精品解析：辽宁省丹东市凤城市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度上学期期末测试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 如图所示，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的方程kx+b=3的解为x=7，则直线y=kx+b的图象一定过点（　　） A. （3，0） B. （7，0） C. （3，7） D. （7，3） 6. 关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 8. 如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于A、、、四个点.则下列结论： ①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（ ） A ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 10. 如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是_____． 12. 设为正整数，且，则的值为___________． 13. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背夹角___________． 14. 定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“新生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是______；若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是______． 15. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还需要走分钟．其中正确的结论有_____．（填序号） 三、解答题（本题8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 （1）这种求解二元一次方程组方法叫做_____，其中第一步的依据是_____； （2）第_____步开始出现错误； （3）请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）在图中第一象限内存在一格点，满足，，格点D的坐标为_______． （注：数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点或整点） 19. 某射击队准备从甲、乙两名队员中选取一名队员代表该队参加比赛，特为甲、乙两名队员举行了一次选拔赛，要求这两名队员各射击10次.比赛结束后，根据比赛成绩情况，将甲、乙两名队员的比赛成绩制成了如下的统计表： 成绩（环） 甲次数（次） 乙次数（次） （1）经过整理，得到的分析数据如表，求表中的，，的值． 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 （2）根据甲、乙两名队员成绩情况，该射击队应选派谁参加比赛？请你写出一条理由． 20. 小王骑自行车从A地出发前往B地，同时小李步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF，分别表示小王、小李两人与A地的距离y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OP与EF相交于点M． （1）求线段OP对应的y甲与x的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）； （2）求y乙与x的函数关系式以及A，B两地之间的距离； （3）直接写出经过多少小时，甲、乙两人相距3km． 21. 五和超市购进、两种饮料共200箱，两种饮料的成本与销售价如下表： 饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱） 25 35 35 50 （1）若该超市花了6500元进货，求购进、两种饮料各多少箱？ （2）设购进种饮料箱（），200箱饮料全部卖完可获利润元，求与的函数关系式，并求购进种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点． 【提出问题】 小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程） 【拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数． 23. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，． ①直接写出_____，_____； ②点的坐标_____； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，若，是直线上动点，点在轴上的坐标为，动点坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是_____（直接写出答案即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期末测试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数进行解答即可． 【详解】解：因为第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，而各选项中符合纵坐标为正，横坐标也为负数的只有． 故选：A． 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根，依次计算出各选项的结果即可． 【详解】A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：C． 3. 如图所示，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据是的外角，故，再根据是的外角，故，进而可得出结论． 【详解】解：∵是的外角， ∴； ∵是的外角， ∴， ∴． 故选：． 4. 如图，下列条件不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，进行判定两直线平行，或者同旁内角互补，进行判定两直线平行，或者同位角相等，进行判定两直线平行，即可作答． 【详解】解：A、能判断，∵，∴，满足内错角相等，两直线平行，不符合题意． B、能判断，∵，∴，满足同位角相等，两直线平行，不符合题意． C、能判断，∵，∴，满足同旁内角互补，两直线平行，不符合题意． D、不能判断，符合题意． 故选：D． 5. 关于x的方程kx+b=3的解为x=7，则直线y=kx+b的图象一定过点（　　） A. （3，0） B. （7，0） C. （3，7） D. （7，3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先确定b与k的关系，然后代入一次函数解析式中，最后根据各选项进行逐项分析即可． 【详解】解：∵关于x的方程kx+b=3的解为x=7， ∴7k+b=3， ∴b=3-7k； 把b=3-7k代入y=kx+b得：y=kx+3-7k， A.当x=3时，y=3k+3-7k=3-4k，所以此时直线y=kx+b不一定过点（3，0）； B.当x=7时，y=7k+3-7k=3，所以此时直线y=kx+b一定不过点（7，0）； C.当x=3时，y=3k+3-7k=3-4k，所以此时直线y=kx+b不一定过点（3，7）； D.当x=7时，y=7k+3-7k=3，所以此时直线y=kx+b一定过点（7，3）； 故选：D． 【点睛】本题考查方程的解，以及一次函数图象上点坐标的特征，理解方程的解的定义，掌握一次函数图象上点坐标的特征是解题关键． 6. 关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解．把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 7. 函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x，y的值，再代入中即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，故x=2， ∴y=2， ∴ 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是得出x，y的值． 8. 如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质，勾股定理．根据题意连接，利用垂直平分线性质可知，的最小值是即为的值再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ， ∵垂直平分， ∴， ∵点P为直线上的任一点， ∴的最小值是即为的值， ∵，，， ∴， 故选：B． 9. 一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于A、、、四个点.则下列结论： ①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的图象与坐标轴的交点问题，一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数与方程(组)的关系逐一分析判断即可． 【详解】解：∵一次函数与一次函数 在同一坐标系中，两条直线交于点， ∴一元一次方程的解为，，故正确； 由，解得，故错误； ∴一次函数为， ， 把代入得，， ∴， ∴， ∴方程组的解为，故正确； ∵一次函数为， ， ∴当时，， 当时，由得， ∴，， ∴四边形的面积，故正确； ∴正确的是， 故选：． 10. 如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ， ∴， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是_____． 【答案】 【解析】 分析】本题考查了平方根，根据定义求即可． 【详解】 的平方根即为的平方根 的平方根 的平方根是 故答案：． 12. 设为正整数，且，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 13. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角___________． 【答案】##122度 【解析】 【分析】由可求得的度数，再根据即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 14. 定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“新生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是______；若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是______． 【答案】 ①. ②. 1或##或1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找出一次函数 “新生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值． 【详解】解：一次函数的“新生函数”为， ， 点在一次函数的“新生函数”图象上，， ， 点在一次函数的“新生函数”图象上， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 则n的值为1或， 故答案为：；1或． 15. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还需要走分钟．其中正确的结论有_____．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题所需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲步行速度（米/分），故正确； 设乙速度为：米/分， 由题意得：， 解得：， 乙的速度为米/分， 乙走完全程的时间（分），故正确； 由图可知，乙追上甲的时间为：（分），故错误； 乙到达终点时，甲离终点的距离是：（米）,甲离终点还需要走：（分钟），故正确； 正确的结论有， 故答案为：． 三、解答题（本题8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先算乘除，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 （1）这种求解二元一次方程组方法叫做_____，其中第一步的依据是_____； （2）第_____步开始出现错误； （3）请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 【答案】（1）加减消元法，等式的基本性质 （2）二 （3）过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键． （1）根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可． （2）根据得，判断即可． （3）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【小问1详解】 解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第一步的依据是等式的基本性质， 故答案为：加减消元法，等式的基本性质； 【小问2详解】 解：得； 所以从第二步开始出现错误， 故答案为：二； 【小问3详解】 解：得 得， 将代入得， 所以，原方程组的解为 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）在图中第一象限内存在一格点，满足，，格点D的坐标为_______． （注：数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点或整点） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、勾股定理，解题的关键是： （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用勾股定理，结合网格确定点的位置即可． 小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 19. 某射击队准备从甲、乙两名队员中选取一名队员代表该队参加比赛，特为甲、乙两名队员举行了一次选拔赛，要求这两名队员各射击10次.比赛结束后，根据比赛成绩情况，将甲、乙两名队员的比赛成绩制成了如下的统计表： 成绩（环） 甲次数（次） 乙次数（次） （1）经过整理，得到的分析数据如表，求表中的，，的值． 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 （2）根据甲、乙两名队员的成绩情况，该射击队应选派谁参加比赛？请你写出一条理由． 【答案】（1），， （2）应该选派乙参加比赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了数据的集中趋势，涉及平均数、中位数、众数、方差等计算，解题的关键是理解平均数、中位数、众数、方差的实际意义． （1）根据加权平均数的公式、中位数的定义、方差的公式计算可得； （2）对比平均数、中位数、众数、方差，再根据中位数的意义得出选派乙的依据． 【小问1详解】 解：乙的平均数为：， 乙的中位数为：， 甲的方差为： 【小问2详解】 应该选派乙参加比赛. 由于平均数相同，乙的中位数大于甲的中位数，根据中位数的意义，乙大于等于8分的次数比甲多；乙的方差小，成绩更稳定等（答案不唯一） 20. 小王骑自行车从A地出发前往B地，同时小李步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF，分别表示小王、小李两人与A地的距离y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OP与EF相交于点M． （1）求线段OP对应的y甲与x的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）； （2）求y乙与x的函数关系式以及A，B两地之间的距离； （3）直接写出经过多少小时，甲、乙两人相距3km． 【答案】（1）y甲=18x （2）y乙=﹣6x+12，12km （3）小时或小时 【解析】 【分析】（1）设线段OP对应的函数解析式为y甲=k1x，由图象可知9=0.5k，得k1=18，由此可知线段OP对应的函数解析式； （2）设与x的函数关系式是y乙=k2x+n，有图象可知代入（0.5,9）（2,0）两点后求出解析式，当时间为0时，小李与A地的距离为A，B两地的距离； （3）先计算出小李与小王的速度，根据相遇前相距3km，与相遇后相距3km两种情况分别分类计算即可． 【小问1详解】 解：设线段OP对应的函数解析式为y甲=k1x， ∴9=0.5k，解得k1=18， ∴线段OP对应函数解析式为y甲=18x； 【小问2详解】 解：∵经过点（0.5，9），（2，0） 设y乙与x的函数关系式是y乙=k2x+n， ∴，解得， 即y乙与x的函数关系式是y乙=﹣6x+12， 当x=0时，y乙=12， ∴A、B两地的距离是12km； 【小问3详解】 解： ， 相遇前相距3km：， 相遇后相距3km： 经过小时或小时时，甲、乙两人相距3km． 【点睛】本题考查利用一次函数解决实际问题，求一次函数的解析式，行程问题，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 21. 五和超市购进、两种饮料共200箱，两种饮料的成本与销售价如下表： 饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱） 25 35 35 50 （1）若该超市花了6500元进货，求购进、两种饮料各多少箱？ （2）设购进种饮料箱（），200箱饮料全部卖完可获利润元，求与的函数关系式，并求购进种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）购进A种饮料箱，则购进B种饮料箱；（2）求购进种饮料箱时，可获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设购进A种饮料箱，则购进B种饮料箱，根据两种饮料的成本乘以数量等于6500元，列出二元一次方程即可解决问题； （2）根据利润等于销售价减去成本再乘以销量，列出与的函数关系式，进而根据一次函数的性质求得最大值 【详解】（1）设购进A种饮料箱，则购进B种饮料箱，根据题意得 解得 答：购进A种饮料箱，则购进B种饮料箱 （2）设购进种饮料箱（），200箱饮料全部卖完可获利润元， 则 随的增大而减小， 又 时，可获得最大利润，最大利润是（元） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出关系式和方程组是解题的关键． 22. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点． 【提出问题】 小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程） 【拓广提升】 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数． 【答案】解决问题：[探究一]；[探究二]，145；[拓广提升] 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到． 【详解】解：[探究一]：，理由如下： 如图①， ∵， ∴， ∴， ∴． [探究二]如图②， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交于L， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案：． [拓广提升]∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 23. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，． ①直接写出_____，_____； ②点的坐标_____； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，若，是直线上的动点，点在轴上的坐标为，动点坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是_____（直接写出答案即可）． 【答案】（1）①8，6；② （2）不变， （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；②过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点作轴于，过点作于，证明，可分两种情况讨论，由全等三角形的性质得，，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，直线解析式为， 令，则，即， 令，则有， 解得，即， ，． 故答案为：8，6； ②过点作轴，垂足，如下图， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：当的取值变化时，的面积是定值，，理由如下： 如下图，过点作轴，垂足为， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当的取值变化时，的面积是定值，； 【小问3详解】 解：当时，如下图，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$