精品解析：安徽省智学大联考·皖中名校联盟合肥八中2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

智学大联考·皖中名校联盟 合肥八中2024-2025学年第一学期高二年级期末检测 数学试题卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 4. 已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 （ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线，则下列结论中错误的是（ ） A. 曲线E与直线无公共点 B. 曲线E上的点到直线的最大距离是 C. 曲线E关于直线对称 D. 曲线E与圆有三个公共点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线E：，则下列选项正确的有（ ） A. 若，则E为椭圆 B. 若E为焦点在y轴上的椭圆，则 C. 若E为双曲线，则 D. 若，则E为焦点在y轴上的双曲线 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 取得最小值时或4 C. D. 的最小值为 11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，设点，下面结论正确的是（ ） A. 若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，则 B. 若点，P都不在直线l上，直线l的方向向量是，若直线与l异面且垂直，则 C. 若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则 D. 若平面经过点，且为平面的法向量，则平面外存在一点P使得成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则_____________． 13. 如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为___________. 14. 已知，轴于点B，M为射线OA上任意一点，轴于点C，点D为直线AB上一点，且，直线OD与直线MC相交于点P.已知点，，则的最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的前项和为，且. （1）当为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； （2）当时，设，求数列的前项和. 16. 已知在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上． （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆交于两点，且，求的方程． 17. 已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点， ①证明：为定值； ②的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 18. 如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面. （1）求证：； （2）若在底面上的投影是O，且，，，求平面PAB与平面夹角的余弦值. 19. 已知点在抛物线C：上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为. （1）求t的值； （2）求证：数列是等差数列，并求； （3）求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 智学大联考·皖中名校联盟 合肥八中2024-2025学年第一学期高二年级期末检测 数学试题卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意，得，所以， 故选C． 考点：直线的倾斜角． 2. 如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ，，，，则，故B正确. 故选：B 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 4. 已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可. 【详解】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量， 故选：A． 5. 已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项性质通分计算即可. 【详解】依题意，， 则. 故选：D. 6. 已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于，连接，可证平面平面，是直线与平面所成的角，由已知可求得，求得，可求得点D到平面的距离. 【详解】连接交于，连接， 因为长方体中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以是直线与平面所成的角，所以， 又，所以，由，可得 所以点D到平面的距离为. 故选：A. 7. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程求出，再在焦点中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理得，即可求出的离心率． 【详解】双曲线：，可得，所以， 解得，所以，，， ，， 在中，， ，即， ，. 故选：C. 8. 已知曲线，则下列结论中错误的是（ ） A. 曲线E与直线无公共点 B. 曲线E上的点到直线的最大距离是 C. 曲线E关于直线对称 D. 曲线E与圆有三个公共点 【答案】D 【解析】 【分析】联立方程组即可判断A，根据点到平面距离结合圆的半径即可判断B，将点代入曲线判断C，应用分象限讨论得出曲线E得出与圆的交点个数判断D. 【详解】对于A选项，联立， 将代入，得，所以曲线E与直线无公共点，A选项正确; 对于B选项，曲线E上的点到直线的最大距离是，即圆弧的半径，所以B选项正确. 对于C选项，点满足直线对称的对称点是，将点代入 得，整理得，所以曲线E关于直线对称，C选项正确; 曲线，曲线E是双曲线一部分和圆的一部分构成的图象，圆的圆心为，半径是， 当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点； 当，时，曲线方程可化为，无轨迹； 当，时，曲线方程可化为，与圆无交点； 当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点； 对于D选项，可知曲线E与圆有两个公共点，D选项错误; 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线E：，则下列选项正确的有（ ） A. 若，则E为椭圆 B. 若E为焦点在y轴上的椭圆，则 C. 若E为双曲线，则 D. 若，则E为焦点在y轴上的双曲线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆得到不等式组即可判断A，再限制其焦点即可判断B；根据方程表示双曲线得到不等式即可判断C， 【详解】对于A，若方程表示椭圆，则满足，解得或， 当时，此时方程表示圆，所以A不正确； 对于B中，当方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，所以B正确； 对于C中，当为双曲线时，，则或，所以C错误； 对于D中，当，曲线E：，其中，则焦点在轴上，所以D正确． 故选：BD． 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 取得最小值时或4 C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】给出作为反例即可判断A，利用二次函数的性质即可判断B，利用裂项相消法判断C，注意到一定是有理数即可判断D. 【详解】对于A，由于，故对不成立，故A错误； 对于B，由二次函数性质知的开口向上，且对称轴为，故当或时，取得最小值，故B正确； 对于C，因为，故对有. 所以，同时有. 故，故C正确； 对于D，因为一定是有理数，所以不可能以无理数为最小值，故D错误. 故选：BC. 11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，设点，下面结论正确的是（ ） A. 若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，则 B. 若点，P都不在直线l上，直线l的方向向量是，若直线与l异面且垂直，则 C. 若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则 D. 若平面经过点，且为平面的法向量，则平面外存在一点P使得成立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量共线即可求解A，根据垂直关系即可求解BCD. 【详解】对于A，由于为的方向向量，， 故存在实数使得，即可，因此，故A正确， 对于B, 与垂直,则，即，故B正确， 对于C，由于为平面的法向量， ，故，即， 则，故C正确， 对于D，由于为平面的法向量，若平面外存在一点使得成立， 则与平面平行，这与点在平面内矛盾，故D错误， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等差数列通项的基本量关系求得首项和公差，再代入差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】解：设d为公差，由，， 得， 解得，， 则， 故答案为：4. 13. 如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法计算即可. 【详解】取中点M，连接 ，，， 取中点H，，，. 分别以M为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，， 则，， 故， 又因为两异面直线的夹角范围是， 故异面直线和所成角为. 故答案为：. 14. 已知，轴于点B，M为射线OA上任意一点，轴于点C，点D为直线AB上一点，且，直线OD与直线MC相交于点P.已知点，，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设点，再利用焦半径公式得的表达式，最后利用基本不等式即可得到答案. 【详解】设，其中，则， 由于三点共线，则，所以得点的轨迹方程是，， 点为该抛物线的焦点，准线，点为准线与轴的交点， 作于点，则，， 则 ，当且仅当，即时取等号．则的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设线法，从而得到比值表达式，最后利用基本不等式即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的前项和为，且. （1）当为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； （2）当时，设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别代入计算得，再根据等比中项求出，最后再即可； （2）利用错位相减法即可. 【小问1详解】 （1）因为的前项和， 所以， 所以， 若是等比数列，则，求得， 当时，， 又当时，， 则当时，也适合此通项公式.即， 由于对都成立，所以此时数列为等比数列， 所以当时，数列为等比数列，此时数列的通项公式为. 【小问2详解】 （2）当时，， 则， ， 所以， 故. 16. 已知在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上． （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆交于两点，且，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出二次函数与坐标轴的交点坐标，再设出圆的一般式方程，代入坐标求解参数即可. （2）利用勾股定理求出点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式建立方程，求解参数，得到直线方程即可. 【小问1详解】 曲线和轴的交点为和，和轴的交点为. 设圆的方程为，则代入以上三点坐标可得，，. 所以， ， . 从而圆的方程为. 【小问2详解】 圆的方程化为标准方程即为，从而圆心为，半径. 设圆心到直线的距离为，由勾股定理得，解得. 再设直线的方程为，即，则. 从而，即. 所以或，故直线的方程为或. 整理可得直线方程为或者. 17. 已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点， ①证明：为定值； ②的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②是， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，结合圆心率即可求解； （2）①求出点和的坐标，设，代入椭圆的方程，求出，根据，即可求解；②设直线，，，联立直线和椭圆的方程写出韦达定理，根据求出和的关系式，根据求出，求出点到直线l的距离，求出的面积. 【小问1详解】 由题意可知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，且， 所以，， 椭圆的方程是； 【小问2详解】 ①由题意可得，， 设，可得， 即，则， 因为，， 则； ②易知直线l的斜率存在，设直线，，， 联立直线和，可得， 可得，， ， 由， 可得，由弦长公式可得 ， 点到直线l的距离为， 所以， 综上可知，的面积为定值 【点睛】关键点点睛：本题（2）①关键在于根据，求出. 18. 如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面. （1）求证：； （2）若在底面上的投影是O，且，，，求平面PAB与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）平面PAB与平面夹角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，利用平行六面体的性质可证四边形是平行四边形，进而利用面面平行的性质可得，进而利用相似可得结论； （2）由已知可得，以点为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得平面PAB与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 连接交于，连接， 在平行六面体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以且， 又分别为的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为都经过点，所以三点共线， 所以，所以，所以； 【小问2详解】 因为，，则平行四边形是菱形， 所以，又在底面上的投影是O，， 以点为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，于是， 又，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设平面PAB与平面夹角为， 所以， 所以平面PAB与平面夹角的余弦值为. 19. 已知点在抛物线C：上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为. （1）求t的值； （2）求证：数列是等差数列，并求； （3）求的面积. 【答案】（1）2 （2） 由（1）知：，即， 因为点在抛物线上， 所以，两式相减得， 则，可得， 可知数列是以首项为4，公差为8的等差数列， 则，． ， （3）64 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线C：上，代入即可求解； （2）由点在抛物线上，得到方程组两式相减，结合斜率公式，得到，即可得证； （3）由（2）得到的坐标，结合梯形和的面积，求得的面积，即可求解. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，可得，解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知：， 过作轴，垂足为， 可得梯形的面积为： 同理可得， 且梯形的面积为： ， 所以的面积为： ． 【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式综合问题的求解策略： 1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性； 2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $