专题06几何综合模型中常见的三种模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江苏专用）

专题06几何综合模型中常见的三种模型 模型一：胡不归模型 1 模型二：阿氏圆模型 5 模型三、瓜豆原理模型 8 12 模型一：胡不归模型 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 1．（江苏南通·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 ． 2．（2023·江苏连云港·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ．    3．（2023·江苏宿迁·二模）已知中，，则的最大值为 ．    4．（2023·江苏徐州·二模）抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上．    (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标； (2)如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值； (3)如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度． 5．（2024年江苏省宿迁市中考数学模拟预测题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点． (1)填空： ，点的坐标是 ； (2)连接，点是线段上一动点（点不与端点重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 模型二：阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题 1.（2023·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．    2.（2020·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    3．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 4．（2023·江苏无锡·二模）已知和为等腰直角三角形，，，，将两三角形如图1所示放置，其中、、在同一直线上，．现将绕点顺时针旋转，旋转角度为． (1)如图2，当线段过点时，若，，则的度数为______； (2)若点在边的延长线上，连接，请在图3中补全图形，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若点为的中点，旋转至如图4所示位置，连接、交于点，交于点，且，请直接写出的值． 模型三：瓜豆原理模型 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 1.（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)      A． B． C． D． 2．（2020·江苏淮安·一模）如图，正方形的边长为为上一点，且F为边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为 ． 3．（2021·江苏连云港·一模）如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ． 4.（2022·江苏扬州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）． (1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长； (2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD； (3)在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝　 ． 5．（2021·江苏常州·一模）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标． (3)如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由． 一、单选题 1．（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．10 2．（2021·江苏南通·二模）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于（ ） A．2 B．4 C．3 D．5 二、填空题 3．（2022·江苏常州·一模）如图，中，，，，P为边上一动点，则的最小值等于 ． 4.（22-23九年级下·江苏徐州·阶段练习）在中，，，，以点为圆心，2为半径作圆，分别交，于、两点，点是圆上一个动点，则的最小值是 ． 5．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ． 6．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，点为内一动点，且满足，则的最小值为 ．    7．（22-23九年级上·江苏常州·期中）已知的半径长7 cm，P为线段的中点，若点P在上，则的长是 cm． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在x轴和函数的图像上，且．作，（点C在直线的上方），则线段的最大值为 ． 9．（21-22九年级上·江苏宿迁·期末）如图，线段，点C为平面上一动点，且，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 ． 10．（九年级下·江苏盐城·期中）如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为 ． 11．（22-23九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是第一象限内的一个定点，点是以为圆心、1个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边在右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是 ． 三、解答题 12．（2021·江苏南通·二模）（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长； （2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当AP+PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） 13．（2023江苏省苏州市苏州中学月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务. 已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似. 【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值. 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在上取点，使得； 第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)： 解：在上取点，使得， 又. 任务： 将以上解答过程补充完整. 如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值. 14.（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，若，函数的最小值为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果将该抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形．当函数的图象与图形的公共点的个数大于时，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当取最大值时，函数的图象与图形的对称轴交于点，若过作平行于轴的直线交图形于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，为线段上的一点，动点从点出发，沿运动到点停止，已知点在上运动的速度为单位长度每秒，在上运动的速度为单位长度每秒．求当点运动的时间最短时，对应的点的坐标． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图①，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点． (1)求证：是等边三角形； (2)能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)若的半径为2，则面积的最大值是______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06几何综合模型中常见的三种模型 模型一：胡不归模型 1 模型二：阿氏圆模型 14 模型三、瓜豆原理模型 23 36 模型一：胡不归模型 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 1．（江苏南通·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可. 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC//AB， ∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD， ∴=BP+PQ， ∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键. 2．（2023·江苏连云港·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图，    作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 3．（2023·江苏宿迁·二模）已知中，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，而一定， ∴当的面积最大时，最大， ∵， ∴点D在以为直径的圆上， ∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大， 此时，则为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：．   ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长． 4．（2023·江苏徐州·二模）抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上．    (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标； (2)如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值； (3)如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度． 【答案】(1)抛物线的函数表达式：，顶点坐标： (2) (3) 【分析】（1）根据直线与轴交于点．求得点，代入二次函数解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）设直线与轴交于点，令，得，故点的坐标为，为等腰直角三角形，过点作轴，交直线于点，则，则是等腰直角三角形，设点，则，进而表示出，根据二次函数的性质求得的最大值为； （3）过点作，设交轴于点，当时，，则，此时最小，，设，则，勾股定理求得，根据，，可得，则，即，求得直线的解析式为：，联立求得点，进而即可求解． 【详解】（1）解：与轴交于点． 将，代入得      又在抛物线上， ， 解得． 故抛物线的函数表达式    顶点的坐标为． （2）设直线与轴交于点，令，得，故点的坐标为 ， 为等腰直角三角形 过点作轴，交直线于点，则， 是等腰直角三角形      ∴，设点，则 ∴， 故当时，有最大值． ∴的最大值为 （3）解：如图所示，过点作，设交轴于点，    当时，， 则，此时最小， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴, 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为： 联立 解得：（舍去）或， 当时，， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，正弦的定义，勾股定理求两点距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2024年江苏省宿迁市中考数学模拟预测题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点． (1)填空： ，点的坐标是 ； (2)连接，点是线段上一动点（点不与端点重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为 ，，， 【分析】本题是函数与几何的综合，考查待定系数法求解函数的表达式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，第（2）题构造含的直角三角形是解题的关键，第（3）题分类要全，不能漏解，难度较大，一般是中考压轴题． （1）将点A的坐标代入抛物线的表达式中可求出a，令可求出点B的坐标； （2）通过配方法求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，设点，，利用等角的三角函数值相等求出，利用二次函数的性质可求出使的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，过F作的垂线段交y轴于点P，可得，连接交y轴与点J，利用的面积计算求出； （3）由（2）求出点Q的坐标，取的中点G，在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足，分四种情况进行求解． 【详解】（1）解：将点代入中得，， 解得，，即， 当时，， 解得，，， ∴点B的坐标是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴点，点， 设直线的表达式为，且经过点，点， ∴， 解得，， ∴， ∵点在直线的图象上，点在抛物线上， ∴设点，， ∵，轴， ∴，（对顶角相等）， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ∴当时，最大，此时，， 如图所示，在轴上取点，过作的垂线段交轴于点，连接，交轴于点， 在中，，则， ∵，即， ∴在中，， ， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴点，， ∴，即， ∴， ∴当的周长取得最大值时， 的最小值即为的值，即． （3）解：存在， 由 (2) 可知，，即点， 将点向下平移个单位得到点， ∴点 ， 在 中, 则， 取的中点G，则有， ∴在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足， 如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点作轴，垂足为I， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴，即点， 同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点， 当点G在y轴负半轴上时，点， 当点G在x轴负半轴上时，点， 综上，点的坐标为，，，．　 模型二：阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题 1.（2023·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，利用两点之间的距离公式，即可求出的最小值，即可得． 【详解】解：如图所示，取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，    ∵、，， ∴，， 以O为圆心，为半径作，在优弧上取一点Q，连接， ∵，， ∴， ∴A，P，B，Q四点共圆， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点G， ∵，， ∴ ∴点F的坐标为， ∵， ∴ ∵，即, ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点． 2.（2020·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    【答案】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4      ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴ ∵∠ECD=∠ACD ∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB ∴ 在Rt△ECB中，EB= ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为：． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD． 3．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 4．（2023·江苏无锡·二模）已知和为等腰直角三角形，，，，将两三角形如图1所示放置，其中、、在同一直线上，．现将绕点顺时针旋转，旋转角度为． (1)如图2，当线段过点时，若，，则的度数为______； (2)若点在边的延长线上，连接，请在图3中补全图形，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若点为的中点，旋转至如图4所示位置，连接、交于点，交于点，且，请直接写出的值． 【答案】(1)15° (2)作图见解析；，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点H，则，证明是等腰直角三角形，则，得，由得到，则，可得，即可得到的度数； （2）过F作于H，过E作于G，结合K字型全等，等腰直角三角形，四点共圆即可得到答案； （3）过点C作的平行线，点F作的平行线交于点G；过点G作于点H，过点K作，证明，设，则，，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：过点D作于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的度数为， 故答案为： （2）解：线段、、之间的数量关系：，证明如下：过F作于H，过E作于G，如图3： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F、D、A、E四点共圆， ∴， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴； （3）过点C作的平行线，点F作的平行线交于点G；过点G作于点H，过点K作于点I，如图4： ∵是等腰直角三角形，点为的中点， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，设，则，； ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，中间穿插了不同的模型，对模型的运用与转化能力要求很高，难度较大，属于压轴题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或相似三角形． 模型三：瓜豆原理模型 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 1.（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，    设Q(，)，则PM=，QM=， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM=∠PQ′N， 在△PQM和△Q′PN中， ， ∴△PQM≌△Q′PN(AAS)， ∴PN=QM=，Q′N=PM=， ∴ON=1+PN=， ∴Q′(，)， ∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5， 当m=2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 2．（2020·江苏淮安·一模）如图，正方形的边长为为上一点，且F为边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，过点G作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，连接BD．构造全等三角形△GPF≌△GQE（AAS），由该全等三角形的性质可以判定点G在BD所在的直线上运动；当CG⊥BD时，CG取最小值．根据正方形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点G作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，连接BD， 根据题意知，∠ABC=90°，∠PGQ=90°． ∴∠PGF+∠FGQ=∠QGE+∠FGQ=90°． ∴∠PGF=∠QGE． 又∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FGE=90°， ∴GF=GE． 在△GPF与△GQE中， ∴△GPF≌△GQE（AAS）． ∴GP=GQ，∠GBP=∠GBE=∠ABC． ∴点G在BD所在的直线上运动． ∵F为AB边上的一个动点，如图2， 当点F与点B重合时，点G的位置如图所示． 当点F与点A重合时，记点G的位置为G″． ∴点G的运为动轨迹为线段GG″． 过点C作CG′⊥BD于点G′． ∴CG最小值CG′=BD． ∵正方形ABCD的边长为2， ∴BD=2． ∴CG最小值为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了四边形的动点问题，掌握全等三角形的判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 3．（2021·江苏连云港·一模）如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等边△EFG，EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，从而得出矩形HEPQ，从而找到最短CG，再利用30°角所对直角边为斜边一半，从而得解． 【详解】∵△EFG为等边三角形， ∴EF＝EG， 把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ， ∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝，∠EHG＝∠EBF＝90°， 即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上， 易得四边形HEPQ为矩形， ∴PQ＝EH＝，∠HEP＝90°， ∵∠CEP＝90°﹣∠BEH＝30°， ∴CP＝CE＝， ∴CQ＝CP+PQ＝+＝． ∴CG的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，旋转图形的性质，全等三角形的性质，30°角所对直角边为斜边一半，牢固掌握几何相关知识点，灵活添加辅助线构造矩形是解题关键 4.（2022·江苏扬州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）． (1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长； (2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD； (3)在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝　 ． 【答案】(1)4； (2)tan∠A′AD＝3或； (3) 【分析】（1）由四边形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4得CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，当A′落在线段BC上时，由旋转得A′D＝AD＝4，则A′C，所以A′B＝4；（2）分两种情况，一是点B′与点C在直线BD的同侧，作A′E⊥AD于点E，则∠A′EA＝90°，先证明点B、A′、D在同一条直线上，求得BD5，由sin∠ADB，cos∠ADB，求出A′E的长和ED的长，再求出AE的长，再由tan∠A′AD求出此时tan∠A′AD的值；二是点B′与点C在直线BD的异侧，作A′E⊥AD交AD的延长线于点E，则∠E＝90°，先求出A′E的长和ED的长，再求出AE的长，再由tan∠A′AD求出此时tan∠A′AD的值； （3）在AD上截取DF，则，作DH⊥AA′于点H，在DH上截取DGDH，连接FG、CG，则，由A′D＝AD可知H为AA′的中点，DH为△DAA′的中线，点G为△DAA′的重心，再证明△DFG∽△DAH，则∠FGD＝∠AHD＝90°，取DF的中点O，连接OC交⊙O于点P，连接OG，则OG＝OP＝ODDF，可知点G在以点O为圆心、半径为的圆上运动，可由CG+OG≥OC推导出CG≥CP，则当CG＝CP时，CG的长最小，求出CP的长即可． 【详解】（1）解：（1）如图1，∵四边形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4， ∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°， 当A′落在线段BC上时，由旋转得A′D＝AD＝4， ∴A′C， ∴A′B＝BC﹣A′C＝4， ∴A′B的长为4． （2）（2）如图2，点B′与点C在直线BD的同侧，作A′E⊥AD于点E，则∠A′EA＝90°， 由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4， ∵∠BA′B'＝90°， ∴∠B′A′D+∠BA′B'＝180°， ∴点B、A′、D在同一条直线上， ∵∠A′ED＝∠BAD＝90°， ∴BD5， ∴sin∠ADB，cos∠ADB， ∴A′EA′D4，EDA′D4， ∴AE＝AD﹣ED＝4， ∴tan∠A′AD3； 如图3，点B′与点C在直线BD的异侧，作A′E⊥AD交AD的延长线于点E，则∠E＝90°， 由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4， ∵∠BA′B'＝90°， ∴∠B′A′D＝∠BA′B'， ∴A′D与A′B重合， ∴点B、A′、D在同一条直线上， ∵∠EDA′＝∠ADB， ∴sin∠EDA′＝sin∠ADB，cos∠EDA′＝cos∠ADB， ∴A′EA′D，EDA′D， ∴AE＝AD+ED＝4，   ∴tan∠A′AD， 综上所述，tan∠A′AD＝3或． （3）（3）如图4，在AD上截取DF，则， 作DH⊥AA′于点H，在DH上截取DGDH，连接FG、CG，则， ∵A′D＝AD， ∴H为AA′的中点， ∴DH为△DAA′的中线， ∴点G为△DAA′的重心， ∵，∠FDG＝∠ADH， ∴△DFG∽△DAH， ∴∠FGD＝∠AHD＝90°， 取DF的中点O，连接OC交⊙O于点P，连接OG，则OG＝OP＝ODDF， ∴点G在以点O为圆心、半径为的圆上运动， ∵CG+OG≥OC，即CG+OG≥CP+OP， ∴CGCP，∴CG≥CP， ∴当CG＝CP时，CG的长最小，   ∵OC， ∴CP＝OC﹣OP， ∴CG的最小值是， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形、“两点之间，线段最短”、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题． 5．（2021·江苏常州·一模）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标． (3)如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3． (2)P点的横坐标为或或． (3)△ABN的面积不变，为4． 【分析】（1）将A，B点坐标代入即可求出二次函数的表达式； （2）分类讨论：当P在x轴上方和在x轴下方，运用高相等的两个三角形的面积比等于底边比这一概念进行求解； （3）找出N点的运动轨迹为平行于x轴的一条直线即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过A（﹣1，0），（3，0）， ∴代入得， 解得， 所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）解：①如图所示，当P在x轴上方时， 过点P作PF⊥x轴于点F，过点E作QE⊥x轴于点E，过点B作BG⊥AP于点G， 可得△AQE∽△APF， ∴． ∵， ∴， ∴， 设点P（a，﹣a2+2a+3）， ∴OF＝a，PF＝﹣a2+2a+3， ∴AF＝a﹣（﹣1）＝a+1，， ∴， ∴， ∴Q点的坐标可表示为（，）． ∵B（3，0），C为二次函数与y轴交点， ∴C（0，3）， 可得BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵Q在BC上， ∴， 解得或； ②如图所示，当P在x轴下方时， 同理①可求出P点的横坐标为或， ∵， ∴当P点横坐标为时，P在抛物线的AC段， 不合题意，舍去， 综上所述，P点的横坐标为或或； （3）解：如图所示，以AB为底在x轴上方作等腰直角三角形ABK，连接NK，过点K作KH⊥x轴于点H， ∵△AMN和△ABK均为等腰直角三角形， ∴，∠NAM＝∠BAK， ∴∠NAM+∠MAK＝∠BAK+∠MAK， ∴∠NAK＝∠MAB， ∴△NAK∽△MAB， ∴∠NKA＝∠MBA， ∵C（0，3），B（3，0）， ∴OC＝OB， ∴∠MBA＝45°＝∠NAK＝∠KAB， ∴， ∵两条平行线之间的距离相等， ∴N在运动时，N到AB的距离保持不变，其距离都等于KH的长， ∵在等腰直角三角形KAB中，AB＝4， ∴， ∴． 综上所述，△ABN的面积不变，为4． 【点睛】本题是二次函数综合题，第一问考查了二次函数的解析式的求法，第二问是二次函数和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而表示出点的坐标，第三问则是利用了瓜豆原理的思想进行求解． 一、单选题 1．（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，求解，，证明，可得，证明，结合，从而可得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， ，， ， ， 或（舍去）， ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，垂线段最短的应用，锐角三角函数的应用，证明是解本题的关键． 2．（2021·江苏南通·二模）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于（ ） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】C 【分析】过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，由可求最小值为． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ， ． 故答案为3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短和锐角三角函数的性质，熟练应用相关性质是解题的关键． 二、填空题 3．（2022·江苏常州·一模）如图，中，，，，P为边上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得，即，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，再利用解直角三角形，即可求得． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵， ∴∠EDP=∠DAB=45°， ∴， ∴， ∴， ∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 4.（22-23九年级下·江苏徐州·阶段练习）在中，，，，以点为圆心，2为半径作圆，分别交，于、两点，点是圆上一个动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】在上取一点，使得，连接，构造，进而得出，根据两点之间线段最短得出的最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接 ∵， ∴，又 ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，阿氏圆问题，构造相似三角形是解题的关键． 5．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, 根据，∠AOP是公共角，可得△AOP∽△POC，得PC=3PA，当B,C,P三点共线时，3PA+PB的值最小为BC，利用勾股定理求出BC的长即可得答案． 【详解】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, ∵⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0）， ∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9, ∵，∠AOP是公共角， ∴△AOP∽△POC， ∴PC=3PA， ∴3PA+PB=PC+PB, ∴当B,C,P三点共线时，3PA+PB最小值为BC, ∴BC===， ∴3PA+PB的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C、P、B三点在同一条直线上时3PA+PB有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 6．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，点为内一动点，且满足，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】 本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质等知识，如图，在上取一点，使得，连接，．证明，推出，可得，推出，求出即可得到结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】 解：在上取一点，使得，连接，，如图所示：    ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 7．（22-23九年级上·江苏常州·期中）已知的半径长7 cm，P为线段的中点，若点P在上，则的长是 cm． 【答案】14 【分析】根据点和圆的位置关系求出，再根据中点定义解答即可． 【详解】因为点P在上，且半径是， 所以． 因为点P是的中点， 所以． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握d和r之间的数量关系是判断点和圆的位置关系的关键．即时，点在圆上，时，点在圆外，时，点在圆内．（d是点和圆心的距离，r是圆的半径） 8．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在x轴和函数的图像上，且．作，（点C在直线的上方），则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，如图，以为斜边向上作等腰直角，连接．求出，根据，可得结论． 【详解】解：如图，以为斜边向上作等腰直角，连接． ∵点B在直线上， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴点O在以D为圆心，为半径的上， ∴， ∵， ∴， 过点C作于点E，如图： 则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴当三点共线时，取得最大值， 最大值为． 故答案为：． 9．（21-22九年级上·江苏宿迁·期末）如图，线段，点C为平面上一动点，且，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 ． 【答案】 【分析】先证明△PAM≌△QAE(SAS)，再根据勾股定理得出BE的长，最后得出结论． 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD， ∴CD=AB=1， 取AD的中点M，连接PM，P为AC的中点，∴PM为△ACD的中位线， ∴PM=CD=，PM∥CD， 如图，过点A作AE⊥AB，且使AE=AM，连接PE，BE， ∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ， ∴∠QAC=90°，QA=AP，, ∵∠EAD=90°， ∴∠QAE=∠CAD， ∴△PAM≌△QAE(SAS)， ∴QE=PM=， ∵AB=2，AE=AD=， ∴BE=， ∴BQ≤BE+QE=+=， ∴BQ的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角的性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 10．（九年级下·江苏盐城·期中）如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为 ． 【答案】6 【分析】当点P与点A重合时，作MF⊥x轴，CH⊥x轴交AB于E，作BG⊥CH于G，连接ME，取MC的中点D以CD为半径作圆，连接DE、DA，先求出点E坐标为（-1,2），证明△AMF≌△CAH，得到点M（-7,2），当点P与点B重合时，点M与点E重合，即可得到答案. 【详解】如图，当点P与点A重合时，作MF⊥x轴，CH⊥x轴交AB于E，作BG⊥CH于G，连接ME，取MC的中点D以CD为半径作圆，连接DE、DA， ∵，， ∴M、A、E、C四点共圆， ∵，， ∴，∠ABO=45°， ∴∠ABG=45° ∵， ∴BG=CG=1， ∴EG=BG=1， ∴点E坐标为（-1,2） ∵， ∴∠MAF+CAH=90°， ∵∠MAF+∠AMF=90°， ∴∠AMF=∠CAH, ∵， ∴△AMF≌△CAH， ∴MF=AH=2，AM=CH=4， ∴点M的坐标为（-7,2）， 当点P与点B重合时，点M与点E重合，此时的坐标为（-1,2）， ∴当点从点运动到点时，则点运动的路径长为线段ME的长，ME=-1-（-7）=6， 故答案为：6. 【点睛】此题考查直角坐标系中点的坐标特点，利用点坐标表示线段长度，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，直角坐标系中动点问题. 11．（22-23九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知点是第一象限内的一个定点，点是以为圆心、1个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边在右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到点的运动轨迹也为圆，根据全等三角形的性质得到，即可求出路径长． 【详解】如图，连接、，将绕点逆时针旋转，得线段，连接、， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， 即为动点运动的路径， 当点在上运动一周时，点运动的路径长是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了动点路径长，关键在于确定从动点的运动轨迹，考查了旋转、全等知识，“瓜豆原理”． 三、解答题 12．（2021·江苏南通·二模）（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长； （2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当AP+PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） 【答案】（1）作图见解析，；（2）见解析； 【分析】（1）由∠BAC+∠BDC=180°，得到A、B、C、D四点共圆，作∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，点D即为所求；过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N．利用全等三角形的性质证明AM=AN=5，可求解； （2）如图3所示，取格点D、E、F，连接AE，DF，AE与DF交于K，连接BK交AC与P，点P即为所求； 【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求作． 如图2，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N， ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN，∠DAB=∠DAC=30°， 又∵AD=AD ∴Rt△ADM≌Rt△ADN（HL）， ∴AM=AN， ∵∠DAB=∠DAC， ∴ ， ∴DB=DC， 在Rt△DMB和Rt△DNC中， ， ∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）， ∴BM=CN， ∵AB+AC=AM+BM+AN-CN=2AN=10， ∴AN=5， ∴ ； （2）如图3所示，取格点D、E、F，连接AE，DF，AE与DF交于K，连接BK交AC与P，点P即为所求； 证明如下：如图4所示，取格点M、N，连接MC，NE，MC与NE交于J， ∴,,， ∴， ∴△ACJ是直角三角形，∠ACJ=90°， ∴， 如图5所示，取格点Q、R、T，连接QT，RN，二者交于L，连接BL，KL，AK、IJ， ∴,，即KL=AJ，, ∴四边形AKIJ是平行四边形， ∴， ∵， ∴△BKL是直角三角形，即BK⊥KL， ∴BK⊥AJ， 设BK与AJ交于点O，则∠AOP=90°， ∴， ∵要使即使最小，即最小， ∴当B、P、O三点共线时，，即最小， ∴点P即为所求； 【点睛】本题考查了三角形外接圆，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，解直角三角形，垂径定理等等，综合性非常强，难度很大，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13．（2023江苏省苏州市苏州中学月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务. 已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似. 【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值. 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在上取点，使得； 第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)： 解：在上取点，使得， 又. 任务： 将以上解答过程补充完整. 如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值. 【答案】（1）（2）. 【分析】         ⑴    将PC+kPD转化成PC+MP，当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可； ⑵    根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应O,D对应P，A对应C，B对应M，当D在AB上时为最小值，所以= = 【详解】解， ，当取最小值时，有最小值，即三点共线时有最小值，利用勾股定理得 的最小值为， 提示：，， 的最小值为. 【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键. 14.（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，若，函数的最小值为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果将该抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形．当函数的图象与图形的公共点的个数大于时，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当取最大值时，函数的图象与图形的对称轴交于点，若过作平行于轴的直线交图形于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，为线段上的一点，动点从点出发，沿运动到点停止，已知点在上运动的速度为单位长度每秒，在上运动的速度为单位长度每秒．求当点运动的时间最短时，对应的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）令，解方程求得，得出，进而根据二次函数的性质，得出求得的值，即可求解； （2）先得出过点，根据题意画出图象，观察函数图象可得当过点时，与抛物线有3个交点，当与抛物线只有一个交点时，与图形有3个交点，进而得出的范围； （3）根据题意得出的最大值为，则，解方程得出或，进而分类讨论，根据胡不归问题作出辅助线，进而即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵，当时，， ∴过点 如图所示， 当过点时，与抛物线有3个交点， 将代入， 即 解得：， 依题意，当时的抛物线解析式为， 当与抛物线只有一个交点时， ∴ 消去得， ∴ 解得：或（舍去） 结合函数图象可得：当函数的图象与图形的公共点的个数大于时， ； （3）∵ ∴的最大值为 ∴ ∵ ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，，则 当时，， 解得：， ∴或， 当时，如图所示，则， 令，代入，则 ∴，则， ∴， 如图所示，作关于的对称点，则，过点作于点， . ∴ ∴， 依题意，点在上运动的速度为单位长度每秒，在上运动的速度为单位长度每秒． ∵， 当在上时，取得最小值，即点运动的时间最短时， 此时如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示， 同理可得， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的性质，二次函数的几何变换，一次函数与二次函数交点问题，解直角三角形，胡不归问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图①，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点． (1)求证：是等边三角形； (2)能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)若的半径为2，则面积的最大值是______． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为，，． (3) 【分析】（1）连接，，证明，，从而可得结论； （2）如图，连接，，由为等边三角形，，结合，可得，如图，当重合时，，为等腰三角形，可得，如图，当时，连接，由，可得， （3）解：如图，连接，证明，可得，取的中点，连接，，，，，过作于，当过时，最大，可得最大，则最大，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：连接，， ∵劣弧的度数为， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴在上， ∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰三角形，此时， ∴， 如图，当重合时，，为等腰三角形， ∴同理可得：， ∴， 如图，当时，连接， ∴， 同理：在上， ∵， ∴， 综上：的度数为，，． （3）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴在上，， ∵，， ∴， ∴， 取的中点，连接，，，，， ∵由等边三角形可得， ∴， ∴在以为圆心，为半径的上， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴在上， 过作于，当过时，最大， ∴最大，则最大， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大面积为． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，弦，弧，圆心角的关系的应用，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$