精品解析：山东省烟台市莱州市 2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年度第一学期期末学业水平检测九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2.答题前，请将自己的班级，姓名，座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A，B，C，D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A. 漏斗 B. 烧瓶 C. 试管 D. 锥形瓶 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图．解题的关键是掌握从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图是解题的关键．据此进行判断即可． 【详解】解：A．该化学仪器的主视图与左视图不相同，故此选项符合题意； B．该化学仪器的主视图与左视图相同，故此选项不符合题意； C．该化学仪器的主视图与左视图相同，故此选项不符合题意； D．该化学仪器的主视图与左视图相同，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解答本题的关键． 设的中点为，连接，根据圆周角定理可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：设的中点为，连接， ， ， ， ， 故选：D． 3. 年我国粮食产量首次突破万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米． 用计算器求输送带部分与地面的夹角，要求结果以“度，分，秒”为单位，按键顺序为； 一袋粮食从底部输送到顶部，升高了米； 坡角为； ； 以上说法正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用计算器由三角函数值求锐角度数，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据科学计算器按键顺序和解直角三角形的应用等知识点逐项判断解答即可． 【详解】解：按键顺序不对，最后两个步骤“”和“”应该互换位置，故错误； ， ， ， 在中，， 米，故正确； 坡角为，故错误； ， ， ，故正确； 故选：B． 4. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则不符合这一结果的试验最有可能是（ ） 次数 200 400 600 800 1000 频率 0.21 0.29 0.30 0.32 0.33 A. 三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5 B. 掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数 C. 在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀 D. 掷一枚一元的硬币，正面朝上 【答案】D 【解析】 【分析】求出各选项中事件的概率再进行判断即可． 【详解】解：A．三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5，此事件的概率为，故选项属于符合这一结果的试验，不符合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数，此事件概率为，故选项属于接近这一结果的试验，不符合题意； C．在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀，此事件概率为，故选项属于符合这一结果的试验，不符合题意； D．掷一枚一元的硬币，正面朝上，此事件的概率为，故选项属于不符合这一结果的试验，符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查了概率，熟练掌握用频率估计概率知识是解题的关键． 5. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据图像求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵两个交点坐标分别为，， ∴方程的解为，． 故选D． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型． 6. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作、的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接，，根据正六边形的性质及等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定即可得出结果． 【详解】解：如图所示，作、的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接，， ∵正六边形的边长是4， ∴，为等边三角形， ∴， ∴ ∴点M的坐标为： 故选：A． 【点睛】题目主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图形，理解题意，作出图形辅助线是解题关键． 7. 如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（ ） A. 先变长后变短 B. 先变短后变长 C. 不变 D. 先变短后变长再变短 【答案】C 【解析】 【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得.又AB∥CD，得出，设=a,DF=b（a,b为常数），可得出，从而可以得出，结合可将DH用含a,b的式子表示出来，最后得出结果. 【详解】解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG, ∴四边形CDFE为矩形. ∴DF∥GH, ∴ 又AB∥CD，∴. 设=a，DF=b, ∴, ∴ ∴ ∴GH=， ∵a,b的长是定值不变， ∴当人从点走向点时两段影子之和不变． 故选：C. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 8. 如图，将长，宽分别为，的长方形纸片分别沿，折叠，点，恰好重合于点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质、解直角三角形，过点作，过点作，根据折叠的性质求出，，分别解直角三角形求出和的长度，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵长方形纸片分别沿，折叠，点，恰好重合于点， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，正方形的边长为，点和点分别沿着路线和同时运动，点和点的运动速度分别为、，当点运动到点时，两点同时停止运动，连接，，设的面积为，运动时间为，和之间的函数关系图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图象．根据题意确定函数关系是解题的关键． 由题意知，当时，；当时，，然后根据一次函数和二次函数的图象求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当时，点在上，如图1， ∴； 当时，点在上，如图2， ∵， ∴， ， ∴函数图象如下； ． 故选：A． 10. 如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理得到，可得点在以为直径的上，结合的半径为2，易得的半径为1，当点、、三点共线时，最长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵是的直径，为的中点， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵的半径为2， ∴的半径为1， 当点、、三点共线时，最长， 连接并延长，交于点， 故当点与点重合时，最长， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握垂径定理和圆的性质是解题的关键． 二、填空题（本题共6个小题） 11. 二次函数与轴的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与y轴交点坐标的求法，令代入，求即可． 【详解】解：令代入，得 ， ∴二次函数与轴的交点坐标是， 故答案为： 12. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意画出一个含和的三角形，再根据三角形内角和定理可推出其为直角三角形，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】如图，， ∴， ∴，，即，， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，正切的定义．画出含和的三角形，即证明其为直角三角形是解题关键． 13. 已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为______． 【答案】3或2 【解析】 【分析】本题应分两种情况进行讨论，当P在圆内，直径长度为，半径为3；当P在圆外，直径长度为，半径为2． 【详解】解：∵当P在圆内，直径长度为，半径为3， 当P在圆外，直径长度为，半径为2， ∴的半径为3或2． 故答案为：3或2． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论． 14. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为______米． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可． 【详解】解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图， ∵， ∴米， 根据题意得：米， 设圆的半径为r米， ∵， ∴（米）， ∵圆心到水面的距离为4米， ∴（米）， ∴该圆在水面下的最深处到水面的距离为为1米， 故答案为：1． 15. 已知B港口位于A观测点北偏东方向，且其到A观测点正北风向的距离的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东方向，则此时货轮与A观测点之间的距离的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，和勾股定理求出的长，再根据求出的长，即可得到以及的长，进而得到答案． 【详解】解：， ， 过点作．交的延长线于， 在中，， ， ， ， ， 即， ， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得到边长是解题的关键． 16. 如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有______．（填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等；①先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，即可判断①；根据对称性得出，即可判断②，根据二次函数的性质得出最大值为，即可判断③；取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，即可判断④． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， ∴，故①正确； ∵且， 设，则关于对称， ∴，故②错误， ∵时，函数有最大值为， 若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则纵坐标为， ∴ 即，故③正确 取，连接，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为．故④正确 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. ． 【答案】 【解析】 【详解】 . 18. 已知直三棱柱的三视图如图所示．若，，，，求该直三棱柱的侧面积． 【答案】该直三棱柱的侧面积为 【解析】 【分析】本题考查了直三棱柱的三视图、性质、侧面积，解直角三角形等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于点，由题意得，在中，，所以在中，，设，，则，求出以及、的长，然后求出直三棱柱的侧面积即可． 【详解】解：过点作于点， ， ， ，在中，， 在中，， 设，， 则， ， ， ，， 该直三棱柱的侧面积为． 19. 去年7月28日至8月8日在成都举行的世界大学生夏季运动会再次引发了成都市的校园运动热潮．我校在准备体育运动节期间在全校范围内邀请学生参加以下四项活动：A（足球），B（篮球），C（羽毛球），D（乒乓球）．为了解学生对这四项活动的参与意愿，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求参与调查的学生中，愿意参加篮球活动的学生人数，并补全条形统计图； （2）若该校共有1000名学生，请你估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数； （3）若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，进行四项活动体验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）人，补全条形统计图见解析； （2）估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数为人； （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及列表法或树状图法，用样本的百分比估计总体中的数量，解题的关键是理解条形图与扇形图中数据间的关系，画树状图． （1）先用愿意参加足球球活动的学生人数除以对应的百分比求出参与调查的学生，用总数减去已知项目的人数即可得到愿意参加篮球活动的学生人数，据此补全条形统计图即可； （2）根据样本估计总体，用该校学生总数乘以愿意参加羽手球活动的学生人数的百分比，即可估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出1名男生和1名女生的情况数，根据概率公式即可得出所求概率． 【小问1详解】 解：参与调查的学生总数为（人）， ∴愿意参加篮球活动的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 （人）， 答：估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数为人； 【小问3详解】 画树状图如下： 可知所有等可能的情况12种，其中抽取的两名学生为1名男生和1名女生共有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 答：恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 20. 有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． （1）求被剪掉的阴影部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ （3）求圆锥的全面积． 【答案】（1）被剪掉的阴影部分的面积 （2）圆锥的底面圆的半径是 （3）圆锥的全面积是 【解析】 【分析】本题需灵活掌握扇形的面积公式，结合勾股定理即可解决问题． （1）因为扇形的圆心角是，所以为的直径，是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出即扇形的半径，然后利用扇形面积=，再求出圆的面积即可求出答案； （2）利用扇形的底面圆的周长=展开图的弧长即可求解； （3）利用（2）的所求，圆锥的全面积=展开图中扇形的面积+底面圆的面积． 【小问1详解】 解：连接， ， 为的直径． 在中，，且， ， ， ； 答：被剪掉的阴影部分的面积； 【小问2详解】 解：设圆锥底面半径为，则长为， ， ； 答：圆锥的底面圆的半径是； 【小问3详解】 解：． 答：圆锥的全面积是． 21. 某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量x成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位都是万元）． （1）直接写出利润与关于投资量x的函数关系式； （2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）他至少获得万元利润，他能获取的最大利润是万元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出正比例函数和二次函数解析式即可； （2）设种植花卉万元（），则投入种植树木万元，利润为万元，根据题意列出函数关系式，求出函数最大值和最小值即可． 【小问1详解】 解：设，由图1所示，函数的图像过， ∴， ∴，且， 故利润关于投资量的函数关系式是； 由图2所示，抛物线的顶点是原点， ∴设， ∵函数的图像过， ∴， ∴，且， 故利润关于投资量的函数关系式是． 【小问2详解】 解：设种植花卉万元（），则投入种植树木万元，利润为万元，根据题意得： ， ∵二次函数图像开口向上，且， ∴当时，的最小值是； ∴当时，随的增大而增大； ∴当时，的最大值是； ∴他至少获得万元利润，他能获取的最大利润是万元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求正比例函数解析式和二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． 22. 如图，在中，，在上取一点，以为圆心，为半径作，与边相交于点，与边相交于点，作线段的垂直平分线交、于点、，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，为，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质以及勾股定理列方程求解即可解答． 小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，设， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查切线的判定，线段垂直平分线的定理，勾股定理，等边对等角等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 23. 太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图， 依题意得：，，， 又 和均为等腰直角三角形， ，， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 在中，， 即：， ， 解得：， 检验：是原方程的根． ， 在等腰中，由勾股定理得：， 点为的中点， ， 答：太阳能电池板宽的长度约为． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且，连接，点D是线段上一点（不与点O、B重合），过点D作x轴的垂线，交于点M，交抛物线于点N． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段最大时，求点M的坐标； （3）连接，以B、D、N为顶点的三角形是否能够与相似？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）能，． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，分别代入即可求得答案； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，且，则，可得，再运用二次函数性质即可得出答案； （3）以B、D、N为顶点的三角形当时与相似，此时点N的坐标为．设，且，则，分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，点A与点B关于直线对称， ∴， 把，，分别代入，得： ， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 把，分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，且， 则，， ∴， ， ∴当时，最大，最大值为2，此时点M的坐标为； 【小问3详解】 以B、D、N为顶点的三角形能与相似．理由如下： 设，且，则， 又∵，， ∴，，，， 当时，∵， ，即 解得：或或， ∵， ∴或均不符合题意 所以当时，成立，此时； 当时，∵， ，即 解得：或或， ∵， ∴或或均不符合题意，即不成立； 综上所述，以B、D、N为顶点的三角形能与相似，此时点N的坐标是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末学业水平检测九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2.答题前，请将自己的班级，姓名，座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A，B，C，D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A. 漏斗 B. 烧瓶 C. 试管 D. 锥形瓶 2. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 年我国粮食产量首次突破万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米． 用计算器求输送带部分与地面夹角，要求结果以“度，分，秒”为单位，按键顺序为； 一袋粮食从底部输送到顶部，升高了米； 坡角为； ； 以上说法正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则不符合这一结果的试验最有可能是（ ） 次数 200 400 600 800 1000 频率 0.21 0.29 0.30 0.32 0.33 A. 三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5 B. 掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数 C. 在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀 D. 掷一枚一元的硬币，正面朝上 5. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 6. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ） A B. C. D. 7. 如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（ ） A. 先变长后变短 B. 先变短后变长 C. 不变 D. 先变短后变长再变短 8. 如图，将长，宽分别为，的长方形纸片分别沿，折叠，点，恰好重合于点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为，点和点分别沿着路线和同时运动，点和点的运动速度分别为、，当点运动到点时，两点同时停止运动，连接，，设的面积为，运动时间为，和之间的函数关系图象大致为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（本题共6个小题） 11. 二次函数与轴的交点坐标是______． 12. 计算：_____． 13. 已知点P为平面内一点，若点P到上点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为______． 14. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为______米． 15. 已知B港口位于A观测点北偏东方向，且其到A观测点正北风向的距离的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东方向，则此时货轮与A观测点之间的距离的长为_________． 16. 如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有______．（填写正确结论的序号） 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. ． 18. 已知直三棱柱三视图如图所示．若，，，，求该直三棱柱的侧面积． 19. 去年7月28日至8月8日在成都举行的世界大学生夏季运动会再次引发了成都市的校园运动热潮．我校在准备体育运动节期间在全校范围内邀请学生参加以下四项活动：A（足球），B（篮球），C（羽毛球），D（乒乓球）．为了解学生对这四项活动的参与意愿，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求参与调查的学生中，愿意参加篮球活动的学生人数，并补全条形统计图； （2）若该校共有1000名学生，请你估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数； （3）若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，进行四项活动体验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． （1）求被剪掉的阴影部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ （3）求圆锥的全面积． 21. 某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量x成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位都是万元）． （1）直接写出利润与关于投资量x的函数关系式； （2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 22. 如图，在中，，在上取一点，以为圆心，为半径作，与边相交于点，与边相交于点，作线段的垂直平分线交、于点、，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，为，求线段的长． 23. 太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且，连接，点D是线段上一点（不与点O、B重合），过点D作x轴的垂线，交于点M，交抛物线于点N． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段最大时，求点M的坐标； （3）连接，以B、D、N为顶点的三角形是否能够与相似？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $