专题04 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题04 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 模型一、梯子模型 1 模型二、对角互补模型 6 模型三、梯形中位线模型 14 压轴能力测评（9题） 20 模型一：梯子模型 如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图 2),就是所谓的梯子模型。 [考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。 模型一: 如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB= ZAOC= 90°AC的中点为P,连接 OP、BP、OB,则当 O、P、B三点共线时,此时线段 OB最大值。 即已知 RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中 OB的最值 模型二: 如图所示,矩形ABCD 的顶点 A、B分别在边 OM、ON上,当点A在边 OM上运动时,点 B随之在 ON上运动，且运动的过程中矩形 ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接 OP、PD、OD,则当 O、P、D三点共线时,此时线段 OD 取最大值 模型二：四边形中对角互补模型 对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似. 模型一：含90°的全等型 1.如图1，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论： ①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S=S+S=OC. 2.如图2，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-S=OC. 图1 图2 图3 模型二、：含60°与120°的全等型 如图3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论： ①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S=OC. 模型三：梯形中位线定理 （1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 类型一、梯子模型 【典例1】如图，已知，线段长为，两端分别在上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（    ）    A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】取中点，根据正方形的性质，可得直角，运用勾股定理可得的长，在直角中，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的长，在中，根据三角形三边关系可得，当点三点共线时，最长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取中点，连接，    ∵四边形是正方形，，点是中点， ∴，，， ∴在中，， ∵，点是中点， ∴在中，， 在中， ∵， ∴当点三点共线时，有最大值， ∴， 故选： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系确定线段的最大值的方法，掌握正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，线段最大值的计算方法是解题的关键． 【变式1-1】如图，已知，长方形的顶点，在两边上运动，若，，则线段的最大值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】取AB中点E，连接OE，DE，根据直角三角形的性质和勾股定理求出OE和DE，再根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大，据此求解． 【详解】解：如图，取AB中点E，连接OE，DE，OD， ∵∠MON=90°，A、B分别在射线OM和ON上， ∴∠AOB=90°， ∵AB=4，AE=BE， ∴OE=AB=2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∵AE=AB=2，BC=AD=2， ∴DE=， ∴OE+DE≥OD， ∴当且仅当O、E、D三点共线时， OE+DE=OD，此时OD取最大值，最大值为， ∴点D到点O的最大距离为， 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键． 【变式1-2】如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】取AB中点E，连接OE、CE，求出OE和CE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、C三点共线时，OC最大为OE＋CE． 【详解】解：取AB中点E，连接OE、CE，如图所示： 则BE＝AB＝3， ∵∠MON＝90°， ∴OE＝AB＝3． 在Rt△BCE中，利用勾股定理可得CE＝＝5． 在△OCE中，根据三角形三边关系可知CE+OE＞OC， ∴当O、E、C三点共线时，OC最大为OE+CE＝3+5＝8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含30°角的放在第一象限，其中30°角的对边长为1，斜边的端点，分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】取AB的中点F，连接CF、OF．首先求出OF=FC=1，根据三角形的三边关系可知：OC≤OF+OC，推出当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2． 【详解】解：取AB的中点F，连接CF、OF． 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1， ∴AB=2BC=2， ∵∠AOB=90°，AF=FB， ∴OF=FC=AB=1， ∵OC≤OF+CF， ∴当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线定理、坐标与图形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题． 类型二、四边形对角互补模型 【典例2】定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 【答案】(1)四边形是“直等补”四边形，理由见解析． (2)28． 【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形是否是“直等补”四边形，关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证，由此可得到，，，即证明四边形是“直等补”四边形． （2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．根据“直等补”四边形定义，可得到，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，， ， 在与中， （）， ，， ， ， ， 四边形满足三个条件：①一组对角和互补，②一组邻边，③相等邻边夹角． 故四边形是“直等补”四边形； （2）连接，如下图所示 四边形是“直等补”四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故的长为28． 【变式2-1】问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)3 (3)16 【分析】（1）根据角平分线的性质及垂直的定义可得，，进而得四边形是正方形，再根据角的等量代换得，利用可证得，进而可求解． （2）过点P作于M，于N，根据角平分线的性质可得，利用证得，进而可得，再利用证得，进而可得，设，则，，在中，利用直角三角形的特征即可求解． （3）延长到，使，连接，根据正方形的性质可得，，利用得，进而可得，．设，利用勾股定理求得，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，，且平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点P作于M，于N，如图：    平分， ． ， ． ． 在四边形中，， 且，， ． ， ． 又 ． ． ，，设，则，． ， 解得，． ． 在中，，， ． （3）如图，延长到，使，连接．如图：    在四边形中，，且． 四边形是正方形， ，． ． 又， ． ． ，． ， ． 是等腰直角三角形． 由勾股定理，． 在中，，设，由勾股定理，， ． ． ． ． ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理、直角三角形的特征，熟练掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 【变式2-2】四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______； (2)如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______； (3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明： ①AC平分∠BCD； ②CA=CB+CD； (4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析；②证明见解析 (4) 【分析】（1）根据对角互补四边形的定义和四边形内角和定理可知对角互补四边形两组对角都互补，再根据比例关系，依次即可求得∠B，∠C的度数，由此可求∠A的度数； （2）先根据对角互补四边形的定义证明，从而利用边角边可证明，可得AC=AM，再根据角的数量关系求得，从而可得△ACM是等腰直角三角形，继而可证得平分，根据等腰直角三角形的性质和线段的数量关系可得CB、CD、CA三者关系； （3）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，求出，即可证明；②由①中全等三角形对应边相等，再根据线段的数量关系直接可证明； （4）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解． 【详解】（1）四边形为对角互补四边形， ， ， ， ∴ ， 故答案为：； （2）∵， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴（SAS） ， ， ∴， ∴△ACM是等腰直角三角形，∠ACM=90°， ∴∠ACB=90°-∠ACM=45°，即平分， ， ， ， 故答案为：； （3）①延长至，使，连接， 四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分； ②，， ， ； （4）延长至，使，连接， 四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作交于点， 为的中点， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，正确构造辅助线作出全等三角形是解题的关键． 类型三、梯形中位线定理 【典例3】如图，在梯形中，，若，，，分别是梯形各边、、、的中点． 求证：四边形平行四边形； 当梯形满足什么条件时，四边形是菱形； 在的条件下，梯形满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）连接对角线，利用三角形中位线定理，根据平行四边形的判定方法判断． （2）根据菱形四边相等可推出梯形对角线相等，即梯形是等腰梯形，AD=BC． （3）要证明四边形EFGH是正方形，则要证明四边形EFGH有一个角是直角． 【详解】证明：连接、． ∵、、、分别是、、、的中点， ∴，； ，． ∴，． ∴四边形为平行四边形； 解：∵，， ∴若四边形为菱形， 则，从而．得为等腰梯形，． ∴当梯形的边满足时，四边形为菱形． 解：∵四边形为菱形， 根据有一个角是直角的菱形是正方形， 故梯形满足条件时，四边形是正方形． 【点睛】此题考查了三角形中位线定理、菱形的性质、等腰梯形的判定，正方形的判定等知识点，综合性较强． 【变式3-1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（　　） A．8cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2 【答案】C 【分析】如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，根据梯形的中位线性质得出AD+BC＝2EF，AM＝MN，由此再根据已知三角形的面积得出EF×AM＝8，由此进一步根据梯形面积公式变形求解即可． 【详解】 如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M， ∵EF是梯形ABCD的中位线， ∴AD+BC＝2EF，EF∥AD∥BC， ∴AM⊥EF，AM＝MN， ∵△BEF的面积为4cm2， ∴EF×AM＝4， ∴EF×AM＝8， ∴梯形ABCD的面积为(AD+BC)×AN＝×2EF×2AM＝2EF×AM＝16cm2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了梯形中位线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 【变式3-2】如图，在梯形中，，过点作交边于点，连接交点，且是的中点． (1)求证：点是的中点； (2)连接，当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，即可得出； （2）先证明四边形是平行四边形，根据，结合平行线的性质可证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴ ， ∴， ∴，即点是的中点； （2）证明：如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【变式3-3】【阅读教材】已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点（即是的中位线）．求证：且． 【问题探究】（1）小明和小华同学在学习探究三角形的中位线的性质定理的时候，分别采用了不同添加辅助线的办法来探究，请你认真审题后选择其中一种方法，完成证明． 小明：我的方法是如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F． 小华：我的方法是如图3，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M． 【知识应用】（2）如图4，点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点，顺次连接各边中点，得到四边形．请探究四边形对角线满足什么关系时，四边形是正方形？并说明理由． 【拓展应用】（3）如图5，在四边形中，，，E，F分别为的中点，若线段，，则__________． 【答案】（1）见解析；（2）垂直且相等，理由见解析；（3）7 【分析】（1）小明的方法：证明，得，；再证明四边形是平行四边形，则，，从而得结论； 小华的方法：，得；再证明四边形是平行四边形，得，从而得，，则得四边形是平行四边形，则，从而得结论； （2）相等时，则可得四边形是菱形，垂直时得四边形是矩形，从而是正方形； （3）连接并延长交的延长线于点G，证明，则，，得是中位线，则由三角形中位线定理可求得结果． 【详解】证明：（1）小明的方法：如图，过点C作的平行线交的延长线于点F． 则； 点是的中点， ； ， ， ，； ； 点是的中点， ； ； ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 小华的方法：如图，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M．则； 点是的中点， ； ， ； 即； 点是的中点， ； 即； ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ； （2）解：相等且垂直时，四边形是正方形； ∵点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点， ∴， ， ， 即四边形是菱形； ∵点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点， ，； ，， ； ， ， ∴四边形是正方形； （3）解：如图，连接并延长交的延长线于点G； ， ； 分别为的中点， ， ， ，， 即F点是的中点， ∵点E是的中点， 是中位线， ， ． 故答案为：7． 【点睛】本题是三角形与四边形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，构造全等三角形是本题的关键． 1．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，顶点A，B分别在轴和轴上，当点A在轴上移动时，点B也随之在轴上移动，在移动过程中，OD的最大值为（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的三边关系可得O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，利用勾股定理可求出DE的长，根据直角三角形斜边中线的性质可得OE的长，即可求出OD的长，可得答案. 【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB=8，BC=3， ∴OE=AE=AB=4， ∴DE===5， ∴OD的最大值为：5+4=9， 故选B. 【点睛】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关定理和性质是解题关键. 2．如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（　　） A．4 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【详解】分析：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，利用勾股定理及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半分别求出PE与AE的长，由AE+EP求出AP的最大值即可． 详解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大， 在Rt△PNE中，PN=4，NE=MN=3， 根据勾股定理得：PE=， 在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线， ∴AE=MN=3， 则AP的最大值为AE+EP=5+3=8． 故选D． 点睛：此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 3．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ． 【答案】7 【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线． 【详解】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图， ∵，， ∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°， ∵， ∴， ∵， ∴DE=2， ∵BM⊥CE， ∴∠BMD=90°， ∴四边形ABMD是矩形， ∴DM=AB=4， ∴EM=2+4=6， ∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处， ∴BE=BC， ∵BM⊥CE， ∴EC=2EM=12， ∴CD=12-2=10， ∴梯形ABCD的中位线为：， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 4．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”． (1)在①平行四边形② 菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）； (2)在“完美”四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接 AC． ① 如图 1，求证：AC 平分∠BCD； ②如图 2，当∠BAD=90°，用等式表示线段 AC，BC，CD 之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)④ (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据各种图形的性质，由“完美四边形”定义可求解； （2）①延长CB到点E，使得BE＝CD，连接AE，先证明△ADC≌△ABE（SAS），得到∠ACD＝∠AEB，AC＝AE，进进一步得到∠ACB＝∠AEB，结论得证； ②延长CB到点E，使得BE＝CD，连接AE，先证明△ADC≌△ABE（SAS），得到∠CAD＝∠BAE，AC＝AE，CD＝BE，即△ACE为等腰三角形．再证△ACE是等腰直角三角形．由勾股定理得到，进一步即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平行四边形的一组邻边不一定相等且对角不一定互补，菱形的邻边相等但对角不一定互补，矩形的对角互补但邻边不一定相等，正方形的邻边相等且对角互补， ∴由“完美四边形”的定义可得正方形一定是“完美四边形”，①②③都不一定是“完美四边形”． 故答案为：④ （2）①证明：如图①，延长CB到点E，使得BE＝CD，连接AE， ∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE， ∵AB=AD， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴∠ACD＝∠AEB，AC＝AE， ∴∠ACB＝∠AEB． ∴∠ACD＝∠ACB． 即AC平分∠BCD； ②． 理由如下：如图②，延长CB到点E，使得BE＝CD，连接AE， ∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE， ∵AB=AD， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴∠CAD＝∠BAE，AC＝AE，CD＝BE， ∴△ACE为等腰三角形． ∵∠BAD＝∠CAD＋∠BAC＝90°， ∴∠EAC＝∠BAE＋∠BAC＝∠90° ∴△ACE是等腰直角三角形． ∴， ∴． ∵CE＝BC＋BE＝BC＋CD， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 5．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，，或，则四边形是“对补四边形”． (1)【概念理解】如图（1），四边形是“对补四边形”． ①若，则∠D的度数是_________； ②若，且，则_______． (2)【拓展延伸】如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，，之间的数量关系，并加以证明． (3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形中，，平分． ①如图（3），求证：四边形是“对补四边形”； ②如图（4），设，连接，当，且时，求的值． 【答案】(1)①；②4 (2)，证明见解析 (3)①见解析；②的值是2或 【分析】（1）①根据“对补四边形”的定义，结合，即可求出答案； ②根据“对补四边形”的定义，可由，得出∠，再运用勾股定理即可得出答案； （2）延长EA至点K，使得，连接BK，依据“对补四边形”的定义，可证明，再证明，从而可证得结论； （3）①过点B作BM⊥AD于点M，BN⊥AC于点N，则，可证R，进而可证得结论； ②设，可得，再运用面积建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， 设， 根据“对补四边形”的定义， ， 即， 解得， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． ②在“对补四边形”中，连续， ∵， 则， 在中，， 在中， ∴， 故答案为：4； （2）解：，理由如下： 延长至点，使，连接， ∵四边形是“对补四边形”， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴； （3）（3）①证明：过点作，垂足为，，垂足为，则， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即与互补， ∴四边形是“对补四边形”； ②由①知四边形是“对补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， 解得：或， ∴的值是2或． 【点睛】本题考查了勾股定理，四边形内角和，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题关键是熟练掌握勾股定理和全等三角形判定和性质，准确理解并能够应用新定义“对补四边形”解决问题． 6．如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为4或6 ． 【分析】（1）在上截取，连接，首先证明出四边形是平行四边形，然后由平分进而证明出平行四边形是菱形，然后利用得到，即可得到； （2）①设，在中利用勾股定理得到，进而得到，，然后利用梯形面积公式求解即可； ②根据题意分和时两种情况讨论，分别利用矩形和直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示，在上截取，连接    ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）①如图所示，    ∵平行四边形是菱形 ∴设 ∴ ∴在中， ∴，解得 ∴， ∴； ②能成为直角三角形，理由如下∶ 当时，    ∵F是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∵F是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 又∵ ∴ 即，点A，G重合时，能成为直角三角形 综上所述，的长为4或6 ． 【点睛】此题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7．如图，梯形中 ，，，，点E为上一点，且；点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．      (1)直接写出的长与的度数． (2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出点G在上的位置和此时x的值． 【答案】(1)的长为，的度数为 (2)存在，x的值为4 (3)，点G在上靠近点C的三等分点上． 【分析】（1）如图1，过作于，证明四边形是矩形，则，，，可证是等腰直角三角形，则，，计算求解即可； （2）由四边形为正方形，可得，，证明，则； （3）由题意知，四边形是菱形，过作于点，的延长线于，可得，由，可得，由，可得，证明，则，，再利用勾股定理求出，由，可得，，，由勾股定理得，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过作于，      ∵ ，， ∴则四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴的长为，的度数为； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴存在，当x的值为4时，四边形为正方形； （3）解：由题意知，四边形是菱形，如图2，过作于点，的延长线于，      ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴,, ∴点G在上靠近点C的三等分点上； ∵， ∴，，， 由勾股定理得，，， ∵， ∴，解得， ∴的值为． ∴点G在上靠近点C的三等分点上． 【点睛】本题考查了梯形，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 模型一、梯子模型 1 模型二、对角互补模型 2 模型三、梯形中位线模型 5 压轴能力测评（9题） 7 模型一：梯子模型 如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图 2),就是所谓的梯子模型。 [考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。 模型一: 如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB= ZAOC= 90°AC的中点为P,连接 OP、BP、OB,则当 O、P、B三点共线时,此时线段 OB最大值。 即已知 RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中 OB的最值 模型二: 如图所示,矩形ABCD 的顶点 A、B分别在边 OM、ON上,当点A在边 OM上运动时,点 B随之在 ON上运动，且运动的过程中矩形 ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接 OP、PD、OD,则当 O、P、D三点共线时,此时线段 OD 取最大值 模型二：四边形中对角互补模型 对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似. 模型一：含90°的全等型 1.如图1，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论： ①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S=S+S=OC. 2.如图2，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-S=OC. 图1 图2 图3 模型二、：含60°与120°的全等型 如图3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论： ①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S=OC. 模型三：梯形中位线定理 （1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 类型一、梯子模型 【典例1】如图，已知，线段长为，两端分别在上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（    ）    A． B．6 C． D．8 【变式1-1】如图，已知，长方形的顶点，在两边上运动，若，，则线段的最大值为（ ） A． B． C．4 D． 【变式1-2】如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含30°角的放在第一象限，其中30°角的对边长为1，斜边的端点，分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 类型二、四边形对角互补模型 【典例2】定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 【变式2-1】问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 【变式2-2】四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______； (2)如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______； (3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明： ①AC平分∠BCD； ②CA=CB+CD； (4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______． 类型三、梯形中位线定理 【典例3】如图，在梯形中，，若，，，分别是梯形各边、、、的中点． 求证：四边形平行四边形； 当梯形满足什么条件时，四边形是菱形； 在的条件下，梯形满足什么条件时，四边形是正方形． 【变式3-1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（　　） A．8cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2 【变式3-2】如图，在梯形中，，过点作交边于点，连接交点，且是的中点． (1)求证：点是的中点； (2)连接，当时，求证：四边形是菱形． 【变式3-3】【阅读教材】已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点（即是的中位线）．求证：且． 【问题探究】（1）小明和小华同学在学习探究三角形的中位线的性质定理的时候，分别采用了不同添加辅助线的办法来探究，请你认真审题后选择其中一种方法，完成证明． 小明：我的方法是如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F． 小华：我的方法是如图3，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M． 【知识应用】（2）如图4，点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点，顺次连接各边中点，得到四边形．请探究四边形对角线满足什么关系时，四边形是正方形？并说明理由． 【拓展应用】（3）如图5，在四边形中，，，E，F分别为的中点，若线段，，则__________． 1．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，顶点A，B分别在轴和轴上，当点A在轴上移动时，点B也随之在轴上移动，在移动过程中，OD的最大值为（   ） A．8 B．9 C． D． 2．如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（　　） A．4 B．2 C．7 D．8 3．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ． 4．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”． (1)在①平行四边形② 菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）； (2)在“完美”四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接 AC． ① 如图 1，求证：AC 平分∠BCD； ②如图 2，当∠BAD=90°，用等式表示线段 AC，BC，CD 之间的数量关系，并证明． 5．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，，或，则四边形是“对补四边形”． (1)【概念理解】如图（1），四边形是“对补四边形”． ①若，则∠D的度数是_________； ②若，且，则_______． (2)【拓展延伸】如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，，之间的数量关系，并加以证明． (3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形中，，平分． ①如图（3），求证：四边形是“对补四边形”； ②如图（4），设，连接，当，且时，求的值． 6．如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 7．如图，梯形中 ，，，，点E为上一点，且；点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．      (1)直接写出的长与的度数． (2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出点G在上的位置和此时x的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$