专题05 特殊平行四边形中压轴四大类型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题05 特殊平行四边形中压轴四大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、特殊平行四边形中求定值问题 1 类型二、特殊平行变形中求最小值问题 3 类型三、特殊平行四边形中求最大值问题 8 类型四、特殊平行四边形中动点问题 13 压轴能力测评（11题） 25 类型一、特殊平行四边形中求定值问题 【典例1】（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的值为定值， 【分析】本题考查了正方形的性质与判定和矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等． （1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断，为定值． 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ，即， 是正方形对角线的交点， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：的值为定值， 矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 是定值． 【变式1-1】（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点O，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则等于（　　） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，利用矩形的性质和勾股定理求出的长，然后由求得答案． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， 即：， ∴． 故选：C． 类型二、特殊平行四边形中求最小值问题 【典例2】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 【答案】B 【分析】作关于的对称点，连接，．当三点共线，且垂直于，最小，求出菱形的面积，再利用等面积法进行求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴四边形关于对称， ∴点的对称点在上， ∴，且当时，最小，即最小， ∴当点三点共线，且时，取得最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ，， ， ， ， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，垂线段最短以及轴对称的性质，熟练掌握知识点，正确找到最小时是解题的关键． 【变式2-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，菱形的边长为2，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，解题的关键是作出关于的对称点，连接，当时，有最小值，最小值为的长，解直角三角形求得即可． 【详解】解：如图，关于的对称点，连接， 菱形关于对称，是边上点， 是边上的点，， 当时，有最小值，最小值为的长． 菱形的边长为2，， ， 的最小值为． 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级上·广东梅州·期中）在正方形中，，E，F分别为边上的点，且始终保持，连接和交于点P，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接，则（不变）， 根据两点之间线段最短得、、三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（  ） A．5 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论． 【详解】连接，如图， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故选：C． 【变式2-4】（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，正方形的周长为16，是等边三角形，点E在正方形内部，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称--最短路线问题，由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是等边的边，，由正方形的周长为16，可求出的长，从而得出结果． 【详解】解：连接，与交于点F． ∵点B与D关于对称， ∴， ∴， ∴最小， ∵正方形的周长为16， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 故的最小值为4． 故选：C． 类型三、特殊平行四边形中求最大值问题 【典例3】（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，，是的中点，直线l经过点且可绕点转动，，，垂足分别为，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作于，交的延长线于，则四边形是矩形，得到，证明，得出，推出，则，从而得出当直线时，的值最大，为，即可得解． 【详解】解：如图，作于，交的延长线于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴当直线时，的值最大，为，即， 故选：D． 【变式3-1】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，已知，线段长为，两端分别在上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（    ）    A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】取中点，根据正方形的性质，可得直角，运用勾股定理可得的长，在直角中，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的长，在中，根据三角形三边关系可得，当点三点共线时，最长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取中点，连接，    ∵四边形是正方形，，点是中点， ∴，，， ∴在中，， ∵，点是中点， ∴在中，， 在中， ∵， ∴当点三点共线时，有最大值， ∴， 故选： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系确定线段的最大值的方法，掌握正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，线段最大值的计算方法是解题的关键． 【变式3-2】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】 本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，如图将绕点顺时针旋转得到，由旋转不变性可知：，，，得出是等腰直角三角形，推出，当的值最大时，的值最大，根据三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到， 由旋转不变性可知：，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， ∵， ∴的最大值为8， ∴的最大值为． 故选：B． 【变式3-3】（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（　　）    A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】将绕点逆时针旋转得，连接，则是等腰直角三角形，，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得，连接，    则是等腰直角三角形，， ， 在中，， 的最大值为， 即的最大值为6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式3-4】（22-23八年级下·江苏常州·期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同． 应用：如图，点O是矩形的对角线AC的中点，，以O为直角顶点的的顶点P在边上，，当P在上运动时，的最大值为（        ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意，确定出点的轨迹为一条线段，确定出点在两点时，点的位置，即可求解． 【详解】解：由题意可得：点的轨迹为一条线段，， ∴ 又∵， ∴ 中，， 设，则，由勾股定理可得： 解得 ∴，， ∴ 当与重合时，过点作交于点如下图：    ∵， ∴在线段上， ∴点与点重合 由勾股定理可得：， 当与重合时，过点作交于点，连接，，如下图：    由题意可得：， ∴为等边三角形，即， ∵，， ∴ ∴，此时，点在射线上 ∴，则点与点重合， ∴点的轨迹为线段 由此可得，当与重合时，最大，为的长度 在中，，， 可得：， 即最大为， 故选：C 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，确定出点的轨迹． 类型四、特殊平行四边形中动点问题 【典例4】（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． (1)当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 【答案】(1)秒 (2)秒时，；秒时， (3) 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）分两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点M的位置，再用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动，点的运动时间为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：秒； （2）解：①如图，当点在的右边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在的左边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，秒时，；秒时，； （3）如图，由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为： ∴最小时，四边形的周长最小， ∴作点关于的对称点，连接交于， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴的最小值为：， ∴四边形的周长最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式4-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？ 【答案】t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形 【分析】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当时，当时，当时，由等腰三角形的性质就可以得出结论． 【详解】解：如图1，当时，作于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 解得：． 如图2，当时，作于E， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，． 在中，由勾股定理，得 ． ， 解得：； 如图3，当时，作于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ， ， 故方程无解． 综上所述，t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键． 【变式4-2】（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E在上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点D运动，到点D停止，设点P运动的时间为t（秒）． (1)求的长； (2)当四边形是平行四边形时，求t的值； (3)求当t为何值时，是以为腰的等腰三角形； (4)直接写出将矩形的面积分成两部分时t的值． 【答案】(1)5 (2) (3)或或 (4)或 【分析】（1）由勾股定理得，，计算求解即可； （2）由题意知，当在上时，四边形是平行四边形，此时，然后求解即可； （3）由是以为腰的等腰三角形，分，两种情况求解；当时，依题意得，；当时，如图1，以为圆心长为半径画弧，交于，交于，连接，由，可知重合，则；如图1，作于，则四边形是矩形，，进而可得，； （4）由将矩形的面积分成两部分，可知在或上，然后表示出分成的两部分面积，根据面积比求解作答即可． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴，，， 由勾股定理得，， ∴的长为5； （2）解：由题意知，当在上时，四边形是平行四边形，此时， ∵，， ∴， ∴t的值为5； （3）解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴分，两种情况求解； 当时， 依题意得，； 当时，如图1，以为圆心长为半径画弧，交于，交于，连接， ∵， ∴重合， ∴； 如图1，作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，当的值为或或时，是以为腰的等腰三角形； （4）解：∵将矩形的面积分成两部分， ∴在或上， 当在上时，如图2，则， ∴，， ∵将矩形的面积分成两部分， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴当在上，时，将矩形的面积分成两部分； 当在上时，如图3，则， ∴，， ∵将矩形的面积分成两部分， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴当在上，时，将矩形的面积分成两部分； 综上所述，将矩形的面积分成两部分时，t的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，一元一次方程的应用，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，一元一次方程的应用，等腰三角形的判定与性质，并分类讨论是解题的关键． 【变式4-3】（23-24九年级上·四川绵阳·开学考试）如图1，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点，，垂足为，连接，．    (1)求证：四边形为菱形； (2)求的长； (3)如图2，动点P，Q分别从A、C两点同时出发，即点P自停止，点Q自停止，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)秒． 【分析】（1）结合矩形性质及垂直平分线定义证明后，根据全等三角形性质即可证明四边形为菱形； （2）根据矩形性质、菱形性质推得、，设，利用勾股定理即可求得； （3）分情况讨论可知，P点在上，Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是矩形，，， ，， 四边形是菱形， ， 设，则， 中，， ， 解得：， 即． （3）解：显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上或者在，在时不构成平行四边形， 只有当点在上，点在上时，以、、、四点为顶点的四边形才是平行四边形，此时，   ，即， 由（2）得， ，， ， 解得：， 故当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 【点睛】本题考查的知识点是矩形性质、垂直平分线定义、全等三角形的判定与性质、菱形的判定及性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程，解题关键是熟练掌握菱形的判定、勾股定理的应用及分类讨论． 【变式4-4】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形，如图1所示． (1)证明平行四边形是菱形； (2)如图2所示，，，M是的中点，连接，，求的长． (3)如图3所示，若，线段与交于点O，点M是线段上的一个动点，连接，直接写出的最小值，并写出此时的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的最小值是； 【分析】（1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． （3）如图3，连接，，先证明是等边三角形，从而得，，进而证，得当、、三点共线时，+最小，最小值为的长，利用勾股定理求得最小值，再证明点是的重心，即可求得． 【详解】（1）证明∶∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形； （2）解：如图中，连接、、，    ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又由（1）可知四边形为菱形， ∴四边形为正方形． ∵， ∴， ∵为中点，四边形为正方形． ∴，，， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵，， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：如图3，连接，，    ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，，，， ，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，+最小，最小值为的长， ∵，， ∴最小值 ， 如图，    当+取最小值时， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是的重心， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形的重心等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解题的关键． 1．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在菱形中，若，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接，利用菱形的性质证明四边形为矩形，得到，进而得到当时，的值最小，即的值最小，利用菱形的性质和勾股定理分别算出、、，再利用面积法求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形为菱形， ， ，， 四边形为矩形， ， 当时，的值最小，即的值最小， ，， ，即， 解得，， ，， ， ， 即， 解得， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，解题的关键在于利用矩形性质和垂线段最短找出取最小值的情况． 2.（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点、点．连结，在点的运动过程中，的最小值等于（    ）． A．7 B．7.8 C．13 D．13.8 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和线段最值问题，点到直线的所有线段中，垂线段最短，连接交于点O，连接，先通过菱形的性质和勾股定理，计算出的长度，再根据建立等式推算出的值为定值，最后利用垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，    ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的值为定值， 当最小时，有最小值， ∵当时，的最小值， ∴的最小值， 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称最短路径，勾股定理，掌握矩形的性质，找到点关于的对称点，结合三角形三边数量关系，垂线段最短知识的运用是解题的关键． 根据题意，过点关于的对称点，连接交于点，连接，作于点，交于点，根据三角形三边数量关系可得，，根据点到直线垂线段最短可得，，则有当点在垂线上，即点于点，点于点重合时，，此时值最小，根据折叠的性质，勾股定理，等面积法可得的值，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点关于的对称点，连接交于点，连接，作于点，交于点， ∵对称， ∴， ∴， 根据三角形三边数量关系可得，， 根据点到直线垂线段最短可得，， ∴当点在垂线上，即点于点，点于点重合时，，此时值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故选：C ． 4．（22-23八年级下·重庆梁平·期末）如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．由菱形的性质和勾股定理，得出，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用三角形面积公式，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， ， ， 的最小值为2.4， 故选：A． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，根据勾股定理求出，再结合四点共线时最小即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：B． 6．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在正方形中，，点 在边上，且 点 是对角线上的一个动点，的最小值是（   ） A．8 B． C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 连接，交于，连接， 当点在处时，最小，最小值是的长， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 的最小值为10， 故选：D． 7．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线可得 ，转化所求最值为，再依据将军饮马模型解答即可． 【详解】∵点分别是的中点, , ∵, ∴四边形是平行四边形， ， ， 的最小值就是的最小值， 找到点关于直线对称点，连接 当点三点共线时，的最小值就是, 在中, ， ∴， ∴的最小值 故选: B． 【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想． 8．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，在正方形中，，以点为圆心，1为半径作，点在上移动，连接．将绕点逆时针旋转至，连接．在点移动过程中，长度的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】通过画图发现，点的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当在对角线上时，最小，先证明，则，再利用勾股定理求对角线的长，则得出的长． 【详解】解：如图，当在对角线上时，最小，连接， 由旋转得：，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，∵， 由勾股定理得：， ∴， 即长度的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定，寻找点的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出长度的最小值． 9．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，点分别在边，上，且平分，，连接，分别交，于点，点．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、角平行线的定义，线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，连接与交于点，交于点，连接，，证明，得到，，进而可证明，得到，推导出是线段的垂直平分线，得到，由两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，进而由，求出即可求解，确定出点与点重合时，的值最小是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点，交于点，连接，，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 当点与点重合时，的值最小， 此时， 即的最小值是的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴ ∴的最小值为， 故选：． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）如图，在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．若，，P，Q分别是上的动点，则的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点交于点，连接，连接，交于点，连接、，由“垂线段最短”可知，当点与点重合时，，此时的值最小，则的值最小，证出四边形是矩形，则可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，中垂线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：作于点交于点，连接，连接，交于点，连接、， 由翻折得，垂直平分， ，， ，， 由“两点之间，线段最短”可知，线段的长即表示的最小值， 由“垂线段最短”可知，当点与点重合时，，此时的值最小，则的值最小， ， 四边形是矩形， ， 的最小值是． 故选：C． 11．（22-23八年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是( )    A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形的性质及勾股定理得出，，结合图形得出当点E在线段上时，线段的长最大，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，    ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，则， 在中，，由勾股定理，得， ∵在中， ，点E是斜边的中点， ∴， 由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是， 故选B． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 12．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，菱形的对边、上分别有两个动点M和N，若的最大值为，最小值为4，则菱形的面积为（    ） A．18 B．28 C． D． 【答案】D 【分析】过点B作，交的延长线于点，根据的最值分别得到，，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再利用面积公式计算． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点， 当M运动到点D，N运动到点B时，最大， ∴， 当时，最小， ∴， ∴， 在菱形中，，设， 则， 在中，，即， 解得：，即， ∴菱形的面积为， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 13.（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（  ） A．3 B．4 C．6 D．无法确定 【答案】C 【分析】如图连接PC，由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8，PC=4，根据PM≤PC+CM，可得PM≤6，由此即可解决问题． 【详解】解：如图连接PC． 在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=4， ∴AB=8， 根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8， ∴A′P=PB′， ， ∵CM=BM=2， 又∵PM≤PC+CM，即PM≤6， ∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线）． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．2 【答案】B 【分析】取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即EF=OE+OF． 【详解】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6，AD=BC=8，∠C=90°， ∵点F是CD中点，点O是BC的中点， ∴CF=3，CO=4， ∴OF==5， ∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点， ∴OE=OC=4， ∵根据三角形三边关系可得：OE+OF≥EF， ∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为：OE+OF=4+5=9． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点O，点E，点F共线时，EF有最大值是本题的关键． 11．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 【答案】(1)， (2)经过，四边形是平行四边形 (3)经过，四边形是矩形 【分析】此题主要考查平行四边形和矩形的性质： （1）根据题意可得，， （2）设经过，四边形为平行四边形，根据，，列出方程进行求解； （3）设经过，四边形为矩形，根据，列出方程进行求解； 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴； 故答案为：， （2）解：设经过，四边形为平行四边形，此时， 所以， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形 （3）解：设经过，四边形为矩形，此时， 所以， 解得：， 即经过，四边形是矩形． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 特殊平行四边形中压轴四大类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、特殊平行四边形中求定值问题 1 类型二、特殊平行变形中求最小值问题 2 类型三、特殊平行四边形中求最大值问题 3 类型四、特殊平行四边形中动点问题 5 压轴能力测评（11题） 7 类型一、特殊平行四边形中求定值问题 【典例1】（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式1-1】（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点O，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则等于（　　） A．6 B．5 C． D． 类型二、特殊平行四边形中求最小值问题 【典例2】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 【变式2-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，菱形的边长为2，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2-2】（24-25九年级上·广东梅州·期中）在正方形中，，E，F分别为边上的点，且始终保持，连接和交于点P，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（  ） A．5 B．4 C． D．3 【变式2-4】（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，正方形的周长为16，是等边三角形，点E在正方形内部，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 类型三、特殊平行四边形中求最大值问题 【典例3】（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，，是的中点，直线l经过点且可绕点转动，，，垂足分别为，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，已知，线段长为，两端分别在上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（    ）    A． B．6 C． D．8 【变式3-2】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（    ） A． B． C．4 D．8 【变式3-3】（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（　　）    A． B．6 C． D． 【变式3-4】（22-23八年级下·江苏常州·期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同． 应用：如图，点O是矩形的对角线AC的中点，，以O为直角顶点的的顶点P在边上，，当P在上运动时，的最大值为（        ）    A．1 B． C．2 D． 类型四、特殊平行四边形中动点问题 【典例4】（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． (1)当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 【变式4-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？ 【变式4-2】（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E在上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点D运动，到点D停止，设点P运动的时间为t（秒）． (1)求的长； (2)当四边形是平行四边形时，求t的值； (3)求当t为何值时，是以为腰的等腰三角形； (4)直接写出将矩形的面积分成两部分时t的值． 【变式4-3】（23-24九年级上·四川绵阳·开学考试）如图1，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点，，垂足为，连接，．    (1)求证：四边形为菱形； (2)求的长； (3)如图2，动点P，Q分别从A、C两点同时出发，即点P自停止，点Q自停止，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【变式4-4】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形，如图1所示． (1)证明平行四边形是菱形； (2)如图2所示，，，M是的中点，连接，，求的长． (3)如图3所示，若，线段与交于点O，点M是线段上的一个动点，连接，直接写出的最小值，并写出此时的值． 1．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在菱形中，若，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．3 D．4 2.（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点、点．连结，在点的运动过程中，的最小值等于（    ）． A．7 B．7.8 C．13 D．13.8 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（   ） A．5 B． C． D． 4．（22-23八年级下·重庆梁平·期末）如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在正方形中，，点 在边上，且 点 是对角线上的一个动点，的最小值是（   ） A．8 B． C．9 D．10 7．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D．4 8．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，在正方形中，，以点为圆心，1为半径作，点在上移动，连接．将绕点逆时针旋转至，连接．在点移动过程中，长度的最小值是（    ） A． B． C． D．3 9．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，点分别在边，上，且平分，，连接，分别交，于点，点．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）如图，在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．若，，P，Q分别是上的动点，则的最小值（       ） A． B． C． D． 11．（22-23八年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是( )    A． B． C． D．8 12．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，菱形的对边、上分别有两个动点M和N，若的最大值为，最小值为4，则菱形的面积为（    ） A．18 B．28 C． D． 13.（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（  ） A．3 B．4 C．6 D．无法确定 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．2 11．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$