信息必刷卷04（新高考Ⅰ卷专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷（新高考Ⅰ卷） 数 学 考情速递 高考·新动向：新高考重视对基础知识基本概念的考察，选择填空难度都不大，大多数来源于教材，压轴题一般具有创新性，能更好的选拔优秀的人才，试题既考查学生的基础知识和关键能力，又注重考查学生的思维能力、创新能力以及实际应用能力等综合素养 高考·新考法：新高考更注重知识的融合性，比如把数列与导数，概率，圆锥曲线相结合，考察考生分析问题的能力 高考·新情境：试题设计强化素养导向，注重数学本质，突出理性思维，渗透数学文化，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，试卷服务拔尖创新人才选拔。 命题·大预测：本套试卷选择填空重视基本知识，基本能力的考察，其中第11题属于新定义多选题，考察学生的思维能力，第14题把导数与解三角形相结合，第19题属于数列新定义试题，考察学生综合分析问题的能力 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（   ） A．2124种 B．2148种 C．2352种 D．2420种 7．已知函数（且）在上有唯一零点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B．若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C．已知随机变量 ，若 ，则 D．运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次． 10．函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．我国知名品牌小米公司的具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）.则下列有关曲线的说法中正确的是（   ） A．对任意的且，曲线总关于轴和轴对称 B．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 C．当，时，曲线与坐标轴的交点个数为个 D．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，且为偶函数，则的值为 . 13．已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为 ． 14．在中，，（），若当面积取最大值时，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若，， (1)求四棱锥的体积； (2)求二面角的平面角的正弦值. 16．（15分）的内角所对的边分别为，， (1)求角的大小; (2)若，的延长线交于点，且，求的面积. 17．（15分）某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 18．（17分）已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． (1)求抛物线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)求面积的最小值． 19．（17分）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列” (1)分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由： A：1，2，3，4；B：2，，，，，． (2)数列一共项，且满足，，． （i）求证：当和时，都存在“完美互补子列”； （ii）设共有对“完美互补子列”，求证：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 2025年高考考前信息必刷卷（新高考I卷） 数学·参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 2 3 5 6 1 D D D D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ACD ABC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1 13.2 14.5 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15,(13分) 【详解】(1)取AD的中点O,连接00，QC,因为0D=QA,所以Q01AD,2分 又40=4,04=25，所以00--(0】 √20-4=4，在正方形ABCD中，CD=AD=4, 所以D0=2,所以C0=VD0+CD2=√4+16=2W5,又0C=6, 所以QC2=C02+002，即201C0, 又ADCO=O,ADc平面ABCD,COc平面ABCD, 所以20⊥平面ABCD, 所以四陵锥0BCD的体积为兮5m×00-4×4= 3446分 (2)过O作OM11CD交BC于M,则OM⊥AD, 结合(1)中Q01平面ABCD,故可建以O为原点，OM,OD,OQ所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标 系，如图所示， 1/7 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 所以00,0,0，B(4,-2,0,00,0,4,D(0,2,0, 掖BD=(4,4,0），0d=(0,2,-4），8分 元.BD=0 设平面BOD的法向量为万=x,y,z),则 OD=0 故 [-4x+4y=0 2y-4=0,取=2，则x=2,2=1, 故平面BQD的一个法向量为i=(2,2,1, 10分 因为0x⊥平面AQD,所以平面AQD的一个法向量为m=(1,0,0), 设二面角B-QD-A的大小为O, m2+0+0 2 所以cos0= m万1X√4+4+73’ 12分 由图可知0为锐角，所以c0s0= 31 所以sin0=V1-cos0=,1- 45 93 所以二面角B-O0-4的平面角的正孩值为5.13分 16.(15分) 【详解】(1)cos2B=1-sin2B,cos2A=1-sin2A,cos2B-0s2A=sin2A-sin2B, 所以原式可化为sin2A-sinB+sin2C=sin4sinC,2分 由正弦定理得：d2+c2-6=ac,由余弦定理得：cosB=g+c-b。0c_」， 2ac 2ac 2' BE(0.):B= 3 6分 (2)设AB中点为E,则MA+MB=2ME=-MC=CM, CM:ME=2:1且C,M,E三点共线， 2/7 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 同理可得点M为ABC三条中线的交点，点M为ABC的重心，… …8分 D为4C中点，BD-号BW=3 BD=)8A+8C,平方得：4BD2=BP+BC2+2BA:BC-cosB,10 36=c2+a'+ac①， 又由余弦定理得：b2=a2+c2-2aCC0sB,即12=a2+c2-ac②12分 由①②得：ac=12, 3 .S=acsinB=×l2× =35. 15分 E M 17.(15分) 【详解】(1)记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到另一件为不合格品， P4B=CC-160 Cioo 495’2分 P4=CC-476 495 4分 P(B )76119 P(AB)160_40 5分 2)D由题：若X~8100引则E=50,0(X=256分 又=-c =P(X=100-k), 所以P10sX≤2=号P0sX≤25或75sX≤100-PX-5022) 8分 由切比雪夫不等式可知，PX-50≥25)52325 251 所以P(0≤X≤25到s 50 .10分 (ⅱ)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,假设厂家关于产品合格率为95%的说法成立，则 X~B(100,0.95,所以E(X)=95,D(X）=4.75. 12分 3/7 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 由切比雪夫不等式知， P(X=80)≤P(X-95≥15)s 95×0.05 152 =0.021… 13分 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说 在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信15分 18.(17分) 【详解】(1)由题意PF=1+号=2放p=2,所以抛物线方程为x2=4y…3分 2 (2)设Ax,,B(x,y,(x:, 由y得y-,被切线@：y言--小.即y=-, 同理可得切线0B:y2r-久，6分 1 %=26-为 Q在两条切线，则 1 所以直线B:%=2-y,即y=豆X,x-6, %=24-为 因%=-4故y=2+4-名=26(-2列+4，故直线AB恒过定点(2,4到9分 (法二)当直线AB斜率存在时，设4B:y=红+m, y=kx+m 联立 x2=4y ,得x2-4-4m=0设Ax,Bx,Q(x, △=16k2+m>0,x+2=4k，x+5=4m, 由y=得-宁故切线04：-动小即y式 1 1 同理切线QB:y=2一4， 6分 ,=+五=2k 联立得 2 ，故02k,-m), 6=5=-m 4 代入直线：x-y-4=0得m=4-2k, 直线AB:y=+2-4秋=k(x-2)+4,所以恒过定点(2,4 当直线AB斜率不存在时，由对称性知Q(0,-4),直线AB:y=4,也过定点(2,4) 综上：直线AB恒过定点(2,4). 9分 4/7 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 (3)联立 =2+4七，得x2-2x,x+4,-16=0, x2=4y 由韦达定理可得1+x1=2x。,x2=4x,-16, 42分 4=1+儿+-5]-1+-4-16]=2+后-4+16)4分 Q到直线的距离d= -元4-2+ 1x-4x+16 .15分 +4 1+4 5eu-G-4+16--2+2） 16分 当x。=2时，Sg4B最小值为12√3 17分 (法二)当直线AB斜率不存在时，直线AB:y=4,AB=8,Q(0,-4到直线距离为8， Sea-2×8x8=32 12分 当直线AB斜率存在时 AB=V有+k2天-=41+k2V限2+m,14分 所以Q(2k,-m)到直线的距离d= s-a-可 .15分 k2+m=k2-2k+4=(k-12+3, 当k=1时，k2+m的最小值为3，故S。=125, 所以4Q4B的面积的最小值为12V5 17分 19.(17分) 【详解】(1)对A选项：取{b}:=1,b=4；取{c,}:G=2,c2=3 5/7 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 则C。}和b.}是数列1,2,3,4的一对“完美互补子列”1分 对B选项：因为2+22+23+…+2= 21-2272,2分 1-2 假设该数列存在一对“完美互补子列"c}和b}, 则c和6的各项和为2,2=2°-1，但a,中各项均为偶数， 2 所以{c,}和b的各项和为2-1不可能成立 故数列2,22,2,2,25,26不存在“完美互补子列”4分 (2)(i)当m=4k时，因为a.=n, 所以a1+a46=02+a4-1==Q24+a2t1=1+4k 5分 不妨令{b}中的各项为：a,a2,…,4s,aa342…,a4； {c}中的各项为：a,a+2…,a.则(ba}与{C}中所有项的和均为k(4k+6分 所以m=4情时，数列引a}存在“完美互补子列”7分 当m=4k+3时，只需将m=4k中，{c}中的a2,=2k移到b}中， 将a41,a2放入C}中，将a43放入{b}中，此时{b}与{C。}中的和均在原来的基础上增加了6k+3, 所以m=4k+3,数列引an}存在“完美互补子列”… 9分 (i)当m=4k时，数列(a}有f(4k)对“完美互补子列， 对a}的一对“完美互补子列”，比如： b}中的各项为：a,a2,…,a,a5,a2,…,a4: {C闲}中的各项为01，ak2,…,0341门分 ①将{c}中的a2=2k移到bn}中，将a4,a4:放入{c,}中，将a+3放入b,}中， 此时{b}与{C)中的和均在原来的基础上增加了6k+3,可得m=4k+3的一对“完美互补子列”；13分 ②将{C,}中的a2+1=2k+1移到{b}中，将a+,a4t+3放入c,}中，将a+2放入b,}中， 此时{b}与c}中的和均在原来的基础上增加了6k+3,可得m=4k+3的一对“完美互补子列”： 6/7 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 ③将{C}中的a22=2k+2移到{b}中，将a4t2,ah放入cn}中，将a41放入(b}中，15分 此时(b}与c}中的和均在原来的基础上增加了6k+3,可得m=4k+3的一对“完美互补子列”： 所以m=4k时的一对“完美互补子列”，m=4+3时，都至少有三队“完类互补子列与之对应 所以f（4k+3)≥4f4h)… 17分 7/7 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷（新高考Ⅰ卷） 数 学 考情速递 高考·新动向：新高考重视对基础知识基本概念的考察，选择填空难度都不大，大多数来源于教材，压轴题一般具有创新性，能更好的选拔优秀的人才，试题既考查学生的基础知识和关键能力，又注重考查学生的思维能力、创新能力以及实际应用能力等综合素养 高考·新考法：新高考更注重知识的融合性，比如把数列与导数，概率，圆锥曲线相结合，考察考生分析问题的能力 高考·新情境：试题设计强化素养导向，注重数学本质，突出理性思维，渗透数学文化，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，试卷服务拔尖创新人才选拔。 命题·大预测：本套试卷选择填空重视基本知识，基本能力的考察，其中第11题属于新定义多选题，考察学生的思维能力，第14题把导数与解三角形相结合，第19题属于数列新定义试题，考察学生综合分析问题的能力 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以.故选：B 2．已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】设，因为复数在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，， 又，所以，所以复数对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D. 3．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在方向上的投影向量为，由已知可得，因为，所以，又，所以，又，所以与的夹角为.故选：D. 4．已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，如下图示，所以，则，而棱台的高，所以， 则该三棱台的体积为 .故选：D    5．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ， ， ，， ，，，故选: 6．“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（   ） A．2124种 B．2148种 C．2352种 D．2420种 【答案】C 【详解】恰有3对相同的字母相邻的排法有：,有4对相同的字母相邻的排法有：,8个字母的全排列为：,所以至多有2对相同的字母相邻的不同的排法有：，故选：C 7．已知函数（且）在上有唯一零点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得在上有唯一解，即， 令，则，则，令，则， 则，当时，的，开口向上，恒大于零，所以为递增函数，为递减函数，因为，所以在上无解；当时，必须成立，若，会出现蓝色图象的情况， 即在上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且）， 所以图象只能为红色，只需交点横坐标小于1即可，所以令可得， 又，所以的范围为.故选：A. 8．已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，则l的方程为，由，得，，设，，则，①．因为，所以②．由①②可得，再结合，，得，解得． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B．若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C．已知随机变量 ，若 ，则 D．运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次． 【答案】ACD 【详解】对于A，设样本数据为，则，解得，数据的方差为，A正确；对于B，一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数，B错误；对于C，随机变量，由，得，C正确；对于D，依题意，运动员击中次数，击中次的概率为，由，解得，因此最有可能击中的次数是8，D正确.故选：ACD 10．函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由为奇函数，得，即，由为偶函数，得，则，，于是，因此函数是偶函数，且当时，单调递减， 对于A，，则，A正确；对于B，，则，B正确；对于C，，C正确；对于D，，，则，，即，D错误.故选：ABC 11．我国知名品牌小米公司的具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）.则下列有关曲线的说法中正确的是（   ） A．对任意的且，曲线总关于轴和轴对称 B．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 C．当，时，曲线与坐标轴的交点个数为个 D．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，取曲线上点，则，点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，因为，，即点、都在曲线上，故曲线总关于轴和轴对称，故A正确；对于B，当，时，曲线的方程可化为， 在曲线上任取一点，由， 当且仅当时，即当时，等号成立，得，故曲线上的点到原点的距离最小值为，故B正确；对于C，当，，时，，则，得，所以或，所以曲线与轴有个交点，当时，，，得或，所以曲线与轴有个交点，综上，曲线与坐标轴的交点个数为个，故C错误；对于D，当，时，在曲线上任取一点，由 ，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故曲线上的点到原点的距离最小值为，故D正确.故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，且为偶函数，则的值为 . 【答案】1 【详解】因为为偶函数，则为偶函数，而是偶函数，故是偶函数，所以，所以，将代入函数，得，因此，所以的值为1.故答案为： 13．已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为 ． 【答案】2 【详解】如图，点到直线的距离为，则， ，所以， 令，则，所以函数在上单调递增，得，即的最大值为.故答案为：2 14．在中，，（），若当面积取最大值时，，则 . 【答案】 【详解】由（），设，则， 由余弦定理可得：， 所以,所以的面积为： 令，由，易得，所以, 所以，所以，，，， 又在单调递减，可得：当时，面积取得最大值，即， 所以， 即，又，可得：，故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若，， (1)求四棱锥的体积； (2)求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）取AD的中点O，连接QO，QC，因为，所以，又，， 所以，在正方形ABCD中，，所以，所以，又，所以，即，又，平面，平面，所以平面，所以四棱锥的体积为 ； （2）过O作交BC于M，则，结合（1）中平面，故可建以O为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示，所以，，，， 故，，设平面BQD的法向量为，则，故，取，则，，故平面的一个法向量为， 因为平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 所以，由图可知为锐角，所以，所以，所以二面角的平面角的正弦值为 16．（15分）的内角所对的边分别为，， (1)求角的大小; (2)若，的延长线交于点，且，求的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】（1），，， 所以原式可化为， 由正弦定理得：，由余弦定理得：， （2）设中点为，则，且三点共线，同理可得点为三条中线的交点，点为的重心，为中点，，，平方得：，①，又由余弦定理得：，即②由①②得：， 17．（15分）某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）不可信. 【详解】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，，. （2）（i）由题：若，则，，又， 所以.由切比雪夫不等式可知，，所以 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为95%的说法成立，则，所以，，由切比雪夫不等式知，，即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信. 18．（17分）已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点． (1)求抛物线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)求面积的最小值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）由题意故，所以抛物线方程为. （2）设， ， ，由得，故切线：，即，同理可得切线： ，在两条切线，则，所以直线，即， 因，故，故直线恒过定点. （法二）当直线斜率存在时，设，联立，得  设，，，，，， 由得故切线，即，同理切线，联立得，故，代入直线得，直线，所以恒过定点 当直线斜率不存在时，由对称性知，直线，也过定点，综上：直线恒过定点. （3）联立，得，由韦达定理可得，，   到直线的距离   ，当时，最小值为 （法二）当直线斜率不存在时，直线，，到直线距离为8， ，当直线斜率存在时，， 所以到直线的距离，   ，当时，的最小值为3，故，所以的面积的最小值为. 19．（17分）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列” (1)分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由： A：1，2，3，4；B：2，，，，，． (2)数列一共项，且满足，，． （i）求证：当和时，都存在“完美互补子列”； （ii）设共有对“完美互补子列”，求证：． 【答案】(1)存在“完美互补子列”，不存在.(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）对A选项：取：，；取：，. 则和是数列1，2，3，4的一对“完美互补子列”. 对B选项：因为， 假设该数列存在一对“完美互补子列”和， 则和的各项和为，但中各项均为偶数， 所以和的各项和为不可能成立. 故数列2，，，，，不存在“完美互补子列”. （2）（i）当时，因为， 所以…. 不妨令中的各项为：，； 中的各项为：. 则与中所有项的和均为. 所以时，数列存在“完美互补子列”. 当时，只需将中，中的移到中， 将放入中，将放入中，此时与中的和均在原来的基础上增加了， 所以，数列存在“完美互补子列”. （ii）当时，数列有对“完美互补子列”， 对的一对“完美互补子列”，比如： 中的各项为：，； 中的各项为：. ①将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ②将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ③将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； 所以时的一对“完美互补子列”，时，都至少有三队“完美互补子列”与之对应. 所以. 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$