精品解析：内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 考试范围：九年级上册 温馨提示： 1．本次考试设置的分值为100分，考试时间90分钟． 2．答题时，请将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目须在答题卡上作答． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 方程（9x﹣1）2＝1的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2. 下列诗词所描述的事件，属于确定事件的是（ ） A. 黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙 B. 人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开 C. 三月残花落更开，小檐日日燕飞来 D. 水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：A．黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙，是随机事件； B．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开，是随机事件； C．三月残花落更开，小檐日日燕飞来 ，是随机事件； D．水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯，是确定事件． 股癣D． 3. 如图，中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、弧与圆心角的关系、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．连接，先根据垂径定理得到，进而有，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是半径， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式大于0及二次项系数不为0列不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得：， ， 实数k的取值范围为且， 故选C． 5. 设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（　　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解． 【详解】解：∵y＝x2﹣2x+c， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1， ∴y1＞y3＞y2． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的函数值与对称轴之间的关联，了解知识点并知道如何利用二次函数的对称性比较函数值大小是解题关键． 6. 关于论述：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等；④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，中心对称图形的定义． 根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的两个图形全等，以及中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一分析判断即可求解． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故①说法正确； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故②说法正确； ③旋转前、后的两个图形是全等图形，故③说法正确； ④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，故④说法错误； 综上，正确的有①②③． 故选：B． 7. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 3 … y … 3 6 6 … 当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求函数解析式，即可求得开口方向，对称轴，函数的最值，然后根据二次函数的性质，可以得到当时，的取值范围． 【详解】解：将点，，代入得 ，解得， ， 该函数图象开口向下，对称轴为直线，函数有最大值7， 和时的函数值相等， 则时，的取值范围是：， 故选：B． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8. 在中按如下步骤作图： ①作的直径； ②以点为圆心画弧，交于，两点； ③连接，，，，． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程可知：是的直径，再由圆的对称性质可知，根据垂径定理即可判断正确，再根据题中作图过程，动态分析，进而可判断D选项错误． 【详解】解：根据作图过程可知：是的直径， ， 故A选项正确； 根据作图过程，结合圆的对称性可知：， ， ， ，即， 故B选项正确； 根据作图过程可知：是的直径；结合圆的对称性可知：， 由垂径定理可得， 故C选项正确； 根据作图过程可知，当的半径逐渐减小时，点逐渐靠近点， 即在此过程中，逐渐减小，而逐渐增大， 当点与点重合时，可取最大值，为直径；此时为； 不一定与相等， 故D选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、圆的性质、圆周角定理、垂径定理及其推论等知识，解决本题的关键是综合应用圆的相关知识求解． 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_____． 【答案】y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据顶点在x轴上，开口方向向下，可以确定该函数形式为y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），即可确定答案. 【详解】解：根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），写出一个满足该形式的解析式即可，如y＝﹣（x﹣1）2,答案不唯一. 故答案为y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于熟记并灵活运用二次函数解析式——顶点式. 10. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，概率公式的计算，理解图②中的频率得到相应的概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据图②可得频率稳定在，则概率为，计算出长为，宽为的长方形，由不规则图形的面积除以长方形的面积等于，由此即可求解． 【详解】解：根据图②可得频率稳定在，则概率为， 长为，宽为的长方形的面积为，设不规则图案的面积为， ∴， 解得，， ∴不规则图案的面积大约为， 故答案为： ． 11. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长． 【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OA． 根据题意得：OD=OA=1cm， 再根据勾股定理得：AD=cm， 根据垂径定理得：AB=2cm． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理以及垂径定理．注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1． 12. 正六边形的半径为3，则正六边形的边心距为________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，依据正六边形的性质，构造等边三角形；然后求其高即可． 【详解】解：如图：过O作于G，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴为等边的高， ∴即为正六边形的边心距， 又, ∴， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正六边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键． 13. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是________． 【答案】36 【解析】 【分析】分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑．①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程可求出k的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；②当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出△＝144﹣4k＝0，解之即可得出k值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解． 【详解】①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣9）＝0，解得：x1＝3，x2＝9． ∵3+3＝6＜9，∴3不能为等腰三角形的腰； ②当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，解得：k＝36，此时x1＝x26． ∵3、6、6可以围成等腰三角形，∴k＝36． 故答案为36． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键． 14. 如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m． 【答案】40 【解析】 【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系： ，， 设外侧抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， ， 在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度的长）为． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键． 三、解答题：本大题共有6小题，共58分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 15. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）选择一个你喜欢的整数m的值代入原方程，并求出这个方程的解． 【答案】（1）证明过程见详解 （2），．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）求出方程的判别式即可证明； （2）m的值越简单越好，令m=0，即可求解． 【小问1详解】 证明： 方程的判别式， ∴方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 令m=0，则方程变为， 解得，．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了利用方程的判别式证明方程恒有两个不相等的实数解，解题的关键是正确求出方程的判别式为正数是解答本题的关键． 16. 如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）． （1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果； （2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的概率． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）列表或画树状图得出所有等可能的情况数即可． （2）找出恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的情况数，求出所求的概率即可． 【详解】解：（1）列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （2）∵所有等可能的情况数为9种，其中是x2﹣3x+2=0的解的为（1，2），（2，1）共2种， ∴P是方程解=． 17. 工人师傅用一块长为，宽为的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计） （1）若长方体底面面积为，裁掉的正方形边长多少？ （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，求制作的长方体容器的底面面积的最小值？ （3）在（）的条件下，由于实际需要，将容器内侧和内底面进行防锈处理，侧面每平方分米的需要的费用为元，底面每平方分米需要的费用为元，当裁掉的正方形边长多少时，总费用最低，最低为多少？ 【答案】（1）裁掉的正方形的边长为 （2）； （3）当裁掉边长为的正方形时，总费用最低，为元． 【解析】 【分析】（）设裁掉的正方形边长为，再根据题意列出一元二次方程即可求解； （）底面长不大于底面宽的五倍求出范围，再根据二次函数的增减性即可求解； （）设总费用为元，列出关于总费用的表达式，再根据二次函数的增减性即可求解； 本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键． 【小问1详解】 设裁掉的正方形边长为， 由题意可得， 即， 解得：，（舍去）， 答：裁掉的正方形的边长为，底面积为； 【小问2详解】 由题意得：，解得：， 设长方体容器的底面面积为， ∴， ∴当时长方体容器的底面面积有最小，； 【小问3详解】 设总费用为元， 由题意可知 ， ∵对称轴为，开口向上， ∴当时，随增大而减小， ∴当时，最小为元， ∴当裁掉边长为的正方形时，总费用最低，为元． 18. 如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点． （1）求证：； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）在中，若，，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）与相切，理由见解析 （3）的半径长为2 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由圆的内接四边形的定理可得，再结合可得，根据角平分线定义可得；由圆周角定理可得，进而得到；最后根据等角对等边即可证明结论； （2）如图，连接、、．由垂直平分线定义可得直线是线段的垂直平分线，即；再根据平行线的性质可得，最后根据切线的判定定理即可解答； （3）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，进而得到是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：与相切，理由如下： 如图，连接、、． ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． 又∵是的半径， ∴与相切． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴，即的半径长为2． 19. 探究： （1）如图1，在正方形中，，分别是，上的点，且，试判断，与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：______． （2）如图2，若把（1）问中条件变为“在四边形中，，，，分别是边，上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）在（2）问中，若将绕点逆时针旋转，当点分别，运动到，延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明． 【答案】（1） （2）（1）问中的结论仍然成立，证明见解析 （3），，之间的关系是 【解析】 【分析】(1)根据旋转得出，证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； (2)将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，对应角相等可得，再根据证明，并证明三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF′=EF，从而得解； (3)将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在上点处，得到，根据旋转变换的性质可得全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，再根据证明，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出． 【小问1详解】 如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 结论仍然成立．理由如下： 如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴、、三点共线， 与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 发生变化．之间关系是． 理由如下：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在上点处，得到， ∴， ∴， ， 又∵，且， ∴ ， 即， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵ ， ∴ ， 即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，利用旋转变换构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点。 20. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，或 （3），，， 【解析】 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． 【小问3详解】 解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 考试范围：九年级上册 温馨提示： 1．本次考试设置的分值为100分，考试时间90分钟． 2．答题时，请将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目须在答题卡上作答． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 方程（9x﹣1）2＝1的解是（　　） A. B. C. D. 2. 下列诗词所描述的事件，属于确定事件的是（ ） A. 黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙 B. 人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开 C. 三月残花落更开，小檐日日燕飞来 D. 水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯 3. 如图，中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（　　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 6. 关于论述：①对应点到旋转中心距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等；④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 7. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 3 … y … 3 6 6 … 当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中按如下步骤作图： ①作的直径； ②以点为圆心画弧，交于，两点； ③连接，，，，． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_____． 10. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为____________． 11. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为______cm． 12. 正六边形的半径为3，则正六边形的边心距为________． 13. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是________． 14. 如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m． 三、解答题：本大题共有6小题，共58分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 15. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）选择一个你喜欢的整数m的值代入原方程，并求出这个方程的解． 16. 如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）． （1）请你用树状图或列表方法表示出每次游戏可能出现的所有结果； （2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的概率． 17. 工人师傅用一块长为，宽为矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计） （1）若长方体底面面积为，裁掉的正方形边长多少？ （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，求制作的长方体容器的底面面积的最小值？ （3）在（）的条件下，由于实际需要，将容器内侧和内底面进行防锈处理，侧面每平方分米的需要的费用为元，底面每平方分米需要的费用为元，当裁掉的正方形边长多少时，总费用最低，最低为多少？ 18. 如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点． （1）求证：； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）在中，若，，，求的半径长． 19. 探究： （1）如图1，在正方形中，，分别是，上的点，且，试判断，与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：______． （2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，，分别是边，上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）在（2）问中，若将绕点逆时针旋转，当点分别，运动到，延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明． 20. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点，使得为直角？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$