第9章 专题三 特殊四边形的最值问题-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级下册数学单元同步练习（苏科版 含测试卷）

第章中心对称图形一 平行四边形 专题目 特殊四边形的最值问题 建议用时24分钟 答案D20 类型①矩形相关的最值问题 1.(2024春·无锡梁溪区期末， 扫码看讲馨C 难)如图，在矩形ABCD中， AB=23,BC=6,点P在线 A.25 B. 段BC上运动，将AP绕点A 逆时针旋转60°得到AP',连接DP,则DP' C.3 D13 的最小值为 ( 4.(2023·贵州遵义模拟，较难) 扫码看讲解⊙ 如图，菱形ABCD的边长为 2,∠B=120°，P是对角线AC 上的一个动点，E,F分别为边 AD,DC上的动点，则PE十 A.3 B.5 PF的最小值是 c多 n号 2.(2023·山东咸海一模，较难) 扫码看讲解⊙ 如图，在矩形ABCD中，AB= A.2 B.1.5 3,AD=4,连接AC,O是AC C./5 D.3 的中点，M是AD上一点，且 5.(较难)如图，已知菱形ABCD 扫码看讲解○ MD=1,P是边BC上一动点，则PM-PO 的对角线相交于点O,点E,F 的最大值为 分别在边AB,BC上，且BE BF,射线EO,FO分别交边 CD,AD于点G,H. (1)求证：四边形EFGH为矩形 (2)若AC=8,BD=6,求EG的最小值， 类型2菱形相关的最值问题 3.(2024春·苏州姑苏区期末， 扫码看讲解○ 难)如图，在菱形ABCD中， AB=4√3，∠BAD=60°，对角 线AC,BD相交于点O,E是 对角线AC上的一个动点，连接BE,将BE 绕点B按逆时针方向旋转60°得到BF,连接 OF,则OF的最小值是 () 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 43 小练天卷高苏分数学八年级下册 类型3正方形相关的最值问题 8.(难)如图，在等腰直角三角形 扫码看讲解○ 6.(2023·湖北思施州模拟，难) 扫码看讲解⊙ ABC中，∠ACB=90°，AC= 如图，正方形ABCD的边长为 ]! BC=4,D是AB的中点，E,F 4,点E在边AD上运动，点F 分别是边AC,BC上的点，点 在边CD上运动，运动过程中 E不与端点A,C重合，连接EF并取EF的 EF的长度保持不变，且EF=2.若M是EF 中点O,连接DO并延长至点G,使OG 的中点，P是边AB上的动点，连接PC,则 OD,连接DE,DF,GE,GF PC+PM的最小值为 (1)求证：四边形EDFG是平行四边形 (2)若AE=CF,探究四边形EDFG的形状. (3)在(2)的条件下，当点E在何处时，四边 形EDFG的面积最小？求出这个最 小值 7.(难)如图，在正方形ABCD 扫码看讲解○ 中，AB=3,线段PQ在对角线 AC上运动，且PQ=1,连接 BP,BQ,则△BPQ周长的最 小值是 44 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略.则EC=CD-DE=6-.EG=EF+FG=$x+3.在 乙BAO-30{·.将BE绕点B按逆时针方向旋转60{得到 Rt△ECG中.由勾股定理得EC+CG-EG},即(6-)十 BF$ $BE=BF.EBF=6 0{}=ABD, ABE= 3-(r+3),解得x-2.DE-2. DBF..△ABE△DBF(SAS).. BDF=BAO -1) A 30{*.'点F在过点D且与BD成30{角的射线上移动,^.当 E OF1DF时,OF有最小值,..OF的最小值为OD-3. C 关键点拨 根据折叠的性质和正方形的性质可证Rt八AFE Rt ADE;在Rt△ECG中,根据勾股定理列出方程即可求出 DE的长. 4. D 解析:如图,作点E关于AC的对称点T,连接PT,FT 专题三 特殊四边形的最值问题 过点D作DH1AB于点H.则 AHD-90{*}·.点E.T关 于AC对称,.'PT=PE.*PE+PF=PT+PF.:PF 1. B 解析:如图,以AB为边作等边三角形ABE,连接EP,并 PT>FT...当FTAB时,PE十PF取最小值..四边形 延长交AD于点F,过点D作DH1EP'于点H...AE ABCD是菱形,边长为2...AD/BC,AB//CD.AD=AB= AB.BAE-60{*}·将AP绕点A逆时针旋转60{得到 2.. B=120{。' DAB=180$- B-180$-120$=6 0$$$ AP'..AP-AP. PAP'-60”BAP= EAP'$在 . ADH-90- DAB=90{-60{-30”.: AH-AD- (AB-AE. △ABP和△AEP中. BAP=EAP'..△ABP 1$2-1.在Rt△AHD中,由勾股定理得DH-VAD-AHf- AP-AP. △AEP(SAS)..AEP-ABP-90”...点P'在射线 ②-F-3.当FT1AB时,四边形DHTF为矩形, EP 上运动,当点P与点H重合时,DP最小.在Rt△AEF '.FT=DH-/3,即PE+PF的最小值为3. 中,EAF-30$,AE-AB-2/③.'$EF-2$AF-2EF-4 .'$DF-AD-AF=6-4-2 ..' AEF=90*$DH E$$$$ $DH/AE.'. HDF- EAF-30*. HF-DF-1. ..DH-/③...DP的最小值为/③ # 5.(1)证明:·四边形ABCD是菱形,..ABD=CBD. OA-OC,OB=OD.AB//CD.AD//BC. BAO DCO.文:AOE-COG..△AOE△COG(ASA) $.OE=OG.同理可得,OH-OF.'.四边形EFGH是平行四 3 边形。·BE=BF, ABD=CBD.OB=OB..△EBO$$$ 解析:在矩形ABCD中,AD-4.CD=AB-3.MD #2 △FBO(SAS)..'OE=OF..'.EG-FH..'四边形EFGH是 1..$AM-AD-MD-4-1-3.如图,连接MO并延长交 矩形. BC于点P,则此时PM-PO的值最大,且PM-PO-OM (2)解:由垂线段最短可知,当OELAB时,OE最小.又·四 ·AM//CP...PCO=MAO.COP=AOM,OC 边形ABCD是菱形,AC-8,BD-6.*.OA-OC-4,OB- OA...△COP△AOM(ASA)..'CP=AM=3.OP=OM OD-3,/AOB=90*}在Rt△AOB中,由勾股定理得AB= '.PB-BC-CP-4-3-1.过点M作MN 1BC于点N,则 A+OB-4+3=5.·S=OA·OB= MNP= MNC=90”,.'四边形MNCD是矩形,.'.MN CD-3.CN-MD-1..PN-BC-BP-CN-4-1-1-2. $PM-VMY+PN-3+2-13..OM-13. .EG-OEF+OG-121241.即EG的最小值是2}4. 即PM-PO的最大值为13. 6. 45一1 解析:如图,作点C关于AB的对称点T,连接TM 交AB于点P,连接BT,DT,DM.CP..四边形ABCD是正 方形。*.BC=CD=4. ABC= ADC= B[CD=90.点$$$ C.T关于AB对称,.'$BT=BC-4.ABT= ABC=90$$$$$$ '. ABC十ABT=180{*},即C.B.T三点共线,.'.CT BC+BT-4+4-8.在Rt△DCT中,由勾股定理得DT= CD+CT=4+8-45.' EDF=90*,EM=MF $.DM-EF-1.'DM+TM>DT.TM4V-1. 又 3. C 解析:如图,连接DF..四边形ABCD是菱形.BAD 6 0{.'AB-AD.AC BD.BO-OD..'ABD是等边三角 .PM+PC-PM+PT=TM,*.PM+PC4 5-1.即 形, $BD-AB-4V3. ABD-60$'B0-DO-23 PM+PC的最小值为45-1. 小练大卷得高分·数学·八年级下册答案 ·D20. 1$Ao-So-6.同理可得 Sar-S-6. 'S=4..S=2S.FC=BC'S= S-Snr-24-6-4-4-10. 2.(1)SAS 三角形任意两边之和大于第三边 (2)2<AD8 解析:如图1,延长AD至点E,使DE-AD. 连接CE..AD是中线,..BD-CD.在△ABD和△ECD [AD-ED. 中,ADB=EDC..△ABD△ECD(SAS).'EC= 7. V19十1 解析:如图,过点D作DE//AC,且点E在AD上 BD-CD. 方,DE-1.连接BE交AC于点P,取PQ-1,连接DQ,BD. AB-6.在△ACE中,AC-CE<AE<AC+CE,即10-6< ·DE/PQ.DE=PQ.'.四边形PQDE为平行四边形. 2AD10+6..,4 2AD16..2 AD8. '.PE一DO.又由正方形的性质知,点B和点D关于AC对 (3)解:EF与AD的数量关系为EF一2AD.理由如下:如图 称。点Q在AC上..'.DQ=BQ..'.PE-BQ.B.P.E三 2.延长AD至点M,使DM-AD,连接CM.同理(2)可得 点共线...此时△BPQ的周长-BP+BQ+PQ-BE+1最 △ABD△MCD(SAS).'.MC=AB.ABD=MCD 小.由正方形的性质,得BD1AC.又.DE//AC,..BD 'AE=CM.AB/CM.. BAC+ACM-180”·'BAE DE,即BDE-90”在Rt△BDE中,由勾股定理得BE CAF-90”EAF+BAC-180”$'EAF= BD+DE-19..,△BPQ周长的最小值为19+1. ACM.又':AF-AC,.'△EAF△MCA(SAS)...AM- E EF..AM-2AD...EF-2AD 8.(1)证明::O是EF的中点...OE=OF.又:OG=OD...四 边形EDFG是平行四边形. 图1 (2)解:四边形EDFG是正方形.理由如下;如图,连接CD. 图2 3.4 解析:如图,连接AF'.'AB-AD.F是BD的中点..'AF ·△ABC为等腰直角三角形, ACB-90{,D是AB的中 BD.AFD-90'EAF+C=90AFE+EFC 点. ADC-90{*, A- DCF-45*,AD-CD.在△ADE [AE-CF: 90°.EF=EC..EFC=C..EAF=AFE,.'EA 和△CDF 中.A=DCF...△ADE△CDF(SAS). EF...EF-EA-EC-AC-4. AD-CD. '$DE=DF, ADE-CDF.:ADC-90{,即 ADE EDC=90.'EDC+CDF=90{*},即 EDF=90{}由(1 知,四边形EDFG是平行四边形,.'.四边形EDFG是正方形。 (3)解:如图,过点D作DE'1AC于点E.由(2)知,△ACD 是等腰直角三角形..AE'-FC-AC.'D是AB的中 4. B 解析:如图,连接EF,DF..F是BC的中点,BD1AC 点,'AD-AB,DE/BC且DE'-BC'AC-BC CEAB$'EF=DF=BC=$26=13.'G是DE的 4.'$AE=2.DE-2.在Rt△ABC中,由勾股定理得AB 中点,$FGI ED.DG-DE-$10-5.在R△DGF AC+AB-v4+4-4V2..'AD-22.又:E是 AC上的点且点E不与端点A.C重合..'.2DE 2v2(当点 中,由勾股定理得FG-D$*-DG-13-5-12$ E与点E重合时取等号).由(2)知,四边形EDFG是正方 形,Sr=DE4Sm8.当点E为线段 AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,这个最小值为4. G 5. B 解析:如图,连接CM,CN.在Rt△ABC中,由勾股定理得 AB-AC+BC-10+8-241.·DE-6.M.N分 专题四 与中点有关的问题 别是DE,AB的中点..CN=AB-V4T,CM-DE= 1. 10 解析:连接BD,EC..E是AB的中点,..Swr= 3.当C.M.N三点在同一条直线上时,MN的长取得最小值,此 小练大卷得高分·数学·八年级下册答案 ·D21·