第10讲 一次函数的图象与性质（讲义）-备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第10讲 一次函数的图象与性质 ( 课标要求 ) 1.了解一次函数和正比例函数的概念，会根据已知条件或运用待定系数法求一次函数的表达式； 2.会一次函数的图象并能根据图象解决相关的问题； 3.掌握一次函数的性质并能灵活运用其性质解决相关的问题. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1求一次函数解析式 ☆☆ 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质等，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 考点2 一次函数的图象 ☆☆ 考点3一次函数的性质 ☆☆☆ 考点4 一次函数的图象变换 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．有关概念： 一般地，函数 (k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为 (k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做 ．一次函数的表达式通常用待定系数法来求． 2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象为过 两点的一条直线． k>0 k<0 直线经过第一、三象限 直线经过第二、四象限 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象为过 两点的一条直线． b>0 b<0 增减性 k>0 y随x的增大而增大 k<0 y随x的增大而减小 4. k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 5．正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象平移得到：当 时，向上平移|b|个单位；当 时，向下平移|b|个单位．当把直线y＝kx向左平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x＋a)；当把直线向右平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x－a)． 6．一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ，这条直线与两坐标轴围成的三角形面积S△＝|b|·＝. ( 深度讲练 ) ■考点一 待定系数法求一次函数解析式► ◇典例1：（2024•浙江模拟）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣3上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式． （2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t+1，y2）在直线y＝2x﹣3上，判断2y1+y2的值是否随t的变化而变化，若不变，求出这个值；若变化，求出它的取值范围． 【变式训练】 1．（2024•山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y（cm）是尾长x（cm）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长（cm） 6 8 10 体长y（cm） 45.5 60.5 75.5 A．y＝7.5x+0.5 B．y＝7.5x﹣0.5 C．y＝15x D．y＝15x+45.5 2．（2024•兰州模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和D（1，2），与过点B（0，4）且平行于x轴的直线交于点C． （1）求该一次函数的表达式及点C的坐标； （2）求△ABC的面积． ■考点二 一次函数的图象► ◇典例2：（2024•下城区校级三模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（　　） A．k1+k2＜0 B．k1k2＞0 C．b1+b2＜0 D．b1b2＞0 【变式训练】 1．（2024•兰州）一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024•周至县三模）若m为常数且m＜5，则一次函数y＝（m﹣6）x+7﹣m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•湘阴县二模）如图，平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论错误的是（　　） A．k1•k2＞0 B．k1+k2＞0 C．b1﹣b2＞0 D．b1•b2＜0 ■考点三 一次函数的性质► ◇典例3：（2024•长沙）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而减小 C．当时，y＜0 D．它的图象经过第一、二、三象限 【变式训练】 1．（2024•陕西）若点A（﹣2，y1）和点B（2，y2）在同一个正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，则（　　） A．y1＝﹣y2 B．y1＝y2 C．y2＞0 D．y2＞y1 2．（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数y＝x﹣1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2 C． D．﹣1 3．（2024•鹿城区一模）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，3），（3，m），则下列结论正确的是（　　） A．若k＞0，则m＞0 B．若k＞0，则m＜0 C．若k＜0，则m＞0 D．若k＜0，则m＜0 ■考点四　一次函数的图象变换► ◇典例4：（2024•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标； （2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围． 【变式训练】 1．（2024•雁塔区三模）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣2的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1 2．（2024•蜀山区二模）若将直线y＝﹣x向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（　　） A．与y轴交于点（0，3） B．不经过第一象限 C．y随x的增大而增大 D．与x轴交于点（6，0） ( 真题演练 ) 1．（2024•遵义一模）下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A． B．y＝2x2+3x﹣1 C．y＝x﹣1 D．y＝x2﹣1 2．（2024•青海）如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（　　） A．（﹣，0） B．（，0） C．（0，3） D．（0，﹣3） 3．（2024•通辽）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数）的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是（　　） A．b1+b2＞0 B．b1b2＞0 C．k1+k2＜0 D．k1k2＜0 4．（2024•临夏州）一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024•桐乡市一模）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（　　） A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（a，﹣b） D．（﹣a，﹣b） 6．（2024•新疆）若一次函数y＝kx+3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 7．（2024•南充）当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为（　　） A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或1 8．（2024•海珠区一模）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（　　） A．图象过点（1，1） B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 9．（2024•拱墅区一模）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下： ①图象过点（1，﹣4） ②图象与y轴的交点在x轴下方 ③y随x的增大而减小 符合该图象特点的函数关系式为（　　） A．y＝﹣4x+2 B．y＝﹣3x﹣1 C．y＝3x+1 D．y＝﹣5x﹣1 10．（2024•大庆）写出一个过点（1，1）且y的值随着x值增大而减小的函数表达式 　 　． 11．（2024•镇江）点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，则y1　 　y2（用“＜”、“＝”或“＞”填空）． 12．（2024•西藏）将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 　 　． 13．（2024•宁夏）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 　 　（写出一个即可）． 14．（2024•临安区一模）在平面直角坐标系中，O是原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则sin∠BAO的值为 　　． 15．（2024•广安）已知，直线l：y＝x﹣与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2024的横坐标为 　 ． 16．（2024•鄞州区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m）在直线y＝﹣2x﹣1上，过点A的直线交y轴于点B（0，5）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式． （2）若点P（t，y1）在直线AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝﹣2x﹣1上，当t取任意实数时，代数式y1+ky2的值为定值，求k的值，并求出这个定值． 17．（2024•拱墅区校级模拟）设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）． （1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： （2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值； 18．（2024•浙江模拟）已知点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上． （1）用含有m1，n1，m2，n2的代数式表示k的值． （2）若m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，b＞2．试比较n1和n2的大小，并说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第10讲 一次函数的图象与性质 ( 课标要求 ) 1.了解一次函数和正比例函数的概念，会根据已知条件或运用待定系数法求一次函数的表达式； 2.会一次函数的图象并能根据图象解决相关的问题； 3.掌握一次函数的性质并能灵活运用其性质解决相关的问题. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1求一次函数解析式 ☆☆ 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质等，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 考点2 一次函数的图象 ☆☆ 考点3一次函数的性质 ☆☆☆ 考点4 一次函数的图象变换 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．有关概念： 一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．一次函数的表达式通常用待定系数法来求． 2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象为过(0，0)，(1，k)两点的一条直线． k>0 k<0 直线经过第一、三象限 直线经过第二、四象限 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象为过(0，b)，两点的一条直线． b>0 b<0 增减性 k>0 y随x的增大而增大 k<0 y随x的增大而减小 4. k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 5．正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象平移得到：当b>0时，向上平移|b|个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位．当把直线y＝kx向左平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x＋a)；当把直线向右平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x－a)． 6．一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为(0，b)，这条直线与两坐标轴围成的三角形面积S△＝|b|·＝. ( 深度讲练 ) ■考点一 待定系数法求一次函数解析式► ◇典例1：（2024•浙江模拟）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣3上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式． （2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t+1，y2）在直线y＝2x﹣3上，判断2y1+y2的值是否随t的变化而变化，若不变，求出这个值；若变化，求出它的取值范围． 【思路点拨】（1）把A（2，m）代入y＝2x﹣3得：m＝2×2﹣3＝1，设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（2，1），B（0，3）代入得，解出k，b的值可得直线AB解析式为y＝﹣x+3； （2）求出y1＝﹣t+3，y2＝2（t+1）﹣3，可得2y1+y2＝2（﹣t+3）+2（t+1）﹣3＝5，故2y1+y2的值不随t的变化而变化，2y1+y2的值为5． 【解析】解：（1）把A（2，m）代入y＝2x﹣3得：m＝2×2﹣3＝1， ∴m的值为1，A（2，1）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（2，1），B（0，3）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+3； （2）2y1+y2的值不随t的变化而变化，理由如下： ∵点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t+1，y2）在直线y＝2x﹣3上， ∴y1＝﹣t+3，y2＝2（t+1）﹣3， ∴2y1+y2＝2（﹣t+3）+2（t+1）﹣3＝5， ∴2y1+y2的值不随t的变化而变化，2y1+y2的值为5． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法和一次函数图象上点坐标的特征． 【变式训练】 1．（2024•山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y（cm）是尾长x（cm）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长（cm） 6 8 10 体长y（cm） 45.5 60.5 75.5 A．y＝7.5x+0.5 B．y＝7.5x﹣0.5 C．y＝15x D．y＝15x+45.5 【思路点拨】根据题意可设y＝kx+b，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【解析】解：蛇的长度y（cm）是其尾长x（cm）的一次函数， 设y＝kx+b， 把x＝6时，y＝45.5；x＝8时，y＝60.5代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为y＝7.5x+0.5． 故选：A． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．（2024•兰州模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和D（1，2），与过点B（0，4）且平行于x轴的直线交于点C． （1）求该一次函数的表达式及点C的坐标； （2）求△ABC的面积． 【思路点拨】（1）待定系数法求出一次函数解析式，令y＝4，求出x值，即可得到点C坐标； （2）画出图象，根据三角形的面积公式即可求得答案． 【解析】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和D（1，2）， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x+1， 当y＝4时，x＝3， ∴C（3，4）； （2）△ABC的面积＝BC•AB＝×3×（4﹣1）＝． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答本题的关键． ■考点二 一次函数的图象► ◇典例2：（2024•下城区校级三模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（　　） A．k1+k2＜0 B．k1k2＞0 C．b1+b2＜0 D．b1b2＞0 【思路点拨】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判断即可解答． 【解析】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过第一、二、三象限， ∴k1＞0，b1＞0， ∵一次函数y＝k2x+b2的图象过第一、三、四象限， ∴k2＞0，b2＜0，且|b1|＞|b2|， ∵A、k1+k2＜0， 故A不符合题意； B、k1k2＞0， 故B符合题意； C、b1+b2＞0， 故C不符合题意； D、b1•b2＜0， 故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•兰州）一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】根据一次函数y＝ax+b（a≠0）的a、b的符号判定该一次函数所经过的象限即可． 【解析】解：∵一次函数y＝2x﹣3的k＝2＞0，b＝﹣3＜0， ∴一次函数y＝2x﹣3图象经过第一、三、四象限， 即一次函数y＝2x﹣3图象不经过第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，即直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 2．（2024•周至县三模）若m为常数且m＜5，则一次函数y＝（m﹣6）x+7﹣m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据一次函数图象的性质进行分析即可得到答案． 【解析】解：∵m＜5， ∴m﹣6＜0，7﹣m＞0， ∴一次函数y＝（m﹣6）x+7﹣m的图象在第一、二，四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的相关性质是解题的关键． 3．（2024•湘阴县二模）如图，平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论错误的是（　　） A．k1•k2＞0 B．k1+k2＞0 C．b1﹣b2＞0 D．b1•b2＜0 【思路点拨】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＜0，b1＞0，k2＜0，b2＜0，然后逐一判断即可解答． 【解析】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过一、二、四象限， ∴k1＜0，b1＞0， ∵一次函数y＝k2x+b2的图象过二、三、四象限， ∴k2＜0，b2＜0， ∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意； B、k1+k2＜0，故B符合题意； C、b1﹣b2＞0，故C不符合题意； D、b1•b2＜0，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，属于中考常考题型． ■考点三 一次函数的性质► ◇典例3：（2024•长沙）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而减小 C．当时，y＜0 D．它的图象经过第一、二、三象限 【思路点拨】根据一次函数的性质即可作答． 【解析】解：A．当x＝0时，y＝﹣1，则它的图象与y轴交于点（0，﹣1），故本选项符合题意； B．y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； C．当时，y＞0，故本选项不符合题意； D．它的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•陕西）若点A（﹣2，y1）和点B（2，y2）在同一个正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，则（　　） A．y1＝﹣y2 B．y1＝y2 C．y2＞0 D．y2＞y1 【思路点拨】根据题意得，y1＝﹣2k＞0，y2＝2k＜0，y1＝﹣y2，然后判断四个选项是否正确． 【解析】解：根据题意得，y1＝﹣2k＞0，y2＝2k＜0，故选项C错误； y1＞y2，故选项D错误； y1＝﹣y2，故选项B错误，选项A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键在于熟练掌握相关知识点． 2．（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数y＝x﹣1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2 C． D．﹣1 【思路点拨】根据函数解析式得到函数y＝x﹣1的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当a≤x≤a+3时，则当x＝a时取得最小值2a+4，列方程并解方程即可． 【解析】解：∵k＝1＞0 ∴函数y＝x﹣1的函数值随着x的增大而增大， 当a≤x≤a+3时，则当x＝a时取得最小值2a+4， 即a﹣1＝2a+4， 解得a＝﹣5， 故选：A． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握函数的增减性是解答本题的关键． 3．（2024•鹿城区一模）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，3），（3，m），则下列结论正确的是（　　） A．若k＞0，则m＞0 B．若k＞0，则m＜0 C．若k＜0，则m＞0 D．若k＜0，则m＜0 【思路点拨】根据一次函数的性质，可得答案． 【解析】解：当k＞0时，y随x的增大而增大， .∴m＞3＞0， 当k＜0时，y随x的增大而减小， ∴m＜3，无法确定与0的大小关系． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，利用一次函数的性质是解题关键． ■考点四　一次函数的图象变换► ◇典例4：（2024•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标； （2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围． 【思路点拨】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），可得，即可解得一次函数的解析式为y＝x+1；从而求出B的坐标为（﹣3，0）； （2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，根据当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值，可得﹣3+m≥0，可解得答案． 【解析】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2）， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝x+1； 在y＝x+1中，令y＝0得0＝x+1， 解得x＝﹣3， ∴B的坐标为（﹣3，0）； （2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0， ∵当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值， ∴﹣3+m≥0， 解得m≥3， ∴m的取值范围是m≥3． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出函数解析式和列出不等式﹣3+m≥0解决问题． 【变式训练】 1．（2024•雁塔区三模）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣2的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1 【思路点拨】根据平移的规律得到平移后直线的解析式为y＝2（x+3）+m﹣2，然后把原点的坐标代入求值即可． 【解析】解：将一次函数y＝2x+m﹣2的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣2， 把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣2， 解得m＝﹣4． 故选：A． 【点睛】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 2．（2024•蜀山区二模）若将直线y＝﹣x向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（　　） A．与y轴交于点（0，3） B．不经过第一象限 C．y随x的增大而增大 D．与x轴交于点（6，0） 【思路点拨】求出将直线y＝﹣x向下平移3个单位，所得直线解析式y＝﹣x﹣3，再根据一次函数性质逐项判断即可． 【解析】解：将直线y＝﹣x向下平移3个单位，所得直线解析式为y＝﹣x﹣3； 在y＝﹣x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3， ∴平移后的直线与y轴交于点（0，﹣3），故A错误，不符合题意； 直线y＝﹣x﹣3经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故B正确，符合题意； ∵﹣＜0， ∴函数y＝﹣x﹣3中，y随x的增大而减小，故C错误，不符合题意； 在y＝﹣x﹣3中，令y＝0得x＝﹣6， ∴直线y＝﹣x﹣3与x轴交于点（﹣6，0），故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换，解题的关键是掌握一次函数的图象及性质． ( 真题演练 ) 1．（2024•遵义一模）下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A． B．y＝2x2+3x﹣1 C．y＝x﹣1 D．y＝x2﹣1 【思路点拨】根据一次函数的定义：y＝kx+b（k≠0），进行判断即可． 【解析】解：A．y＝是反比例函数，不符合题意； B．y＝2x2+3x﹣1是二次函数，不符合题意； C．y＝x﹣1是一次函数，符合题意； D．y＝x2﹣1是二次函数，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 2．（2024•青海）如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（　　） A．（﹣，0） B．（，0） C．（0，3） D．（0，﹣3） 【思路点拨】利用待定系数法求出点A的坐标，再根据轴对称变换的性质解决问题． 【解析】解：对于一次函数y＝2x﹣3，令y＝0，可得x＝， ∴A（，0）， ∴点A关于y轴的对称点的坐标为（﹣，0）． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象，一次函数的图象，关于x轴、y轴对称的点的坐标等知识，解题的关键是理解题意掌握轴对称变换的性质． 3．（2024•通辽）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数）的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是（　　） A．b1+b2＞0 B．b1b2＞0 C．k1+k2＜0 D．k1k2＜0 【思路点拨】根据函数图象，可以得到b1＝2，b2＝﹣1，k1＞0，k2＞0，然后即可判断各个选项中的说法是否正确． 【解析】解：由图象可得， b1＝2，b2＝﹣1，k1＞0，k2＞0， ∴b1+b2＞0，故选项A正确，符合题意； b1b2＜0，故选项B错误，不符合题意； k1+k2＞0，故选项C错误，不符合题意； k1k2＞0，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2024•临夏州）一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】根据一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，可以得到k的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【解析】解：∵一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0，b＝﹣1＜0， ∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 5．（2024•桐乡市一模）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（　　） A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（a，﹣b） D．（﹣a，﹣b） 【思路点拨】根据一次函数的图象与系数的关系，由已知函数图象判断a、b的符号，然后根据第二象限坐标特点即可得出答案． 【解析】解：∵函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限， ∴a＞0，b＜0， ∴点A的坐标可能是（﹣a，﹣b）． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键． 6．（2024•新疆）若一次函数y＝kx+3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【思路点拨】根据一次函数的性质，可得答案． 【解析】解：由题意，得k＞0， 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，y＝kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大． 7．（2024•南充）当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为（　　） A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或1 【思路点拨】分两种情况，利用一次函数的性质得到关于m的方程，解方程即可． 【解析】解：当m+1＞0，即m＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6， ∴5（m+1）+m2+1＝6， 解得m1＝0，m2＝﹣5（舍去）， 当m+1＜0，即m＜﹣1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6， ∴2（m+1）+m2+1＝6， 解得m1＝﹣3，m2＝1（舍去）， 综上，当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为0或﹣3， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 8．（2024•海珠区一模）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（　　） A．图象过点（1，1） B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【思路点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【解析】解：A、当x＝1时，y＝﹣3×1+2＝﹣1， ∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过点（1，﹣1），选项A错误，不符合题意； B、由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到y＝3x﹣2，故选项B错误，不合题意 C、∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小，选项C错误，不符合题意； D、∵k＝﹣3＜0，b＝2＞0， ∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 9．（2024•拱墅区一模）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下： ①图象过点（1，﹣4） ②图象与y轴的交点在x轴下方 ③y随x的增大而减小 符合该图象特点的函数关系式为（　　） A．y＝﹣4x+2 B．y＝﹣3x﹣1 C．y＝3x+1 D．y＝﹣5x﹣1 【思路点拨】根据一次函数图象与性质分别判断选项的正误即可． 【解析】解：A、不符合条件②图象与y轴的交点在x轴下方，不符合题意； B、符合①②③，符合题意； C、不符合条件①②③，不符合题意； D、不规范条件①，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键． 10．（2024•大庆）写出一个过点（1，1）且y的值随着x值增大而减小的函数表达式 　y＝﹣x+2（答案不唯一）　． 【思路点拨】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）中k＜0时，y的值随着x值增大而减小，写出符合要求的k值，再确定b值即可． 【解析】解：由题知， 令这个函数的表达式为y＝﹣x+b， 将点（1，1）代入函数表达式得， b＝2， 所以函数表达式为y＝﹣x+2． 故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 11．（2024•镇江）点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，则y1　＜　y2（用“＜”、“＝”或“＞”填空）． 【思路点拨】由k＝3＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合1＜2，即可得出y1＜y2． 【解析】解：∵k＝3＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，且1＜2， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 12．（2024•西藏）将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 　y＝2x+3　． 【思路点拨】根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可． 【解析】解：根据题意得：将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为y＝2x+3． 故答案为：y＝2x+3． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 13．（2024•宁夏）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 　y＝x+1（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【思路点拨】利用等腰三角形的判定，设直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，1），然后利用待定系数法求出此时直线解析式． 【解析】解：∵直线y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形， ∴可设直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，1）， 把（﹣1，0），（1，0）分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴此时直线解析式为y＝x+1． 故答案为：y＝x+1．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定． 14．（2024•临安区一模）在平面直角坐标系中，O是原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则sin∠BAO的值为 　　． 【思路点拨】根据题意，画出示意图，在Rt△BAO中，求出∠BAO的正弦即可解决问题． 【解析】解：将x＝0代入直线函数解析式得， y＝﹣3， 所以点B坐标为（0，﹣3）． 将y＝0代入直线函数解析式得， ， 解得x＝﹣4， 所以点A坐标为（﹣4，0）． 函数图象如图所示， 在Rt△AOB中， AB＝， 所以sin∠BAO＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 15．（2024•广安）已知，直线l：y＝x﹣与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2024的横坐标为 　　． 【思路点拨】由直线l：y＝x﹣可知，点A1坐标为（1，0），可得OA1＝1，由于△OA1B1是等边三角形，可得点，把y＝代入直线解析式即可求得A2的横坐标，可得A2C1＝，由于△B2A2B1是等边三角形，可得点A2；同理，A3，发现规律即可得解． 【解析】解：∵直线l：y＝x﹣与x轴负半轴交于点A1， ∴点A1坐标为（1，0）， ∴OA1＝1， 过B1，B2作B1M⊥x轴交x轴于点M，B2N⊥x轴交A1B1于点D，交x轴于点N， ∵△A1B1O为等边三角形， ∴∠OB1M＝30°， ∴MO＝A1O＝， ∴B1M＝＝， ∴B1（，）， 当y＝时，＝x﹣， 解得：x＝， ∴A2C1＝，，， ∴C1D＝A2C1＝， ∴B2D＝＝， ∴B2N＝+＝， ∴当y＝时，＝x﹣， 解得：x＝， ∴A1； 而＝， 同理可得：A4的横坐标为＝， ∴点A2024的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解答本题的关键． 16．（2024•鄞州区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m）在直线y＝﹣2x﹣1上，过点A的直线交y轴于点B（0，5）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式． （2）若点P（t，y1）在直线AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝﹣2x﹣1上，当t取任意实数时，代数式y1+ky2的值为定值，求k的值，并求出这个定值． 【思路点拨】（1）将A点代入直线解析式，求出m，利用待定系数法解出AB直线函数解析式； （2）分别用t表示出y1和y2，列出y1+ky2，根据已知条件确定t的值即可． 【解析】解：（1）把点A（﹣2，m）代入y＝﹣2x﹣1中，得m＝3， 设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b， 把A（﹣2，3），B（0，5）代入得： ， 解得， ∴直线AB的函数表达式为y＝x+5． （2）∵点P（t，y1）在直线AB上， ∴y1＝t+5， ∵点Q（t﹣1，y2）在直线y＝﹣2x﹣1上， ∴y2＝﹣2（t﹣1）﹣1＝﹣2t+1， ∴y1+ky2＝t+5﹣2kt+k， ＝（1﹣2k）t+5+k， ∵代数式y1+ky2的值为定值， ∴1﹣2k＝0， 解得：k＝． 当k＝时，定值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，会用待定系数法求一次函数表达式是解题的关键． 17．（2024•拱墅区校级模拟）设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）． （1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： （2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值； 【思路点拨】（1）把原式化为y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1的形式，令x+3＝0，求出y的对应值即可； （2）分a＞0和a＜0两种情况进行讨论即可． 【解析】解：（1）∵一次函数y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1， 当x＝﹣3时，y＝1， ∴无论a取何值，该一次函数图象始终过定点（﹣3，1）； （2）当a＞0时，此函数是增函数，当x＝4时，最大值为6， 当x＝4时，一次函数y1＝4a+3a+1＝6， 解得， 当a＜0时，此函数是，减函数，当x＝2时，最大值为6 当x＝2时，一次函数y1＝2a+3a+1＝6， 解得a＝1（不合题意，舍去）， 综上所述，． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 18．（2024•浙江模拟）已知点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上． （1）用含有m1，n1，m2，n2的代数式表示k的值． （2）若m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，b＞2．试比较n1和n2的大小，并说明理由． 【思路点拨】（1）由一次函数图象上点的坐标特征即可得出n1＝km1+b、n2＝km2+b，二者做差即可得出n1﹣n2＝k（m1﹣m2），再结合m1＜m2即可求出k值； （2）由m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，即可得出3kb+2b＝kb+4，用函数b的代数式表示出k值，根据b的取值范围即可得出k＜0，结合一次函数的增减性及m1＜m2即可得出结论． 【解析】解：（1）∵点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴n1＝km1+b，n2＝km2+b， ∴n1﹣n2＝（km1+b）﹣（km2+b）＝k（m1﹣m2）， ∵m1＜m2， ∴m1﹣m2≠0， ∴； （2）n1＞n2，理由如下： ∵n1+n2＝（km1+b）+（km2+b）＝k（m1+m2）+2b 又∵n1+n2＝kb+4， ∴k（m1+m2）+2b＝kb+4， ∵m1+m2＝3b， ∴3kb+2b＝kb+4， 解得：， ∵b＞2， ∴， ∴一次函数y＝kx+b中y随x的增大而减小． 又∵m1＜m2， ∴n1＞n2． 【点睛】本题考查一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）找出n1﹣n2＝k（m1﹣m2）；（2）根据b的取值范围找出k＜0． 4 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$