2025年高考数学【三角函数】第2练 扇形弧长、面积与三角函数的定义（新高考通用）

第2练 扇形弧长、面积与三角函数的定义 ||| 资源介绍 在教育的视野中，不能仅聚焦于金字塔尖的少数人.向下看，还有无数怀揣着求知热情、渴望成长进步的学生，他们同样值得教育给予充分的关注与培育. 本专辑专为高中各阶段学生量身打造，是高一高二基础薄弱学生打磨与夯实基础的得力助手，也是高三学生奋起直追、实现逆袭的有力武器，助力各年级学生在知识的海洋中稳步前行. ||| 知识点总览 一、扇形弧长与面积公式 1.扇形弧长公式：，其中表示弧长，表示圆心角弧度数，为半径. 2.扇形面积公式：，其中表示扇形面积，为弧长，为圆心角弧度数，为半径. 二、扇环 1.定义：扇环是由两个半径不相等的同心圆相减而得到的环形区域被两条半径截得的部分.形象地说，就是一个大扇形去掉一个与它圆心角相同的小扇形后剩下的部分. 2.面积公式：，其中是大扇形半径，是小扇形半径，是圆心角弧度数. 三、三角函数的定义 1.在平面直角坐标系中，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点， 那么正弦函数：；余弦函数：；正切函数：. 2.特别地，在直角三角形中，设为一个锐角，对边为，邻边为，斜边为，则等. ||| 精准百练 知识点一：扇形弧长与面积公式 1.（24-25高一上·山东聊城·期末）若扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（ ） A. B. C.6 D.3 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长面积公式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，扇形的半径为， 所以扇形的面积为. 故选：C 2.（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据扇形的面积公式可得，进而可求弧长. 【详解】设扇形的半径为， 由题意可得：，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D. 3.已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】求出扇形的半径，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】因为，所以，该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为. 故选：A. 4.（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为______________. 【答案】6 【分析】根据扇形的弧长公式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，扇形的弧长为， 所以扇形的周长为. 故答案为：6 5.（24-25高一上·四川成都·期末）如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面.它是分别以正（图中虚线）的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆弧，，构成的封闭图形，称做鲁洛克斯（F.Reuleaux）三角形.则鲁洛克斯三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据弧长公式，结合题意，可得答案. 【详解】鲁洛克斯三角形的周长为. 故选：B. 6.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知某扇形的周长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（ ） A. B.3 C.或3 D. 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长和面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，所对弧长为， 则，解得或， 所以该扇形圆心角的弧度数或， 故选：C 7.若扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为弧度______________. 【答案】/ 【分析】设扇形半径为，圆心角为根据扇形的弧长公式和面积公式列方程即可求解. 【详解】解：设扇形半径为R，圆心角为，则， 则，解得 故答案为： 8.已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（ ） A.1 B.2 C. D. 【答案】B 【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数性质求解作答. 【详解】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长，， 于是扇形的面积， 即当时，，此时， 所以所求圆心角的弧度为. 故选：B 9.（24-25高一上·广东阳江·期末）小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式即可求解. 【详解】由已知可得扇形的圆心角，扇形半径， 则扇形面积为 故选：A. 10.如图所示的圆形中心阴影部分为镂空的图案是我国古代建筑中的一种图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.已知图中外圆的半径为1，阴影部分由四条四分之一圆弧围成，则图案的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设是外圆的圆心，是相邻的两个四等分点，计算弓形的面积的面积，可求图案面积. 【详解】设是外圆的圆心，是相邻的两个四等分点， 由题意可知，又， 所以弓形的面积为， 所以图案的面积为. 故选：C. ||| 精准百练 知识点二：扇环 11.折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是______________. 【答案】 【分析】利用扇形的面积公式求解，用大扇形的面积减去小扇形的面积即可. 【详解】由题可知，，，所以扇形的面积， 扇形的面积，所以扇面的面积. 故答案为：. 12.外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为______________ 【答案】 【分析】延长相交于点，由圆心角求得，再结合扇形面积公式即可求解； 【详解】延长相交于点，设， 则，解得， 所以扇环的面积为， 故答案为： 13.如图所示，阴影部分为一扇环形花坛，若，，，则该阴影部分的面积为______________. 【答案】 【分析】借助扇形面积公式及角度值与弧度制的互化计算即可得. 【详解】由，则， . 故答案为：. 14.（24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先求的长，利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为，， 由得：. 所以几何图形的面积为：. 故选：B ||| 精准百练 知识点三：由终边或终边上的点求三角函数值 的概念 15.已知角的终边经过点，则（ ） A.2 B.-2 C.1 D.-1 【答案】B 【分析】由正切函数的定义计算即可. 【详解】由题意，得. 故选：B. 16.（24-25高一上·宁夏吴忠·期末）已知角α的终边过点，则的值是（ ） A.1 B. C.-1 D. 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求出的值即可得答案. 【详解】角的终边经过点， ， . 故选：A. 17.如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据三角函数定义即可求解. 【详解】由题意及图示可知，点的横坐标为， 所以. 故选：. 18.点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意得为终边的一个角为，设，根据三角函数的定义可求出结果. 【详解】根据题意得为终边的一个角为，设， 根据三角函数的定义可得，，则，， 所以. 故选：C 19.（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由三角函数的定义即可求得结果. 【详解】因为角终边上一点，则. 所以，，故， 故选：C 20.（24-25高一上·广东广州·期末）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义求得即可判断. 【详解】由题意得， 由三角函数的定义可得，. 若，则，，； 若，则，，； 故选：D. ||| 精准百练 知识点四：由三角函数值求终边上的点或参数 的概念 21.（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知α的终边经过点，且，则＝（ ） A. B. C. D.2 【答案】A 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解. 【详解】因为α的终边经过点，且， 所以，再由，解得， 由正切函数定义得：， 故选：A. 22.（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知点是角终边上一点，且，则的值为（ ） A.±2 B.2 C. D. 【答案】C 【分析】根据余弦函数的定义可求的值. 【详解】因为，故，故（负值舍去）， 故选：C. 23.（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若角终边上有一点，且，则（ ） A.1 B. C. D.2 【答案】B 【分析】利用三角函数终边定义法代入公式计算可得结果. 【详解】根据题意可知，解得. 故选：B. 24.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A.4或 B. C. D.或 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 又角的终边经过点，所以， 又，所以，解得或. 经检验，或均符合题意. 故选：A. 25.已知角的终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求出，再由三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以，解得， 所以. 故选：A. 26.若是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据三角函数定义相关知识求解. 【详解】因为是第二象限角，为其终边上一点， 所以，， 解得（舍去）或， 所以. 故选：B 27.角的终边上一点的坐标为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】借助三角函数定义求出，然后利用定义可求答案. 【详解】，解得：，所以. 故选：A. 1/12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2练 扇形弧长、面积与三角函数的定义 ||| 资源介绍 在教育的视野中，不能仅聚焦于金字塔尖的少数人.向下看，还有无数怀揣着求知热情、渴望成长进步的学生，他们同样值得教育给予充分的关注与培育. 本专辑专为高中各阶段学生量身打造，是高一高二基础薄弱学生打磨与夯实基础的得力助手，也是高三学生奋起直追、实现逆袭的有力武器，助力各年级学生在知识的海洋中稳步前行. ||| 知识点总览 一、扇形弧长与面积公式 1.扇形弧长公式：，其中表示弧长，表示圆心角弧度数，为半径. 2.扇形面积公式：，其中表示扇形面积，为弧长，为圆心角弧度数，为半径. 二、扇环 1.定义：扇环是由两个半径不相等的同心圆相减而得到的环形区域被两条半径截得的部分.形象地说，就是一个大扇形去掉一个与它圆心角相同的小扇形后剩下的部分. 2.面积公式：，其中是大扇形半径，是小扇形半径，是圆心角弧度数. 三、三角函数的定义 1.在平面直角坐标系中，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点， 那么正弦函数：；余弦函数：；正切函数：. 2.特别地，在直角三角形中，设为一个锐角，对边为，邻边为，斜边为，则等. ||| 精准百练 知识点一：扇形弧长与面积公式 1.（24-25高一上·山东聊城·期末）若扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（ ） A. B. C.6 D.3 2.（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 3.已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4.（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为______________. 5.（24-25高一上·四川成都·期末）如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面.它是分别以正（图中虚线）的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆弧，，构成的封闭图形，称做鲁洛克斯（F.Reuleaux）三角形.则鲁洛克斯三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 6.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知某扇形的周长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（ ） A. B.3 C.或3 D. 7.若扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为弧度______________. 8.已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（ ） A.1 B.2 C. D. 9.（24-25高一上·广东阳江·期末）小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（ ） A. B. C. D. 10.如图所示的圆形中心阴影部分为镂空的图案是我国古代建筑中的一种图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.已知图中外圆的半径为1，阴影部分由四条四分之一圆弧围成，则图案的面积为（ ） A. B. C. D. ||| 精准百练 知识点二：扇环 11.折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是______________. 12.外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为______________ 13.如图所示，阴影部分为一扇环形花坛，若，，，则该阴影部分的面积为______________. 14.（24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（ ） A. B. C. D. ||| 精准百练 知识点三：由终边或终边上的点求三角函数值 的概念 15.已知角的终边经过点，则（ ） A.2 B.-2 C.1 D.-1 16.（24-25高一上·宁夏吴忠·期末）已知角α的终边过点，则的值是（ ） A.1 B. C.-1 D. 17.如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 18.点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 19.（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 20.（24-25高一上·广东广州·期末）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ） A. B. C. D. ||| 精准百练 知识点四：由三角函数值求终边上的点或参数 的概念 21.（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知α的终边经过点，且，则＝（ ） A. B. C. D.2 22.（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知点是角终边上一点，且，则的值为（ ） A.±2 B.2 C. D. 23.（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若角终边上有一点，且，则（ ） A.1 B. C. D.2 24.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A.4或 B. C. D.或 25.已知角的终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 26.若是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 27.角的终边上一点的坐标为，且，则（ ） A. B. C. D. 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $$