； ③当时，， 若，有（当且仅当时取等号）符合题意， 综上所述：. 故选：D. 考点06 分段函数的零点、交点 通·模考通透 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探讨函数的性质并画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数图象与直线有4个交点，数形结合即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象：    函数仅有4个零点，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：A 17．（2024·山西太原·二模）已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，转化为两个函数有三个交点，利用数形结合计算特殊位置即可. 【详解】 如图所示，作出函数的图象， 方程恰有三个不同实数根，等价于上述两个函数图象有三个交点， 易知， 显然与必有一个交点， 所以要满足题意需与有两个交点， ①先求与相切时的值， 设切点为，则， 令， 即单调递增， 又，所以， 当过点时，， 此时满足条件的 ②再求与相切时的值， 联立，， 易知切点横坐标为，显然时，，符合要求， 当过点时，， 此时满足条件的， 综上：. 故选：C 【点睛】思路点睛：关于分段函数的零点个数问题，可以转化为两个函数的交点问题，利用数形结合的思想及直线斜率的变化计算特殊位置即可. 18．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】令，求出方程的根，再结合图象求出的解的个数即可. 【详解】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图：      又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5. 故选：B 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 练·抢分演练 一、单选题 1．（2024·吉林长春·模拟预测）设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况进行求解即可得答案. 【详解】当时，则，解得； 当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故选：A． 2．（2024·四川巴中·模拟预测）设函数；若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数图象，判断函数单调性，结合解一元二次不等式，即得答案. 【详解】作出函数的图象，如图：    可知函数在R上为单调递增函数， 故由可得，即， 解得或， 即实数a的取值范围是, 故选：A 3．（2024·甘肃张掖·一模）已知函数若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由任意得在上单调递减，从而得出的不等关系解出即可. 【详解】因为，所以在上单调递减． 因为在上单调递减, 所以解得，即实数的取值范围是． 故选：B. 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若，则的取值（    ） A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能 【答案】D 【分析】根据题意，应用特殊值法说明即可. 【详解】例如，则， 符合题意，此时； 例如，则， 符合题意，此时； 例如，则， 符合题意，此时； 综上所述：的取值正、负、零都可能. 故选：D. 5．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数结合导函数求出，再根据点斜式得出直线方程. 【详解】当时，， 当时，，则， 所以，． 则所求的切线方程为，即． 故选：B. 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围，再由可得答案. 【详解】∵在上单调递增，∴，∴， 所以， ∵，， ∴，，∴. 故选：B. 7．（2024·河南·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性判断方法进行分析，在每一段上通过分离参数求最值得到的取值范围. 【详解】当时，，， ，令，， 令，可得，令，可得， 故在上单调递减，上单调递增，； 当时，，，， 令，， 故在上单调递减，， 同时还需满足，解得. 综上，的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，其中，若函数有2个不同的零点，则a取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据的范围进行分类，利用导数研究函数的零点. 【详解】当时， 时，，， 故函数在区间上单调递增， 因，当时，，故函数在区间上有1个零点 时，开口向下，对称轴为， 故函数在上单调递增，在上单调递减，且， 故函数在上无零点，在有一个零点， 故时，函数有2个不同的零点，符合题意； 当时， 时，，， 当时，，当时，， 故时，， 故函数在区间上无零点， 当时，开口向上，对称轴为， ，函数在区间上无零点， 故函数无零点，不符合题意； 当时，， 当时，，， 函数在区间上单调递减，， 故函数在区间上无零点， 当时，得， 故函数有1个零点，不符合题意； 当时， 当时，，， 函数在区间上单调递减，， 故函数在区间上无零点， 当时，开口向上，对称轴为， ，函数在区间上有2零点， 故函数有2个零点，符合题意； 综上可知，的取值范围为， 故选：BC 三、填空题 9．（2025·山东日照·一模）已知函数，则 ． 【答案】/ 【分析】根据自变量的取值范围代入相应的函数表达式进行计算，然后将计算结果相加 . 【详解】因 ， ， 则. 故答案为：. 10．（2024·上海浦东新·三模）已知为偶函数，若，则 ． 【答案】或 【分析】由导数判断出的单调性，当，求解方程，结合偶函数的性质，即可求得的值． 【详解】因为为偶函数，所以， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 若，，解得， 由为偶函数得，当时，， 故的值为或， 故答案为：或． 11．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的定义计算函数值后，解方程可得． 【详解】，所以，所以，解得. 故答案为： 12．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 13．（2024·四川泸州·一模）已知函数，对任意实数，方程都有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得值域为，再结合分段函数性质，分别计算在时及时的值域即可得. 【详解】由题意可得值域为，当时，， 则当时，对，有，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（2025·新疆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分别判断分段函数的上段与下段的单调性，然后构造函数，并算出，再利用函数的单调性求出即可得出结论. 【详解】设，均随着 的增大而增大，所以在为增函数， ，则,所以在为增函数， 且当分别代入、，可得， 所以在上单调递增， 令，则在上单调递增， 又. 不等式的解集为. 故答案为：. 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则 . 【答案】0 【分析】利用的奇偶性和周期性求得，即可得解. 【详解】由题知，是奇函数且是周期为4的周期函数， 又当时， 则 ， 故. 故答案为：0 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第90天-搞定分段函数（6考点） 第90天寄语： 用高考冲刺这段时光，塑造一个坚韧不拔的自己， 这样的你，足以征服未来的任何挑战。 识·必备知识 1.分段函数的定义 如果函数, 根据自变量在 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数，例如就是一个分段函数。 2.分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象。 3.关于分段函数概念的理解 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数. (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围. (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 明·直击考点 序号 考点 考点01 分段函数求值 考点02 由分段函数值求参数值 考点03 分段函数的单调性 考点04 分段函数载体中求解不等式 考点05 分段函数的值域 考点06 分段函数的零点、交点 考点01 分段函数求值 通·模考通透 1．（2025·广东茂名·一模）已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 2．（2024·湖南益阳·一模）已知，则（    ） A． B．0 C． D． 3．（2024·陕西咸阳·一模）设函数，则（    ） A． B． C． D． 考点02 由分段函数值求参数值 通·模考通透 4．（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 5．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数，满足，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2024·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 考点03 分段函数的单调性 通·模考通透 7．（2025·福建·模拟预测）若且，已知是R上的单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点04 分段函数载体中求解不等式 通·模考通透 10．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点05 分段函数的值域 通·模考通透 13．（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·广东佛山·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点06 分段函数的零点、交点 通·模考通透 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（2024·山西太原·二模）已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 练·抢分演练 一、单选题 1．（2024·吉林长春·模拟预测）设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川巴中·模拟预测）设函数；若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃张掖·一模）已知函数若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若，则的取值（    ） A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能 5．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·河南·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，其中，若函数有2个不同的零点，则a取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（2025·山东日照·一模）已知函数，则 ． 10．（2024·上海浦东新·三模）已知为偶函数，若，则 ． 11．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，，则实数a的值为 . 12．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 13．（2024·四川泸州·一模）已知函数，对任意实数，方程都有解，则实数的取值范围是 . 14．（2025·新疆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$