2025年高考数学【三角函数】第3练 三角函数的符号与基本关系式（新高考通用）

第3练 三角函数的符号与基本关系式 ||| 资源介绍 在教育的视野中，不能仅聚焦于金字塔尖的少数人.向下看，还有无数怀揣着求知热情、渴望成长进步的学生，他们同样值得教育给予充分的关注与培育. 本专辑专为高中各阶段学生量身打造，是高一高二基础薄弱学生打磨与夯实基础的得力助手，也是高三学生奋起直追、实现逆袭的有力武器，助力各年级学生在知识的海洋中稳步前行. ||| 知识点总览 一、各象限角三角函数值的符号 1.正弦函数在第一，二象限，；在第三，四象限，，可简记为＂一，二正，三，四负＂； 2.余弦函数在第一，四象限，；在第二，三象限，，简记为＂一，四正，二，三负＂； 3.正切函数在第一，三象限，；在第二，四象限，，简记为＂一，三正，二，四负＂. 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系：， 推导：； 2.和的关系 （1）. （2） 3.商数关系：，在，即角的终边不在轴上时成立，可用于进行弦切互化； 4.常用于已知其中一个的值，求另一个的值，俗称“知一得二”. 三、正余弦的齐次式法 1.齐次式是指各项中三角函数次数相同的式子，如关于的齐次式，（一次齐次式）与（二次齐次式）等， 2.当已知的值，求齐次式的值时， 对于一次式，可分子分母同时除以，再将的值代入求解； 对于二次齐次式，可将其分母看成，再同时除以（），进而得解.||| 精准百练 知识点一：各象限角三角函数值的符号 1.（2025·黑龙江·模拟预测）若且同时成立，则是（ ） A.第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角 【答案】B 【分析】利用三角函数值的符号判断所在象限即可. 【详解】因为，， 所以，即是第三象限角，故B正确. 故选：B 2.已知，则角的终边位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系即可求得角的终边所在象限. 【详解】根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 由，可得角的终边位于第三象限. 故选：C 3.若，则点位于第（ ）象限. A.一 B.二 C.三 D.四 【答案】B 【分析】根据象限角判断三角函数值的符号，即可得结果. 【详解】因为，则， 所以点位于第二象限. 故选：B. 4.点落在（ ） A.第一象限内 B.第二象限内 C.第三象限内 D.第四象限内 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式和符号，分别得出横纵坐标的正负值情况，即可判断点所在象限. 【详解】因为 所以点落在第四象限内， 故选：D. 5.若，则点在第（ ）象限. A.一 B.二 C.三 D.四 【答案】D 【分析】根据三角函数的符号可判断点的位置. 【详解】因为，所以，， 所以点在第四象限. 故选：D. 6.我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角.已知点在第三象限，则角的终边在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【分析】本题首先可以根据题意得出、，然后得出，即可得出结果. 【详解】因为点在第三象限， 所以，， 则，角的终边在第二象限， 故选：B. ||| 精准百练 知识点二：平方关系与和 7.（2025高一上·云南玉溪·期末）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】应用平方关系求余弦值即可. 【详解】由平方关系有. 故选：A 8.（2025高一上·湖南长沙·期末）已知，且是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系即可求得结果. 【详解】因为，且是第三象限角，所以. 故选：D. 9.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系中平方和关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 10.若，α为第四象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用同角的三角函数的平方关系可求解. 【详解】因为，为第四象限角，所以. 故选：D. 11.已知为第二象限角，则的值是（ ） A. B.0 C.1 D.2 【答案】B 【分析】先根据角所在象限得到，，进而化简求值. 【详解】是第二象限角， ，，故. 故选：B. 12.化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用同角公式化简即得. 【详解】由，得， 所以 . 故选：C 13.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】将已知两边平方，再结合平方关系即可得解. 【详解】因为，可得， 所以. 故选：C. 14.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用完全平方公式与三角函数基本关系式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：B 15.已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由已知可得，可求得，进而可求的值. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以， 又， 所以. 故选：A. ||| 精准百练 知识点三：商数关系 的概念 16.已知是三角形的内角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】法一：利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可. 法二：由题意先求得，进而求得的值，可求得的值，从而可求得的值. 【分析】法一：因为是三角形的内角，所以，即， 又，， 所以. 法二：由①两边平方得， 所以，又因为是三角形的内角，所以，即， 所以，所以， 又，所以②， 联立①，②，解得，所以. 故选：B. 17.若，，则（ ） A. B. C.2 D. 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论. 【详解】且， ， 又， ， 解得：或， 当，则，则； 当，则（舍去）； 故选：C. 18.已知，，则（ ） A.0 B. C.1 D. 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 19.（2025高一上·河南郑州·期末）已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由及，解出与即可求解. 【详解】因为，且， 所以，因为，所以，， 所以. 故选：A. 20.已知，则（ ） A. B. C.6 D.8 【答案】A 【分析】由同角的三角函数关系即可求解. 【详解】因为，所以由题意可得 故选：A. 21.（2024·四川乐山·三模）已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用同角的平方关系与商数关系即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，又为第二象限角，所以. 故选：A. ||| 精准百练 知识点四：齐次式法 的概念 22.（2025高一上·内蒙古赤峰·期末）若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用同角的正余弦平方关系化为齐次式可求值. 【详解】 . 故选：D. 23.（2025·广东惠州·模拟预测）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用弦化切方法即可直接求解. 【详解】由得. 故选：A 24.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，即， 所以. 故选：D. 25.（2025高一上·河南许昌·期末）已知角满足，则的值为（ ） A.2 B. C. D. 【答案】C 【分析】利用同角的三角函数关系式化弦为切，解正切方程即得. 【详解】由，解得：. 故选：C. 26.（2025高一上·浙江温州·期末）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】因为，解得. 故选：D. 27.若，则=（ ） A. B.5 C. D. 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出. 【详解】由，得，所以. 故选：B 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3练 三角函数的符号与基本关系式 ||| 资源介绍 在教育的视野中，不能仅聚焦于金字塔尖的少数人.向下看，还有无数怀揣着求知热情、渴望成长进步的学生，他们同样值得教育给予充分的关注与培育. 本专辑专为高中各阶段学生量身打造，是高一高二基础薄弱学生打磨与夯实基础的得力助手，也是高三学生奋起直追、实现逆袭的有力武器，助力各年级学生在知识的海洋中稳步前行. ||| 知识点总览 一、各象限角三角函数值的符号 1.正弦函数在第一，二象限，；在第三，四象限，，可简记为＂一，二正，三，四负＂； 2.余弦函数在第一，四象限，；在第二，三象限，，简记为＂一，四正，二，三负＂； 3.正切函数在第一，三象限，；在第二，四象限，，简记为＂一，三正，二，四负＂. 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系：， 推导：； 2.和的关系 （1）. （2） 3.商数关系：，在，即角的终边不在轴上时成立，可用于进行弦切互化； 4.常用于已知其中一个的值，求另一个的值，俗称“知一得二”. 三、正余弦的齐次式法 1.齐次式是指各项中三角函数次数相同的式子，如关于的齐次式，（一次齐次式）与（二次齐次式）等， 2.当已知的值，求齐次式的值时， 对于一次式，可分子分母同时除以，再将的值代入求解； 对于二次齐次式，可将其分母看成，再同时除以（），进而得解.||| 精准百练 知识点一：各象限角三角函数值的符号 1.（2025·黑龙江·模拟预测）若且同时成立，则是（ ） A.第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角 2.已知，则角的终边位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若，则点位于第（ ）象限. A.一 B.二 C.三 D.四 4.点落在（ ） A.第一象限内 B.第二象限内 C.第三象限内 D.第四象限内 5.若，则点在第（ ）象限. A.一 B.二 C.三 D.四 6.我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角.已知点在第三象限，则角的终边在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ||| 精准百练 知识点二：平方关系与和 7.（2025高一上·云南玉溪·期末）已知，则（ ） A. B. C. D. 8.（2025高一上·湖南长沙·期末）已知，且是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 9.若，则（ ） A. B. C. D. 10.若，α为第四象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 11.已知为第二象限角，则的值是（ ） A. B.0 C.1 D.2 12.化简的结果是（ ） A. B. C. D. 13.已知，则（ ） A. B. C. D. 14.已知，则（ ） A. B. C. D. 15.已知，，则（ ） A. B. C. D. ||| 精准百练 知识点三：商数关系 的概念 16.已知是三角形的内角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 17.若，，则（ ） A. B. C.2 D. 18.已知，，则（ ） A.0 B. C.1 D. 19.（2025高一上·河南郑州·期末）已知，，则（ ） A. B. C. D. 20.已知，则（ ） A. B. C.6 D.8 21.（2024·四川乐山·三模）已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. ||| 精准百练 知识点四：齐次式法 的概念 22.（2025高一上·内蒙古赤峰·期末）若，则（ ） A. B. C. D. 23.（2025·广东惠州·模拟预测）已知，则（ ） A. B. C. D. 24.已知，则（ ） A. B. C. D. 25.（2025高一上·河南许昌·期末）已知角满足，则的值为（ ） A.2 B. C. D. 26.（2025高一上·浙江温州·期末）已知，则（ ） A. B. C. D. 27.若，则=（ ） A. B.5 C. D. 1/4 学科网（北京）股份有限公司 $$